Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issubmgm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubmgm2 42115
 Description: Submagmas are subsets that are also magmas. (Contributed by AV, 25-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
issubmgm2.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
issubmgm2.h 𝐻 = (𝑀s 𝑆)
Assertion
Ref Expression
issubmgm2 (𝑀 ∈ Mgm → (𝑆 ∈ (SubMgm‘𝑀) ↔ (𝑆𝐵𝐻 ∈ Mgm)))

Proof of Theorem issubmgm2
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issubmgm2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑀)
2 eqid 2651 . . 3 (+g𝑀) = (+g𝑀)
31, 2issubmgm 42114 . 2 (𝑀 ∈ Mgm → (𝑆 ∈ (SubMgm‘𝑀) ↔ (𝑆𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆)))
4 issubmgm2.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝑀s 𝑆)
54, 1ressbas2 15978 . . . . . 6 (𝑆𝐵𝑆 = (Base‘𝐻))
65ad2antlr 763 . . . . 5 (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
7 ovex 6718 . . . . . . 7 (𝑀s 𝑆) ∈ V
84, 7eqeltri 2726 . . . . . 6 𝐻 ∈ V
98a1i 11 . . . . 5 (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → 𝐻 ∈ V)
10 fvex 6239 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑀) ∈ V
111, 10eqeltri 2726 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ V
1211ssex 4835 . . . . . . 7 (𝑆𝐵𝑆 ∈ V)
1312ad2antlr 763 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ V)
144, 2ressplusg 16040 . . . . . 6 (𝑆 ∈ V → (+g𝑀) = (+g𝐻))
1513, 14syl 17 . . . . 5 (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → (+g𝑀) = (+g𝐻))
16 oveq1 6697 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥(+g𝑀)𝑦) = (𝑎(+g𝑀)𝑦))
1716eleq1d 2715 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑎 → ((𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑎(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆))
18 oveq2 6698 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑏 → (𝑎(+g𝑀)𝑦) = (𝑎(+g𝑀)𝑏))
1918eleq1d 2715 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑏 → ((𝑎(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝑆))
2017, 19rspc2v 3353 . . . . . . . 8 ((𝑎𝑆𝑏𝑆) → (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝑆))
2120com12 32 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆 → ((𝑎𝑆𝑏𝑆) → (𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝑆))
2221adantl 481 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → ((𝑎𝑆𝑏𝑆) → (𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝑆))
23223impib 1281 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑎𝑆𝑏𝑆) → (𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝑆)
246, 9, 15, 23ismgmd 42101 . . . 4 (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) → 𝐻 ∈ Mgm)
25 simplr 807 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝐻 ∈ Mgm)
26 simprl 809 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑥𝑆)
275ad3antlr 767 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
2826, 27eleqtrd 2732 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻))
29 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → 𝑦𝑆)
3029adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑦𝑆)
3130, 27eleqtrd 2732 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))
32 eqid 2651 . . . . . . . 8 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
33 eqid 2651 . . . . . . . 8 (+g𝐻) = (+g𝐻)
3432, 33mgmcl 17292 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ Mgm ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
3525, 28, 31, 34syl3anc 1366 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(+g𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
3612ad2antlr 763 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → 𝑆 ∈ V)
3736, 14syl 17 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → (+g𝑀) = (+g𝐻))
3837oveqdr 6714 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) = (𝑥(+g𝐻)𝑦))
3935, 38, 273eltr4d 2745 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆)
4039ralrimivva 3000 . . . 4 (((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝐻 ∈ Mgm) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆)
4124, 40impbida 895 . . 3 ((𝑀 ∈ Mgm ∧ 𝑆𝐵) → (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆𝐻 ∈ Mgm))
4241pm5.32da 674 . 2 (𝑀 ∈ Mgm → ((𝑆𝐵 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ (𝑆𝐵𝐻 ∈ Mgm)))
433, 42bitrd 268 1 (𝑀 ∈ Mgm → (𝑆 ∈ (SubMgm‘𝑀) ↔ (𝑆𝐵𝐻 ∈ Mgm)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904   ↾s cress 15905  +gcplusg 15988  Mgmcmgm 17287  SubMgmcsubmgm 42103 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mgm 17289  df-submgm 42105 This theorem is referenced by:  submgmss  42117  submgmid  42118  submgmmgm  42120  subsubmgm  42122
 Copyright terms: Public domain W3C validator