Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issrng 19052
 Description: The predicate "is a star ring." (Contributed by NM, 22-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issrng.o 𝑂 = (oppr𝑅)
issrng.i = (*rf𝑅)
Assertion
Ref Expression
issrng (𝑅 ∈ *-Ring ↔ ( ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) ∧ = ))

Proof of Theorem issrng
Dummy variables 𝑖 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-srng 19048 . . 3 *-Ring = {𝑟[(*rf𝑟) / 𝑖](𝑖 ∈ (𝑟 RingHom (oppr𝑟)) ∧ 𝑖 = 𝑖)}
21eleq2i 2831 . 2 (𝑅 ∈ *-Ring ↔ 𝑅 ∈ {𝑟[(*rf𝑟) / 𝑖](𝑖 ∈ (𝑟 RingHom (oppr𝑟)) ∧ 𝑖 = 𝑖)})
3 rhmrcl1 18921 . . . . 5 ( ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) → 𝑅 ∈ Ring)
4 elex 3352 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ V)
53, 4syl 17 . . . 4 ( ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) → 𝑅 ∈ V)
65adantr 472 . . 3 (( ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) ∧ = ) → 𝑅 ∈ V)
7 fvexd 6364 . . . 4 (𝑟 = 𝑅 → (*rf𝑟) ∈ V)
8 id 22 . . . . . . 7 (𝑖 = (*rf𝑟) → 𝑖 = (*rf𝑟))
9 fveq2 6352 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑅 → (*rf𝑟) = (*rf𝑅))
10 issrng.i . . . . . . . 8 = (*rf𝑅)
119, 10syl6eqr 2812 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑅 → (*rf𝑟) = )
128, 11sylan9eqr 2816 . . . . . 6 ((𝑟 = 𝑅𝑖 = (*rf𝑟)) → 𝑖 = )
13 simpl 474 . . . . . . 7 ((𝑟 = 𝑅𝑖 = (*rf𝑟)) → 𝑟 = 𝑅)
1413fveq2d 6356 . . . . . . . 8 ((𝑟 = 𝑅𝑖 = (*rf𝑟)) → (oppr𝑟) = (oppr𝑅))
15 issrng.o . . . . . . . 8 𝑂 = (oppr𝑅)
1614, 15syl6eqr 2812 . . . . . . 7 ((𝑟 = 𝑅𝑖 = (*rf𝑟)) → (oppr𝑟) = 𝑂)
1713, 16oveq12d 6831 . . . . . 6 ((𝑟 = 𝑅𝑖 = (*rf𝑟)) → (𝑟 RingHom (oppr𝑟)) = (𝑅 RingHom 𝑂))
1812, 17eleq12d 2833 . . . . 5 ((𝑟 = 𝑅𝑖 = (*rf𝑟)) → (𝑖 ∈ (𝑟 RingHom (oppr𝑟)) ↔ ∈ (𝑅 RingHom 𝑂)))
1912cnveqd 5453 . . . . . 6 ((𝑟 = 𝑅𝑖 = (*rf𝑟)) → 𝑖 = )
2012, 19eqeq12d 2775 . . . . 5 ((𝑟 = 𝑅𝑖 = (*rf𝑟)) → (𝑖 = 𝑖 = ))
2118, 20anbi12d 749 . . . 4 ((𝑟 = 𝑅𝑖 = (*rf𝑟)) → ((𝑖 ∈ (𝑟 RingHom (oppr𝑟)) ∧ 𝑖 = 𝑖) ↔ ( ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) ∧ = )))
227, 21sbcied 3613 . . 3 (𝑟 = 𝑅 → ([(*rf𝑟) / 𝑖](𝑖 ∈ (𝑟 RingHom (oppr𝑟)) ∧ 𝑖 = 𝑖) ↔ ( ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) ∧ = )))
236, 22elab3 3498 . 2 (𝑅 ∈ {𝑟[(*rf𝑟) / 𝑖](𝑖 ∈ (𝑟 RingHom (oppr𝑟)) ∧ 𝑖 = 𝑖)} ↔ ( ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) ∧ = ))
242, 23bitri 264 1 (𝑅 ∈ *-Ring ↔ ( ∈ (𝑅 RingHom 𝑂) ∧ = ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  {cab 2746  Vcvv 3340  [wsbc 3576  ◡ccnv 5265  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  Ringcrg 18747  opprcoppr 18822   RingHom crh 18914  *rfcstf 19045  *-Ringcsr 19046 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-plusg 16156  df-0g 16304  df-mhm 17536  df-ghm 17859  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-rnghom 18917  df-srng 19048 This theorem is referenced by:  srngrhm  19053  srngcnv  19055  issrngd  19063
 Copyright terms: Public domain W3C validator