Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issmflelem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issmflelem 39455
Description: The predicate "𝐹 is a measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". A function is measurable iff the preimages of all right closed intervals unbounded below are in the subspace sigma-algebra induced by its domain. The domain of 𝐹 is required to be a subset of the underlying set of 𝑆. Definition 121C of [Fremlin1] p. 36, and Proposition 121B (ii) of [Fremlin1] p. 35 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issmflelem.x 𝑥𝜑
issmflelem.a 𝑎𝜑
issmflelem.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
issmflelem.d 𝐷 = dom 𝐹
issmflelem.i (𝜑𝐷 𝑆)
issmflelem.f (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
issmflelem.l ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷))
Assertion
Ref Expression
issmflelem (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑥   𝐹,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)

Proof of Theorem issmflelem
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issmflelem.i . . 3 (𝜑𝐷 𝑆)
2 issmflelem.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
3 issmflelem.s . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
43adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
5 simpr 475 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 𝑆) → 𝐷 𝑆)
64, 5restuni4 38160 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐷 𝑆) → (𝑆t 𝐷) = 𝐷)
76eqcomd 2615 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 𝑆) → 𝐷 = (𝑆t 𝐷))
81, 7mpdan 698 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = (𝑆t 𝐷))
98rabeqd 38128 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} = {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏})
109adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} = {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏})
11 issmflelem.x . . . . . . 7 𝑥𝜑
12 nfv 1829 . . . . . . 7 𝑥 𝑏 ∈ ℝ
1311, 12nfan 1815 . . . . . 6 𝑥(𝜑𝑏 ∈ ℝ)
14 issmflelem.a . . . . . . 7 𝑎𝜑
15 nfv 1829 . . . . . . 7 𝑎 𝑏 ∈ ℝ
1614, 15nfan 1815 . . . . . 6 𝑎(𝜑𝑏 ∈ ℝ)
173uniexd 38134 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 𝑆 ∈ V)
1817adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 𝑆) → 𝑆 ∈ V)
1918, 5ssexd 4728 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐷 𝑆) → 𝐷 ∈ V)
20 eqid 2609 . . . . . . . . 9 (𝑆t 𝐷) = (𝑆t 𝐷)
214, 19, 20subsalsal 39077 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 𝑆) → (𝑆t 𝐷) ∈ SAlg)
221, 21mpdan 698 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆t 𝐷) ∈ SAlg)
2322adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → (𝑆t 𝐷) ∈ SAlg)
24 eqid 2609 . . . . . 6 (𝑆t 𝐷) = (𝑆t 𝐷)
25 simpr 475 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → 𝑥 (𝑆t 𝐷))
261, 6mpdan 698 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 (𝑆t 𝐷) = 𝐷)
2726adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝑆t 𝐷) = 𝐷)
2825, 27eleqtrd 2689 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → 𝑥𝐷)
292ffvelrnda 6252 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
3028, 29syldan 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
3130rexrd 9946 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
3231adantlr 746 . . . . . 6 (((𝜑𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 (𝑆t 𝐷)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
3326rabeqd 38128 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎})
3433adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎})
35 issmflelem.l . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷))
3634, 35eqeltrd 2687 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷))
3736adantlr 746 . . . . . 6 (((𝜑𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷))
38 simpr 475 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ)
3913, 16, 23, 24, 32, 37, 38salpreimalelt 39439 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝑆t 𝐷) ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))
4010, 39eqeltrd 2687 . . . 4 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))
4140ralrimiva 2948 . . 3 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))
421, 2, 413jca 1234 . 2 (𝜑 → (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷)))
43 issmflelem.d . . 3 𝐷 = dom 𝐹
443, 43issmf 39438 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑏} ∈ (𝑆t 𝐷))))
4542, 44mpbird 245 1 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wnf 1698  wcel 1976  wral 2895  {crab 2899  Vcvv 3172  wss 3539   cuni 4366   class class class wbr 4577  dom cdm 5028  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  cr 9792  *cxr 9930   < clt 9931  cle 9932  t crest 15853  SAlgcsalg 39028  SMblFncsmblfn 39410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cc 9118  ax-ac2 9146  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-sup 8209  df-inf 8210  df-card 8626  df-acn 8629  df-ac 8800  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-ioo 12009  df-ico 12011  df-fl 12413  df-rest 15855  df-salg 39029  df-smblfn 39411
This theorem is referenced by:  issmfle  39456
  Copyright terms: Public domain W3C validator