Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issmflelem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issmflelem 42898
Description: The predicate "𝐹 is a real-valued measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". A function is measurable iff the preimages of all right-closed intervals unbounded below are in the subspace sigma-algebra induced by its domain. The domain of 𝐹 is required to be a subset of the underlying set of 𝑆. Definition 121C of [Fremlin1] p. 36, and Proposition 121B (ii) of [Fremlin1] p. 35 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issmflelem.x 𝑥𝜑
issmflelem.a 𝑎𝜑
issmflelem.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
issmflelem.d 𝐷 = dom 𝐹
issmflelem.i (𝜑𝐷 𝑆)
issmflelem.f (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
issmflelem.l ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷))
Assertion
Ref Expression
issmflelem (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑥   𝐹,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)

Proof of Theorem issmflelem
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issmflelem.i . . 3 (𝜑𝐷 𝑆)
2 issmflelem.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
3 issmflelem.s . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
43adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
5 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 𝑆) → 𝐷 𝑆)
64, 5restuni4 41264 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐷 𝑆) → (𝑆t 𝐷) = 𝐷)
76eqcomd 2824 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 𝑆) → 𝐷 = (𝑆t 𝐷))
81, 7mpdan 683 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = (𝑆t 𝐷))
98rabeqdv 3482 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} = {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏})
109adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} = {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏})
11 issmflelem.x . . . . . . 7 𝑥𝜑
12 nfv 1906 . . . . . . 7 𝑥 𝑏 ∈ ℝ
1311, 12nfan 1891 . . . . . 6 𝑥(𝜑𝑏 ∈ ℝ)
14 issmflelem.a . . . . . . 7 𝑎𝜑
15 nfv 1906 . . . . . . 7 𝑎 𝑏 ∈ ℝ
1614, 15nfan 1891 . . . . . 6 𝑎(𝜑𝑏 ∈ ℝ)
173uniexd 7457 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 𝑆 ∈ V)
1817adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 𝑆) → 𝑆 ∈ V)
1918, 5ssexd 5219 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐷 𝑆) → 𝐷 ∈ V)
20 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (𝑆t 𝐷) = (𝑆t 𝐷)
214, 19, 20subsalsal 42519 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 𝑆) → (𝑆t 𝐷) ∈ SAlg)
221, 21mpdan 683 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆t 𝐷) ∈ SAlg)
2322adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → (𝑆t 𝐷) ∈ SAlg)
24 eqid 2818 . . . . . 6 (𝑆t 𝐷) = (𝑆t 𝐷)
25 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → 𝑥 (𝑆t 𝐷))
261, 6mpdan 683 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 (𝑆t 𝐷) = 𝐷)
2726adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝑆t 𝐷) = 𝐷)
2825, 27eleqtrd 2912 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → 𝑥𝐷)
292ffvelrnda 6843 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
3028, 29syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
3130rexrd 10679 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
3231adantlr 711 . . . . . 6 (((𝜑𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
3326rabeqdv 3482 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎})
3433adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎})
35 issmflelem.l . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷))
3634, 35eqeltrd 2910 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷))
3736adantlr 711 . . . . . 6 (((𝜑𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷))
38 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ)
3913, 16, 23, 24, 32, 37, 38salpreimalelt 42883 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))
4010, 39eqeltrd 2910 . . . 4 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))
4140ralrimiva 3179 . . 3 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))
421, 2, 413jca 1120 . 2 (𝜑 → (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷)))
43 issmflelem.d . . 3 𝐷 = dom 𝐹
443, 43issmf 42882 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))))
4542, 44mpbird 258 1 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wnf 1775  wcel 2105  wral 3135  {crab 3139  Vcvv 3492  wss 3933   cuni 4830   class class class wbr 5057  dom cdm 5548  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  t crest 16682  SAlgcsalg 42470  SMblFncsmblfn 42854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cc 9845  ax-ac2 9873  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-card 9356  df-acn 9359  df-ac 9530  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-fl 13150  df-rest 16684  df-salg 42471  df-smblfn 42855
This theorem is referenced by:  issmfle  42899
  Copyright terms: Public domain W3C validator