Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isspthonpth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isspthonpth 26521
 Description: A pair of functions is a simple path between two given vertices iff it is a simple path starting and ending at the two vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Mar-2018.) (Revised by AV, 17-Jan-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
isspthonpth.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
isspthonpth (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹𝑊𝑃𝑍)) → (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)))

Proof of Theorem isspthonpth
StepHypRef Expression
1 isspthonpth.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21isspthson 26515 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹𝑊𝑃𝑍)) → (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)))
31istrlson 26479 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹𝑊𝑃𝑍)) → (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)))
43adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹𝑊𝑃𝑍)) ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)))
5 spthispth 26498 . . . . . . . . 9 (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
6 pthistrl 26497 . . . . . . . . 9 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
87adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹𝑊𝑃𝑍)) ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
98biantrud 528 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹𝑊𝑃𝑍)) ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)))
10 trliswlk 26470 . . . . . . . . 9 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
117, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
1211adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹𝑊𝑃𝑍)) ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
131iswlkon 26429 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹𝑊𝑃𝑍)) → (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)))
14 3anass 1040 . . . . . . . . 9 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)))
1513, 14syl6bb 276 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹𝑊𝑃𝑍)) → (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵))))
1615adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹𝑊𝑃𝑍)) ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵))))
1712, 16mpbirand 530 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹𝑊𝑃𝑍)) ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)))
184, 9, 173bitr2d 296 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹𝑊𝑃𝑍)) ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)))
1918ex 450 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹𝑊𝑃𝑍)) → (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵))))
2019pm5.32rd 671 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹𝑊𝑃𝑍)) → ((𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) ↔ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)))
21 3anass 1040 . . . 4 ((𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) ↔ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)))
22 ancom 466 . . . 4 ((𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ↔ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
2321, 22bitr2i 265 . . 3 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) ↔ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵))
2420, 23syl6bb 276 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹𝑊𝑃𝑍)) → ((𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) ↔ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)))
252, 24bitrd 268 1 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹𝑊𝑃𝑍)) → (𝐹(𝐴(SPathsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   class class class wbr 4615  ‘cfv 5849  (class class class)co 6607  0cc0 9883  #chash 13060  Vtxcvtx 25781  Walkscwlks 26369  WalksOncwlkson 26370  Trailsctrls 26463  TrailsOnctrlson 26464  Pathscpths 26484  SPathscspths 26485  SPathsOncspthson 26487 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1012  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-er 7690  df-map 7807  df-pm 7808  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-card 8712  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-hash 13061  df-word 13241  df-wlks 26372  df-wlkson 26373  df-trls 26465  df-trlson 26466  df-pths 26488  df-spths 26489  df-spthson 26491 This theorem is referenced by:  uhgrwkspth  26527  usgr2wlkspth  26531  wspthsnwspthsnon  26687  elwspths2spth  26736
 Copyright terms: Public domain W3C validator