Theorem istrkg3ld 26241

Description: Property of fulfilling the lower dimension 3 axiom. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
istrkg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
istrkg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
istrkg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
istrkg3ld	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐺DimTarskiG≥3 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧,𝐼   𝑢,𝑃,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢, − ,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem istrkg3ld

Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3z 12009	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℤ
2		2re 11705	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		3re 11711	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
4		2lt3 11803	. . . . 5 ⊢ 2 < 3
5	2, 3, 4	ltleii 10757	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 3
6		2z 12008	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
7	6	eluz1i 12245	. . . 4 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 3))
8	1, 5, 7	mpbir2an 709	. . 3 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘2)
9		istrkg.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
10		istrkg.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
11		istrkg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
12	9, 10, 11	istrkgld 26239	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 3 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐺DimTarskiG≥3 ↔ ∃𝑓(𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
13	8, 12	mpan2 689	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐺DimTarskiG≥3 ↔ ∃𝑓(𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
14		fzo13pr 13115	. . . . . 6 ⊢ (1..^3) = {1, 2}
15		f1eq2 6565	. . . . . 6 ⊢ ((1..^3) = {1, 2} → (𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ↔ 𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ↔ 𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃)
17	16	anbi1i 625	. . . 4 ⊢ ((𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ (𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
18	17	exbii 1844	. . 3 ⊢ (∃𝑓(𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑓(𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
19	18	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (∃𝑓(𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑓(𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
20		1z 12006	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
21		1ne2 11839	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 2
22		oveq1 7157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → (𝑢 − 𝑥) = ((𝑓‘1) − 𝑥))
23	22	eqeq1d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → ((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥)))
24		oveq1 7157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → (𝑢 − 𝑦) = ((𝑓‘1) − 𝑦))
25	24	eqeq1d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → ((𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦)))
26		oveq1 7157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → (𝑢 − 𝑧) = ((𝑓‘1) − 𝑧))
27	26	eqeq1d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → ((𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)))
28	23, 25, 27	3anbi123d 1432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → (((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ↔ (((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧))))
29	28	anbi1d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → ((((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ((((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
30	29	rexbidv 3297	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → (∃𝑧 ∈ 𝑃 (((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 ((((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
31	30	2rexbidv 3300	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ((((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
32		oveq1 7157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (𝑣 − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥))
33	32	eqeq2d 2832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥)))
34		oveq1 7157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (𝑣 − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦))
35	34	eqeq2d 2832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦)))
36		oveq1 7157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (𝑣 − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧))
37	36	eqeq2d 2832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧)))
38	33, 35, 37	3anbi123d 1432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → ((((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ↔ (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧))))
39		2p1e3 11773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 + 1) = 3
40	39	oveq2i 7161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2..^(2 + 1)) = (2..^3)
41		fzosn 13102	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2..^(2 + 1)) = {2})
42	6, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2..^(2 + 1)) = {2}
43	40, 42	eqtr3i 2846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2..^3) = {2}
44	43	raleqi 3413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ↔ ∀𝑗 ∈ {2} (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)))
45		fveq2 6664	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 2 → (𝑓‘𝑗) = (𝑓‘2))
46	45	oveq1d 7165	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 2 → ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥))
47	46	eqeq2d 2832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 2 → (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥)))
48	45	oveq1d 7165	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 2 → ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦))
49	48	eqeq2d 2832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 2 → (((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦)))
50	45	oveq1d 7165	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 2 → ((𝑓‘𝑗) − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧))
51	50	eqeq2d 2832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 2 → (((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧)))
52	47, 49, 51	3anbi123d 1432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 2 → ((((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ↔ (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧))))
53	52	ralsng 4606	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℤ → (∀𝑗 ∈ {2} (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ↔ (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧))))
54	6, 53	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑗 ∈ {2} (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ↔ (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧)))
55	44, 54	bitri 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ↔ (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧)))
56	38, 55	syl6bbr 291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → ((((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ↔ ∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧))))
57	56	anbi1d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (((((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
58	57	rexbidv 3297	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (∃𝑧 ∈ 𝑃 ((((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
59	58	2rexbidv 3300	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ((((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
60	31, 59	f1prex 7034	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 1 ≠ 2) → (∃𝑓(𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
61	20, 6, 21, 60	mp3an 1457	. . 3 ⊢ (∃𝑓(𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
62	61	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (∃𝑓(𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
63	13, 19, 62	3bitrd 307	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐺DimTarskiG≥3 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ w3o 1082   ∧ w3a 1083   = wceq 1533  ∃wex 1776   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  {csn 4560  {cpr 4562   class class class wbr 5058  –1-1→wf1 6346  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  1c1 10532   + caddc 10534   ≤ cle 10670  2c2 11686  3c3 11687  ℤcz 11975  ℤ_≥cuz 12237  ..^cfzo 13027  Basecbs 16477  distcds 16568  Dim_TarskiG≥cstrkgld 26214  Itvcitv 26216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-trkgld 26232

This theorem is referenced by:  axtgupdim2  26251