MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubmnd 17239
Description: Characterize a submonoid by closure properties. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issubmnd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
issubmnd.p + = (+g𝐺)
issubmnd.z 0 = (0g𝐺)
issubmnd.h 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
Assertion
Ref Expression
issubmnd ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) → (𝐻 ∈ Mnd ↔ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦

Proof of Theorem issubmnd
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 791 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝐻 ∈ Mnd)
2 simprl 793 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑥𝑆)
3 simpll2 1099 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑆𝐵)
4 issubmnd.h . . . . . . . 8 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
5 issubmnd.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
64, 5ressbas2 15852 . . . . . . 7 (𝑆𝐵𝑆 = (Base‘𝐻))
73, 6syl 17 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
82, 7eleqtrd 2700 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻))
9 simprr 795 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑦𝑆)
109, 7eleqtrd 2700 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))
11 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
12 eqid 2621 . . . . . 6 (+g𝐻) = (+g𝐻)
1311, 12mndcl 17222 . . . . 5 ((𝐻 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
141, 8, 10, 13syl3anc 1323 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(+g𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
15 fvex 6158 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐺) ∈ V
165, 15eqeltri 2694 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ V
1716ssex 4762 . . . . . . . 8 (𝑆𝐵𝑆 ∈ V)
18173ad2ant2 1081 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) → 𝑆 ∈ V)
19 issubmnd.p . . . . . . . 8 + = (+g𝐺)
204, 19ressplusg 15914 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ V → + = (+g𝐻))
2118, 20syl 17 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) → + = (+g𝐻))
2221ad2antrr 761 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → + = (+g𝐻))
2322oveqd 6621 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g𝐻)𝑦))
2414, 23, 73eltr4d 2713 . . 3 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
2524ralrimivva 2965 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
26 simpl2 1063 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆𝐵)
2726, 6syl 17 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
2821adantr 481 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → + = (+g𝐻))
29 ovrspc2v 6626 . . . . . 6 (((𝑢𝑆𝑣𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
3029ancoms 469 . . . . 5 ((∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆)) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
31303impb 1257 . . . 4 ((∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆𝑢𝑆𝑣𝑆) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
32313adant1l 1315 . . 3 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑢𝑆𝑣𝑆) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
3326sseld 3582 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑢𝑆𝑢𝐵))
3426sseld 3582 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑣𝑆𝑣𝐵))
3526sseld 3582 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑤𝑆𝑤𝐵))
3633, 34, 353anim123d 1403 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → ((𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝑆) → (𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵)))
3736imp 445 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝑆)) → (𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵))
38 simpl1 1062 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ Mnd)
395, 19mndass 17223 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵)) → ((𝑢 + 𝑣) + 𝑤) = (𝑢 + (𝑣 + 𝑤)))
4038, 39sylan 488 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵)) → ((𝑢 + 𝑣) + 𝑤) = (𝑢 + (𝑣 + 𝑤)))
4137, 40syldan 487 . . 3 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝑆)) → ((𝑢 + 𝑣) + 𝑤) = (𝑢 + (𝑣 + 𝑤)))
42 simpl3 1064 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → 0𝑆)
4326sselda 3583 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑢𝑆) → 𝑢𝐵)
44 issubmnd.z . . . . . 6 0 = (0g𝐺)
455, 19, 44mndlid 17232 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑢𝐵) → ( 0 + 𝑢) = 𝑢)
4638, 45sylan 488 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑢𝐵) → ( 0 + 𝑢) = 𝑢)
4743, 46syldan 487 . . 3 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑢𝑆) → ( 0 + 𝑢) = 𝑢)
485, 19, 44mndrid 17233 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑢𝐵) → (𝑢 + 0 ) = 𝑢)
4938, 48sylan 488 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑢𝐵) → (𝑢 + 0 ) = 𝑢)
5043, 49syldan 487 . . 3 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑢𝑆) → (𝑢 + 0 ) = 𝑢)
5127, 28, 32, 41, 42, 47, 50ismndd 17234 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝐻 ∈ Mnd)
5225, 51impbida 876 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) → (𝐻 ∈ Mnd ↔ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3186  wss 3555  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  s cress 15782  +gcplusg 15862  0gc0g 16021  Mndcmnd 17215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216
This theorem is referenced by:  issubm2  17269
  Copyright terms: Public domain W3C validator