Theorem issalnnd 39870

Description: Sufficient condition to prove that 𝑆 is sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
issalnnd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
issalnnd.z	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
issalnnd.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝑆
issalnnd.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∖ 𝑦) ∈ 𝑆)
issalnnd.i	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
issalnnd	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)

Distinct variable groups:   𝑆,𝑒,𝑦   𝑒,𝑛,𝑦   𝜑,𝑒,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑉(𝑦,𝑒,𝑛)   𝑋(𝑦,𝑒,𝑛)

Proof of Theorem issalnnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issalnnd.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
2		issalnnd.z	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
3		issalnnd.x	. 2 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝑆
4		issalnnd.d	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∖ 𝑦) ∈ 𝑆)
5		unieq 4410	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ∅ → ∪ 𝑦 = ∪ ∅)
6		uni0 4431	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ ∅ = ∅
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ∅ → ∪ ∅ = ∅)
8	5, 7	eqtrd 2655	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ∅ → ∪ 𝑦 = ∅)
9	8	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = ∅) → ∪ 𝑦 = ∅)
10	2	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = ∅) → ∅ ∈ 𝑆)
11	9, 10	eqeltrd 2698	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = ∅) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)
12	11	3ad2antl1 1221	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 = ∅) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)
13		neqne 2798	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑦 = ∅ → 𝑦 ≠ ∅)
14	13	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → 𝑦 ≠ ∅)
15		nnfoctb 38698	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ≼ ω ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∃𝑒 𝑒:ℕ–onto→𝑦)
16	15	3ad2antl3 1223	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∃𝑒 𝑒:ℕ–onto→𝑦)
17		founiiun 38834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒:ℕ–onto→𝑦 → ∪ 𝑦 = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛))
18	17	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto→𝑦) → ∪ 𝑦 = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛))
19		simpll 789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto→𝑦) → 𝜑)
20		fof 6072	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒:ℕ–onto→𝑦 → 𝑒:ℕ⟶𝑦)
21	20	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑒:ℕ–onto→𝑦) → 𝑒:ℕ⟶𝑦)
22		elpwi 4140	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 → 𝑦 ⊆ 𝑆)
23	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑒:ℕ–onto→𝑦) → 𝑦 ⊆ 𝑆)
24	21, 23	fssd 6014	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑒:ℕ–onto→𝑦) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
25	24	adantll 749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto→𝑦) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
26		issalnnd.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ∈ 𝑆)
27	19, 25, 26	syl2anc 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto→𝑦) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ∈ 𝑆)
28	18, 27	eqeltrd 2698	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto→𝑦) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)
29	28	ex 450	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → (𝑒:ℕ–onto→𝑦 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆))
30	29	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑒:ℕ–onto→𝑦 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆))
31	30	3adantl3 1217	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑒:ℕ–onto→𝑦 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆))
32	31	exlimdv 1858	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (∃𝑒 𝑒:ℕ–onto→𝑦 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆))
33	16, 32	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)
34	14, 33	syldan 487	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)
35	12, 34	pm2.61dan 831	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)
36	1, 2, 3, 4, 35	issald 39858	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480  ∃wex 1701   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790   ∖ cdif 3552   ⊆ wss 3555  ∅c0 3891  𝒫 cpw 4130  ∪ cuni 4402  ∪ ciun 4485   class class class wbr 4613  ⟶wf 5843  –onto→wfo 5845  ‘cfv 5847  ωcom 7012   ≼ cdom 7897  ℕcn 10964  SAlgcsalg 39835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-salg 39836

This theorem is referenced by:  dmvolsal  39871  subsalsal  39884  smfresal  40302