Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issmfdmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issmfdmpt 40726
 Description: A sufficient condition for "𝐹 being a measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issmfdmpt.x 𝑥𝜑
issmfdmpt.a 𝑎𝜑
issmfdmpt.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
issmfdmpt.i (𝜑𝐴 𝑆)
issmfdmpt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
issmfdmpt.p ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐴))
Assertion
Ref Expression
issmfdmpt (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑥   𝐵,𝑎   𝑆,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem issmfdmpt
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 4745 . 2 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
2 issmfdmpt.a . 2 𝑎𝜑
3 issmfdmpt.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
4 issmfdmpt.i . 2 (𝜑𝐴 𝑆)
5 issmfdmpt.x . . 3 𝑥𝜑
6 issmfdmpt.b . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7 eqid 2621 . . 3 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
85, 6, 7fmptdf 6385 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ)
9 eqidd 2622 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵))
109, 6fvmpt2d 6291 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
1110breq1d 4661 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑎𝐵 < 𝑎))
1211ex 450 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑎𝐵 < 𝑎)))
135, 12ralrimi 2956 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑎𝐵 < 𝑎))
14 rabbi 3118 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑎𝐵 < 𝑎) ↔ {𝑥𝐴 ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑎} = {𝑥𝐴𝐵 < 𝑎})
1513, 14sylib 208 . . . 4 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑎} = {𝑥𝐴𝐵 < 𝑎})
1615adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴 ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑎} = {𝑥𝐴𝐵 < 𝑎})
17 issmfdmpt.p . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐴))
1816, 17eqeltrd 2700 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴 ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐴))
191, 2, 3, 4, 8, 18issmfdf 40715 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1482  Ⅎwnf 1707   ∈ wcel 1989  ∀wral 2911  {crab 2915   ⊆ wss 3572  ∪ cuni 4434   class class class wbr 4651   ↦ cmpt 4727  ‘cfv 5886  (class class class)co 6647  ℝcr 9932   < clt 10071   ↾t crest 16075  SAlgcsalg 40297  SMblFncsmblfn 40678 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-po 5033  df-so 5034  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-er 7739  df-pm 7857  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-ioo 12176  df-ico 12178  df-smblfn 40679 This theorem is referenced by:  smfadd  40742  smfrec  40765  smfmul  40771
 Copyright terms: Public domain W3C validator