Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issmfle2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issmfle2d 40778
Description: A sufficient condition for "𝐹 being a measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issmfle2d.a 𝑎𝜑
issmfle2d.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
issmfle2d.d (𝜑𝐷 𝑆)
issmfle2d.f (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
issmfle2d.l ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,]𝑎)) ∈ (𝑆t 𝐷))
Assertion
Ref Expression
issmfle2d (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑎   𝑆,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐷(𝑎)

Proof of Theorem issmfle2d
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issmfle2d.a . 2 𝑎𝜑
2 issmfle2d.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
3 issmfle2d.d . 2 (𝜑𝐷 𝑆)
4 issmfle2d.f . 2 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
54adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
6 rexr 10070 . . . . 5 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
76adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
85, 7preimaiocmnf 39591 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,]𝑎)) = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎})
9 issmfle2d.l . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,]𝑎)) ∈ (𝑆t 𝐷))
108, 9eqeltrrd 2700 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷))
111, 2, 3, 4, 10issmfled 40729 1 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wnf 1706  wcel 1988  {crab 2913  wss 3567   cuni 4427   class class class wbr 4644  ccnv 5103  cima 5107  wf 5872  cfv 5876  (class class class)co 6635  cr 9920  -∞cmnf 10057  *cxr 10058  cle 10060  (,]cioc 12161  t crest 16062  SAlgcsalg 40291  SMblFncsmblfn 40672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cc 9242  ax-ac2 9270  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-inf 8334  df-card 8750  df-acn 8753  df-ac 8924  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-ioo 12164  df-ioc 12165  df-ico 12166  df-fl 12576  df-rest 16064  df-salg 40292  df-smblfn 40673
This theorem is referenced by:  smfsuplem3  40782
  Copyright terms: Public domain W3C validator