Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubrg3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubrg3 18748
 Description: A subring is an additive subgroup which is also a multiplicative submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
issubrg3.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
issubrg3 (𝑅 ∈ Ring → (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀))))

Proof of Theorem issubrg3
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2621 . . . 4 (1r𝑅) = (1r𝑅)
3 eqid 2621 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
41, 2, 3issubrg2 18740 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
5 3anass 1040 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ((1r𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
64, 5syl6bb 276 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ((1r𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑆))))
7 issubrg3.m . . . . 5 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
87ringmgp 18493 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
91subgss 17535 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
107, 1mgpbas 18435 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
117, 2ringidval 18443 . . . . . . 7 (1r𝑅) = (0g𝑀)
127, 3mgpplusg 18433 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (+g𝑀)
1310, 11, 12issubm 17287 . . . . . 6 (𝑀 ∈ Mnd → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
14 3anass 1040 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ ((1r𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
1513, 14syl6bb 276 . . . . 5 (𝑀 ∈ Mnd → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ ((1r𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑆))))
1615baibd 947 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ ((1r𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
178, 9, 16syl2an 494 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ ((1r𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
1817pm5.32da 672 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ((1r𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑆))))
196, 18bitr4d 271 1 (𝑅 ∈ Ring → (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2908   ⊆ wss 3560  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  Basecbs 15800  .rcmulr 15882  Mndcmnd 17234  SubMndcsubmnd 17274  SubGrpcsubg 17528  mulGrpcmgp 18429  1rcur 18441  Ringcrg 18487  SubRingcsubrg 18716 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-0g 16042  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-subg 17531  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-subrg 18718 This theorem is referenced by:  rhmeql  18750  rhmima  18751  cntzsubr  18752  subrgacs  37290
 Copyright terms: Public domain W3C validator