MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubg3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubg3 17533
Description: A subgroup is a symmetric submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
issubg3.i 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
issubg3 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑆

Proof of Theorem issubg3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
21subg0cl 17523 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
32a1i 11 . 2 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝑆))
41subm0cl 17273 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
54adantr 481 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
65a1i 11 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) → (0g𝐺) ∈ 𝑆))
7 ne0i 3897 . . . . . . . 8 ((0g𝐺) ∈ 𝑆𝑆 ≠ ∅)
8 id 22 . . . . . . . 8 ((0g𝐺) ∈ 𝑆 → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
97, 82thd 255 . . . . . . 7 ((0g𝐺) ∈ 𝑆 → (𝑆 ≠ ∅ ↔ (0g𝐺) ∈ 𝑆))
109adantl 482 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) → (𝑆 ≠ ∅ ↔ (0g𝐺) ∈ 𝑆))
11 r19.26 3057 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) ↔ (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))
1211a1i 11 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) → (∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) ↔ (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
1310, 123anbi23d 1399 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) → ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))))
14 anass 680 . . . . . 6 ((((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) ∧ (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
15 df-3an 1038 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆))
1615anbi1i 730 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) ↔ (((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))
17 df-3an 1038 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) ∧ (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
1814, 16, 173bitr4ri 293 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))
1913, 18syl6bb 276 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) → ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
20 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21 eqid 2621 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
22 issubg3.i . . . . . 6 𝐼 = (invg𝐺)
2320, 21, 22issubg2 17530 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))))
2423adantr 481 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆 (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))))
25 grpmnd 17350 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2620, 1, 21issubm 17268 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Mnd → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)))
2725, 26syl 17 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)))
2827anbi1d 740 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
2928adantr 481 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) → ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
3019, 24, 293bitr4d 300 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑆) → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
3130ex 450 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ((0g𝐺) ∈ 𝑆 → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆))))
323, 6, 31pm5.21ndd 369 1 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wss 3555  c0 3891  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  +gcplusg 15862  0gc0g 16021  Mndcmnd 17215  SubMndcsubmnd 17255  Grpcgrp 17343  invgcminusg 17344  SubGrpcsubg 17509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-subg 17512
This theorem is referenced by:  subgsubm  17537  subgacs  17550  ghmeql  17604  cntzsubg  17690  oppgsubg  17714  lsmsubg  17990
  Copyright terms: Public domain W3C validator