Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isumle 14620
 Description: Comparison of two infinite sums. (Contributed by Paul Chapman, 13-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumle.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumle.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isumle.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
isumle.4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
isumle.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
isumle.6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
isumle.7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴𝐵)
isumle.8 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
isumle.9 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
isumle (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 ≤ Σ𝑘𝑍 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem isumle
StepHypRef Expression
1 isumle.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 isumle.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 isumle.8 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
4 climdm 14329 . . . 4 (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
53, 4sylib 208 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
6 isumle.9 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
7 climdm 14329 . . . 4 (seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐺)))
86, 7sylib 208 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐺)))
9 isumle.3 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
10 isumle.4 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
119, 10eqeltrd 2730 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
12 isumle.5 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
13 isumle.6 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
1412, 13eqeltrd 2730 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
15 isumle.7 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴𝐵)
1615, 9, 123brtr4d 4717 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐺𝑘))
171, 2, 5, 8, 11, 14, 16iserle 14434 . 2 (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)) ≤ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐺)))
1810recnd 10106 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
191, 2, 9, 18isum 14494 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
2013recnd 10106 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
211, 2, 12, 20isum 14494 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐵 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐺)))
2217, 19, 213brtr4d 4717 1 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 ≤ Σ𝑘𝑍 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  ‘cfv 5926  ℝcr 9973   + caddc 9977   ≤ cle 10113  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725  seqcseq 12841   ⇝ cli 14259  Σcsu 14460 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461 This theorem is referenced by:  isumless  14621  eftlub  14883  eflegeo  14895  rpnnen2lem7  14993  aaliou3lem3  24144  abelthlem7  24237  log2tlbnd  24717
 Copyright terms: Public domain W3C validator