MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isum 14246
Description: Series sum with an upper integer index set (i.e. an infinite series). (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
zsum.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
zsum.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isum.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
isum.4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
isum (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐵 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝑘,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem isum
StepHypRef Expression
1 zsum.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 zsum.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 ssid 3587 . . 3 𝑍𝑍
43a1i 11 . 2 (𝜑𝑍𝑍)
5 isum.3 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
6 iftrue 4042 . . . 4 (𝑘𝑍 → if(𝑘𝑍, 𝐵, 0) = 𝐵)
76adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → if(𝑘𝑍, 𝐵, 0) = 𝐵)
85, 7eqtr4d 2647 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝑍, 𝐵, 0))
9 isum.4 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
101, 2, 4, 8, 9zsum 14245 1 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐵 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wss 3540  ifcif 4036  cfv 5790  cc 9791  0cc0 9793   + caddc 9796  cz 11213  cuz 11522  seqcseq 12621  cli 14012  Σcsu 14213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-oi 8276  df-card 8626  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-rp 11668  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-seq 12622  df-exp 12681  df-hash 12938  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-clim 14016  df-sum 14214
This theorem is referenced by:  isumclim  14279  isumclim2  14280  isumclim3  14281  sumnul  14282  isumcl  14283  isumshft  14359  isumle  14364  iprodefisum  30674  sumnnodd  38491
  Copyright terms: Public domain W3C validator