MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isumadd 14421
Description: Addition of infinite sums. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumadd.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumadd.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isumadd.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
isumadd.4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumadd.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
isumadd.6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
isumadd.7 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
isumadd.8 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
isumadd (𝜑 → Σ𝑘𝑍 (𝐴 + 𝐵) = (Σ𝑘𝑍 𝐴 + Σ𝑘𝑍 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem isumadd
Dummy variables 𝑗 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumadd.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 isumadd.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 fveq2 6150 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑘))
4 fveq2 6150 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (𝐺𝑚) = (𝐺𝑘))
53, 4oveq12d 6623 . . . . 5 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
6 eqid 2626 . . . . 5 (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚))) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)))
7 ovex 6633 . . . . 5 ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)) ∈ V
85, 6, 7fvmpt 6240 . . . 4 (𝑘𝑍 → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
98adantl 482 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
10 isumadd.3 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
11 isumadd.5 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
1210, 11oveq12d 6623 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)) = (𝐴 + 𝐵))
139, 12eqtrd 2660 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)))‘𝑘) = (𝐴 + 𝐵))
14 isumadd.4 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
15 isumadd.6 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
1614, 15addcld 10004 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
17 isumadd.7 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
181, 2, 10, 14, 17isumclim2 14412 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘𝑍 𝐴)
19 seqex 12740 . . . 4 seq𝑀( + , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)))) ∈ V
2019a1i 11 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)))) ∈ V)
21 isumadd.8 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
221, 2, 11, 15, 21isumclim2 14412 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘𝑍 𝐵)
2310, 14eqeltrd 2704 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
241, 2, 23serf 12766 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
2524ffvelrnda 6316 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
2611, 15eqeltrd 2704 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
271, 2, 26serf 12766 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺):𝑍⟶ℂ)
2827ffvelrnda 6316 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℂ)
29 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
3029, 1syl6eleq 2714 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
31 simpll 789 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → 𝜑)
32 elfzuz 12277 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
3332, 1syl6eleqr 2715 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘𝑍)
3433adantl 482 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → 𝑘𝑍)
3531, 34, 23syl2anc 692 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3631, 34, 26syl2anc 692 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
3734, 8syl 17 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
3830, 35, 36, 37seradd 12780 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚))))‘𝑗) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) + (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑗)))
391, 2, 18, 20, 22, 25, 28, 38climadd 14291 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)))) ⇝ (Σ𝑘𝑍 𝐴 + Σ𝑘𝑍 𝐵))
401, 2, 13, 16, 39isumclim 14411 1 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 (𝐴 + 𝐵) = (Σ𝑘𝑍 𝐴 + Σ𝑘𝑍 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  Vcvv 3191  cmpt 4678  dom cdm 5079  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879   + caddc 9884  cz 11322  cuz 11631  ...cfz 12265  seqcseq 12738  cli 14144  Σcsu 14345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-oi 8360  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-clim 14148  df-sum 14346
This theorem is referenced by:  sumsplit  14422  binomcxplemnotnn0  38023
  Copyright terms: Public domain W3C validator