MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumltss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isumltss 15191
Description: A partial sum of a series with positive terms is less than the infinite sum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isumltss.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumltss.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isumltss.3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
isumltss.4 (𝜑𝐴𝑍)
isumltss.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
isumltss.6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ+)
isumltss.7 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
isumltss (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 < Σ𝑘𝑍 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem isumltss
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumltss.2 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 isumltss.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
32uzinf 13321 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑍 ∈ Fin)
41, 3syl 17 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ Fin)
5 ssdif0 4320 . . . . 5 (𝑍𝐴 ↔ (𝑍𝐴) = ∅)
6 isumltss.4 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑍)
7 eqss 3979 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝑍 ↔ (𝐴𝑍𝑍𝐴))
8 isumltss.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
9 eleq1 2897 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝑍 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝑍 ∈ Fin))
108, 9syl5ibcom 246 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 = 𝑍𝑍 ∈ Fin))
117, 10syl5bir 244 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝑍𝑍𝐴) → 𝑍 ∈ Fin))
126, 11mpand 691 . . . . 5 (𝜑 → (𝑍𝐴𝑍 ∈ Fin))
135, 12syl5bir 244 . . . 4 (𝜑 → ((𝑍𝐴) = ∅ → 𝑍 ∈ Fin))
144, 13mtod 199 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝑍𝐴) = ∅)
15 neq0 4306 . . 3 (¬ (𝑍𝐴) = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑍𝐴))
1614, 15sylib 219 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑍𝐴))
178adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
186adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → 𝐴𝑍)
1918sselda 3964 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘𝑍)
20 isumltss.6 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ+)
2120adantlr 711 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ+)
2221rpred 12419 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
2319, 22syldan 591 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
2417, 23fsumrecl 15079 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
25 snfi 8582 . . . . 5 {𝑥} ∈ Fin
26 unfi 8773 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑥} ∈ Fin) → (𝐴 ∪ {𝑥}) ∈ Fin)
2717, 25, 26sylancl 586 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → (𝐴 ∪ {𝑥}) ∈ Fin)
28 eldifi 4100 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑍𝐴) → 𝑥𝑍)
2928snssd 4734 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑍𝐴) → {𝑥} ⊆ 𝑍)
306, 29anim12i 612 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → (𝐴𝑍 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑍))
31 unss 4157 . . . . . . 7 ((𝐴𝑍 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑍) ↔ (𝐴 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑍)
3230, 31sylib 219 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → (𝐴 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑍)
3332sselda 3964 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})) → 𝑘𝑍)
3433, 22syldan 591 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})) → 𝐵 ∈ ℝ)
3527, 34fsumrecl 15079 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})𝐵 ∈ ℝ)
361adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → 𝑀 ∈ ℤ)
37 isumltss.5 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
3837adantlr 711 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
39 isumltss.7 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
4039adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
412, 36, 38, 22, 40isumrecl 15108 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → Σ𝑘𝑍 𝐵 ∈ ℝ)
4225a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → {𝑥} ∈ Fin)
43 vex 3495 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
4443snnz 4703 . . . . . . 7 {𝑥} ≠ ∅
4544a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → {𝑥} ≠ ∅)
4629adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → {𝑥} ⊆ 𝑍)
4746sselda 3964 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥}) → 𝑘𝑍)
4847, 21syldan 591 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥}) → 𝐵 ∈ ℝ+)
4942, 45, 48fsumrpcl 15082 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → Σ𝑘 ∈ {𝑥}𝐵 ∈ ℝ+)
5024, 49ltaddrpd 12452 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → Σ𝑘𝐴 𝐵 < (Σ𝑘𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑥}𝐵))
51 eldifn 4101 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑍𝐴) → ¬ 𝑥𝐴)
5251adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → ¬ 𝑥𝐴)
53 disjsn 4639 . . . . . 6 ((𝐴 ∩ {𝑥}) = ∅ ↔ ¬ 𝑥𝐴)
5452, 53sylibr 235 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → (𝐴 ∩ {𝑥}) = ∅)
55 eqidd 2819 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → (𝐴 ∪ {𝑥}) = (𝐴 ∪ {𝑥}))
5621rpcnd 12421 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
5733, 56syldan 591 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})) → 𝐵 ∈ ℂ)
5854, 55, 27, 57fsumsplit 15085 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})𝐵 = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑥}𝐵))
5950, 58breqtrrd 5085 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → Σ𝑘𝐴 𝐵 < Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})𝐵)
6021rpge0d 12423 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘𝑍) → 0 ≤ 𝐵)
612, 36, 27, 32, 38, 22, 60, 40isumless 15188 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})𝐵 ≤ Σ𝑘𝑍 𝐵)
6224, 35, 41, 59, 61ltletrd 10788 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → Σ𝑘𝐴 𝐵 < Σ𝑘𝑍 𝐵)
6316, 62exlimddv 1927 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 < Σ𝑘𝑍 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  wne 3013  cdif 3930  cun 3931  cin 3932  wss 3933  c0 4288  {csn 4557   class class class wbr 5057  dom cdm 5548  cfv 6348  (class class class)co 7145  Fincfn 8497  cc 10523  cr 10524   + caddc 10528   < clt 10663  cz 11969  cuz 12231  +crp 12377  seqcseq 13357  cli 14829  Σcsu 15030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator