Theorem issalnnd 41084

Description: Sufficient condition to prove that 𝑆 is sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
issalnnd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
issalnnd.z	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
issalnnd.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝑆
issalnnd.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∖ 𝑦) ∈ 𝑆)
issalnnd.i	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
issalnnd	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)

Distinct variable groups:   𝑆,𝑒,𝑦   𝑒,𝑛,𝑦   𝜑,𝑒,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑉(𝑦,𝑒,𝑛)   𝑋(𝑦,𝑒,𝑛)

Proof of Theorem issalnnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issalnnd.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
2		issalnnd.z	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
3		issalnnd.x	. 2 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝑆
4		issalnnd.d	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∖ 𝑦) ∈ 𝑆)
5		unieq 4596	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ∅ → ∪ 𝑦 = ∪ ∅)
6		uni0 4617	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ ∅ = ∅
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ∅ → ∪ ∅ = ∅)
8	5, 7	eqtrd 2794	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ∅ → ∪ 𝑦 = ∅)
9	8	adantl 473	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = ∅) → ∪ 𝑦 = ∅)
10	2	adantr 472	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = ∅) → ∅ ∈ 𝑆)
11	9, 10	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = ∅) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)
12	11	3ad2antl1 1201	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 = ∅) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)
13		neqne 2940	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑦 = ∅ → 𝑦 ≠ ∅)
14	13	adantl 473	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → 𝑦 ≠ ∅)
15		nnfoctb 39730	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ≼ ω ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∃𝑒 𝑒:ℕ–onto→𝑦)
16	15	3ad2antl3 1203	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∃𝑒 𝑒:ℕ–onto→𝑦)
17		founiiun 39877	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒:ℕ–onto→𝑦 → ∪ 𝑦 = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛))
18	17	adantl 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto→𝑦) → ∪ 𝑦 = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛))
19		simpll 807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto→𝑦) → 𝜑)
20		fof 6277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒:ℕ–onto→𝑦 → 𝑒:ℕ⟶𝑦)
21	20	adantl 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑒:ℕ–onto→𝑦) → 𝑒:ℕ⟶𝑦)
22		elpwi 4312	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 → 𝑦 ⊆ 𝑆)
23	22	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑒:ℕ–onto→𝑦) → 𝑦 ⊆ 𝑆)
24	21, 23	fssd 6218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑒:ℕ–onto→𝑦) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
25	24	adantll 752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto→𝑦) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
26		issalnnd.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒:ℕ⟶𝑆) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ∈ 𝑆)
27	19, 25, 26	syl2anc 696	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto→𝑦) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒‘𝑛) ∈ 𝑆)
28	18, 27	eqeltrd 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑒:ℕ–onto→𝑦) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)
29	28	ex 449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) → (𝑒:ℕ–onto→𝑦 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆))
30	29	adantr 472	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑒:ℕ–onto→𝑦 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆))
31	30	3adantl3 1174	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑒:ℕ–onto→𝑦 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆))
32	31	exlimdv 2010	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (∃𝑒 𝑒:ℕ–onto→𝑦 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆))
33	16, 32	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)
34	14, 33	syldan 488	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)
35	12, 34	pm2.61dan 867	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)
36	1, 2, 3, 4, 35	issald 41072	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632  ∃wex 1853   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3712   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058  𝒫 cpw 4302  ∪ cuni 4588  ∪ ciun 4672   class class class wbr 4804  ⟶wf 6045  –onto→wfo 6047  ‘cfv 6049  ωcom 7231   ≼ cdom 8121  ℕcn 11232  SAlgcsalg 41049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-salg 41050

This theorem is referenced by:  dmvolsal  41085  subsalsal  41098  smfresal  41519