Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumsup2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isumsup2 14503
 Description: An infinite sum of nonnegative terms is equal to the supremum of the partial sums. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumsup.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumsup.2 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹)
isumsup.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isumsup.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
isumsup.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
isumsup.6 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ 𝐴)
isumsup.7 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥)
Assertion
Ref Expression
isumsup2 (𝜑𝐺 ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑗,𝐴   𝑗,𝑘,𝐹,𝑥   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝑗,𝐺,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem isumsup2
StepHypRef Expression
1 isumsup.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 isumsup.3 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 isumsup.4 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
4 isumsup.5 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
53, 4eqeltrd 2698 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
61, 2, 5serfre 12770 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
7 isumsup.2 . . . 4 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹)
87feq1i 5993 . . 3 (𝐺:𝑍⟶ℝ ↔ seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
96, 8sylibr 224 . 2 (𝜑𝐺:𝑍⟶ℝ)
10 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
1110, 1syl6eleq 2708 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
12 eluzelz 11641 . . . . 5 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
13 uzid 11646 . . . . 5 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
14 peano2uz 11685 . . . . 5 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ𝑗))
1511, 12, 13, 144syl 19 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ𝑗))
16 simpl 473 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝜑)
17 elfzuz 12280 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑗 + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
1817, 1syl6eleqr 2709 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑗 + 1)) → 𝑘𝑍)
1916, 18, 5syl2an 494 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑗 + 1))) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
201peano2uzs 11686 . . . . . . 7 (𝑗𝑍 → (𝑗 + 1) ∈ 𝑍)
2120adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑗 + 1) ∈ 𝑍)
22 elfzuz 12280 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1)))
231uztrn2 11649 . . . . . 6 (((𝑗 + 1) ∈ 𝑍𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑗 + 1))) → 𝑘𝑍)
2421, 22, 23syl2an 494 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 𝑘𝑍)
25 isumsup.6 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ 𝐴)
2625, 3breqtrrd 4641 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
2726adantlr 750 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
2824, 27syldan 487 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...(𝑗 + 1))) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
2911, 15, 19, 28sermono 12773 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + 1)))
307fveq1i 6149 . . 3 (𝐺𝑗) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗)
317fveq1i 6149 . . 3 (𝐺‘(𝑗 + 1)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + 1))
3229, 30, 313brtr4g 4647 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐺𝑗) ≤ (𝐺‘(𝑗 + 1)))
33 isumsup.7 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥)
341, 2, 9, 32, 33climsup 14334 1 (𝜑𝐺 ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  ∃wrex 2908   class class class wbr 4613  ran crn 5075  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  supcsup 8290  ℝcr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   < clt 10018   ≤ cle 10019  ℤcz 11321  ℤ≥cuz 11631  ...cfz 12268  seqcseq 12741   ⇝ cli 14149 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153 This theorem is referenced by:  isumsup  14504  ovoliunlem1  23177  ioombl1lem4  23236  uniioombllem2  23257  uniioombllem6  23262  sge0isum  39948
 Copyright terms: Public domain W3C validator