MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubg3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubg3 17784
Description: A subgroup is a symmetric submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
issubg3.i 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
issubg3 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑆

Proof of Theorem issubg3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2748 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
21subg0cl 17774 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
32a1i 11 . 2 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝑆))
41subm0cl 17524 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
54adantr 472 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
65a1i 11 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) → (0g𝐺) ∈ 𝑆))
7 ne0i 4052 . . . . . . . 8 ((0g𝐺) ∈ 𝑆𝑆 ≠ ∅)
8 id 22 . . . . . . . 8 ((0g𝐺) ∈ 𝑆 → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
97, 82thd 255 . . . . . . 7 ((0g𝐺) ∈ 𝑆 → (𝑆 ≠ ∅ ↔ (0g𝐺) ∈ 𝑆))
109adantl 473 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) → (𝑆 ≠ ∅ ↔ (0g𝐺) ∈ 𝑆))
11 r19.26 3190 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) ↔ (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))
1211a1i 11 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) → (∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) ↔ (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
1310, 123anbi23d 1539 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) → ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))))
14 anass 684 . . . . . 6 ((((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) ∧ (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
15 df-3an 1074 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆))
1615anbi1i 733 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) ↔ (((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))
17 df-3an 1074 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) ∧ (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
1814, 16, 173bitr4ri 293 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))
1913, 18syl6bb 276 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) → ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
20 eqid 2748 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21 eqid 2748 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
22 issubg3.i . . . . . 6 𝐼 = (invg𝐺)
2320, 21, 22issubg2 17781 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))))
2423adantr 472 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))))
25 grpmnd 17601 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2620, 1, 21issubm 17519 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Mnd → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)))
2725, 26syl 17 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)))
2827anbi1d 743 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
2928adantr 472 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) → ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
3019, 24, 293bitr4d 300 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
3130ex 449 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ((0g𝐺) ∈ 𝑆 → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))))
323, 6, 31pm5.21ndd 368 1 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1620  wcel 2127  wne 2920  wral 3038  wss 3703  c0 4046  cfv 6037  (class class class)co 6801  Basecbs 16030  +gcplusg 16114  0gc0g 16273  Mndcmnd 17466  SubMndcsubmnd 17506  Grpcgrp 17594  invgcminusg 17595  SubGrpcsubg 17760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-0g 16275  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-submnd 17508  df-grp 17597  df-minusg 17598  df-subg 17763
This theorem is referenced by:  subgsubm  17788  subgacs  17801  ghmeql  17855  cntzsubg  17940  oppgsubg  17964  lsmsubg  18240
  Copyright terms: Public domain W3C validator