MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ist0-3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ist0-3 21197
Description: The predicate "is a T0 space," expressed in more familiar terms. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.)
Assertion
Ref Expression
ist0-3 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑦 → ∃𝑜𝐽 ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑜,𝐽   𝑜,𝑋,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ist0-3
StepHypRef Expression
1 ist0-2 21196 . 2 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦)))
2 con34b 305 . . . 4 ((∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦) ↔ (¬ 𝑥 = 𝑦 → ¬ ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜)))
3 df-ne 2824 . . . . 5 (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
4 xor 953 . . . . . . . 8 (¬ (𝑥𝑜𝑦𝑜) ↔ ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (𝑦𝑜 ∧ ¬ 𝑥𝑜)))
5 ancom 465 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑜 ∧ ¬ 𝑥𝑜) ↔ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜))
65orbi2i 540 . . . . . . . 8 (((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (𝑦𝑜 ∧ ¬ 𝑥𝑜)) ↔ ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜)))
74, 6bitri 264 . . . . . . 7 (¬ (𝑥𝑜𝑦𝑜) ↔ ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜)))
87rexbii 3070 . . . . . 6 (∃𝑜𝐽 ¬ (𝑥𝑜𝑦𝑜) ↔ ∃𝑜𝐽 ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜)))
9 rexnal 3024 . . . . . 6 (∃𝑜𝐽 ¬ (𝑥𝑜𝑦𝑜) ↔ ¬ ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜))
108, 9bitr3i 266 . . . . 5 (∃𝑜𝐽 ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜)) ↔ ¬ ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜))
113, 10imbi12i 339 . . . 4 ((𝑥𝑦 → ∃𝑜𝐽 ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜))) ↔ (¬ 𝑥 = 𝑦 → ¬ ∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜)))
122, 11bitr4i 267 . . 3 ((∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦) ↔ (𝑥𝑦 → ∃𝑜𝐽 ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜))))
13122ralbii 3010 . 2 (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (∀𝑜𝐽 (𝑥𝑜𝑦𝑜) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑦 → ∃𝑜𝐽 ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜))))
141, 13syl6bb 276 1 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ∈ Kol2 ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑦 → ∃𝑜𝐽 ((𝑥𝑜 ∧ ¬ 𝑦𝑜) ∨ (¬ 𝑥𝑜𝑦𝑜)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  cfv 5926  TopOnctopon 20763  Kol2ct0 21158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fv 5934  df-topon 20764  df-t0 21165
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator