MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumrecl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isumrecl 14419
Description: The sum of a converging infinite real series is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumrecl.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumrecl.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isumrecl.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
isumrecl.4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
isumrecl.5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
isumrecl (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isumrecl
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumrecl.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 isumrecl.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 isumrecl.3 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
4 isumrecl.4 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
54recnd 10013 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
6 isumrecl.5 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
71, 2, 3, 5, 6isumclim2 14412 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘𝑍 𝐴)
83, 4eqeltrd 2704 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
91, 2, 8serfre 12767 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
109ffvelrnda 6316 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℝ)
111, 2, 7, 10climrecl 14243 1 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  dom cdm 5079  cfv 5850  cr 9880   + caddc 9884  cz 11322  cuz 11631  seqcseq 12738  cli 14144  Σcsu 14345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-fl 12530  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-clim 14148  df-rlim 14149  df-sum 14346
This theorem is referenced by:  isumrpcl  14495  isumltss  14500  climcnds  14503  harmonic  14511  mertenslem1  14536  mertenslem2  14537  reefcl  14737  reeftlcl  14758  rpnnen2lem6  14868  prmreclem5  15543  prmreclem6  15544  ovoliun2  23176  abelthlem7  24091  log2tlbnd  24567  esumpcvgval  29913  esumcvg  29921  eulerpartlems  30195  knoppf  32160  geomcau  33173  stirlinglem12  39596
  Copyright terms: Public domain W3C validator