MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumsup2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isumsup2 14769
Description: An infinite sum of nonnegative terms is equal to the supremum of the partial sums. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumsup.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumsup.2 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹)
isumsup.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isumsup.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
isumsup.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
isumsup.6 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ 𝐴)
isumsup.7 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥)
Assertion
Ref Expression
isumsup2 (𝜑𝐺 ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑗,𝐴   𝑗,𝑘,𝐹,𝑥   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝑗,𝐺,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem isumsup2
StepHypRef Expression
1 isumsup.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 isumsup.3 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 isumsup.4 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
4 isumsup.5 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
53, 4eqeltrd 2831 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
61, 2, 5serfre 13016 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
7 isumsup.2 . . . 4 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹)
87feq1i 6189 . . 3 (𝐺:𝑍⟶ℝ ↔ seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
96, 8sylibr 224 . 2 (𝜑𝐺:𝑍⟶ℝ)
10 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
1110, 1syl6eleq 2841 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
12 eluzelz 11881 . . . . 5 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
13 uzid 11886 . . . . 5 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
14 peano2uz 11926 . . . . 5 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ𝑗))
1511, 12, 13, 144syl 19 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ𝑗))
16 simpl 474 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝜑)
17 elfzuz 12523 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑗 + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
1817, 1syl6eleqr 2842 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑗 + 1)) → 𝑘𝑍)
1916, 18, 5syl2an 495 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑗 + 1))) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
201peano2uzs 11927 . . . . . . 7 (𝑗𝑍 → (𝑗 + 1) ∈ 𝑍)
2120adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑗 + 1) ∈ 𝑍)
22 elfzuz 12523 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1)))
231uztrn2 11889 . . . . . 6 (((𝑗 + 1) ∈ 𝑍𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → 𝑘𝑍)
2421, 22, 23syl2an 495 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 𝑘𝑍)
25 isumsup.6 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ 𝐴)
2625, 3breqtrrd 4824 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
2726adantlr 753 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
2824, 27syldan 488 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
2911, 15, 19, 28sermono 13019 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + 1)))
307fveq1i 6345 . . 3 (𝐺𝑗) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)
317fveq1i 6345 . . 3 (𝐺‘(𝑗 + 1)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + 1))
3229, 30, 313brtr4g 4830 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐺𝑗) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1)))
33 isumsup.7 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥)
341, 2, 9, 32, 33climsup 14591 1 (𝜑𝐺 ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wral 3042  wrex 3043   class class class wbr 4796  ran crn 5259  wf 6037  cfv 6041  (class class class)co 6805  supcsup 8503  cr 10119  0cc0 10120  1c1 10121   + caddc 10123   < clt 10258  cle 10259  cz 11561  cuz 11871  ...cfz 12511  seqcseq 12987  cli 14406
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8505  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-rp 12018  df-fz 12512  df-seq 12988  df-exp 13047  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-clim 14410
This theorem is referenced by:  isumsup  14770  ovoliunlem1  23462  ioombl1lem4  23521  uniioombllem2  23543  uniioombllem6  23548  sge0isum  41139
  Copyright terms: Public domain W3C validator