Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumclim3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isumclim3 14418
 Description: The sequence of partial finite sums of a converging infinite series converge to the infinite sum of the series. Note that 𝑗 must not occur in 𝐴. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumclim3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumclim3.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isumclim3.3 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
isumclim3.4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumclim3.5 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴)
Assertion
Ref Expression
isumclim3 (𝜑𝐹 ⇝ Σ𝑘𝑍 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝑗,𝑘,𝑀   𝜑,𝑗,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝑗,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem isumclim3
Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumclim3.3 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
2 climdm 14219 . . 3 (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
31, 2sylib 208 . 2 (𝜑𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
4 sumfc 14373 . . . 4 Σ𝑚𝑍 ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = Σ𝑘𝑍 𝐴
5 isumclim3.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 isumclim3.2 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 eqidd 2622 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚))
8 isumclim3.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
9 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑘𝑍𝐴) = (𝑘𝑍𝐴)
108, 9fmptd 6340 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝑍𝐴):𝑍⟶ℂ)
1110ffvelrnda 6315 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) ∈ ℂ)
125, 6, 7, 11isum 14383 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑚𝑍 ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))))
134, 12syl5eqr 2669 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))))
14 seqex 12743 . . . . . . 7 seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) ∈ V
1514a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) ∈ V)
16 isumclim3.5 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴)
17 fzssuz 12324 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀...𝑗) ⊆ (ℤ𝑀)
1817, 5sseqtr4i 3617 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀...𝑗) ⊆ 𝑍
19 resmpt 5408 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀...𝑗) ⊆ 𝑍 → ((𝑘𝑍𝐴) ↾ (𝑀...𝑗)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴))
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘𝑍𝐴) ↾ (𝑀...𝑗)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)
2120fveq1i 6149 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘𝑍𝐴) ↾ (𝑀...𝑗))‘𝑚) = ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)‘𝑚)
22 fvres 6164 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑗) → (((𝑘𝑍𝐴) ↾ (𝑀...𝑗))‘𝑚) = ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚))
2321, 22syl5reqr 2670 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑗) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)‘𝑚))
2423sumeq2i 14363 . . . . . . . . 9 Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)‘𝑚)
25 sumfc 14373 . . . . . . . . 9 Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ 𝐴)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴
2624, 25eqtri 2643 . . . . . . . 8 Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴
27 eqidd 2622 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚))
28 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
2928, 5syl6eleq 2708 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
30 simpl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝜑)
31 elfzuz 12280 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
3231, 5syl6eleqr 2709 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑚𝑍)
3330, 32, 11syl2an 494 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) ∈ ℂ)
3427, 29, 33fsumser 14394 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑍) → Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑗)((𝑘𝑍𝐴)‘𝑚) = (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))‘𝑗))
3526, 34syl5eqr 2669 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)𝐴 = (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))‘𝑗))
3616, 35eqtr2d 2656 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))‘𝑗) = (𝐹𝑗))
375, 15, 1, 6, 36climeq 14232 . . . . 5 (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝑥𝐹𝑥))
3837iotabidv 5831 . . . 4 (𝜑 → (℩𝑥seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝑥) = (℩𝑥𝐹𝑥))
39 df-fv 5855 . . . 4 ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))) = (℩𝑥seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝑥)
40 df-fv 5855 . . . 4 ( ⇝ ‘𝐹) = (℩𝑥𝐹𝑥)
4138, 39, 403eqtr4g 2680 . . 3 (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))) = ( ⇝ ‘𝐹))
4213, 41eqtrd 2655 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 = ( ⇝ ‘𝐹))
433, 42breqtrrd 4641 1 (𝜑𝐹 ⇝ Σ𝑘𝑍 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3186   ⊆ wss 3555   class class class wbr 4613   ↦ cmpt 4673  dom cdm 5074   ↾ cres 5076  ℩cio 5808  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℂcc 9878   + caddc 9883  ℤcz 11321  ℤ≥cuz 11631  ...cfz 12268  seqcseq 12741   ⇝ cli 14149  Σcsu 14350 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351 This theorem is referenced by:  esumcvg  29926
 Copyright terms: Public domain W3C validator