Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isuvtx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isuvtx 26493
 Description: The set of all universal vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Oct-2017.) (Revised by AV, 30-Oct-2020.) (Revised by AV, 14-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
uvtxel.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isuvtx.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
isuvtx (UnivVtx‘𝐺) = {𝑣𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒}
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺,𝑘,𝑣   𝑒,𝑉,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑣,𝑘)

Proof of Theorem isuvtx
StepHypRef Expression
1 uvtxel.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21uvtxval 26483 . 2 (UnivVtx‘𝐺) = {𝑣𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)}
3 isuvtx.e . . . . . . 7 𝐸 = (Edg‘𝐺)
41, 3nbgrel 26428 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ((𝑘𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑘𝑣 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒))
5 df-3an 1074 . . . . . 6 (((𝑘𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑘𝑣 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒) ↔ (((𝑘𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑘𝑣) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒))
64, 5bitri 264 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ (((𝑘𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑘𝑣) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒))
7 prcom 4407 . . . . . . . 8 {𝑘, 𝑣} = {𝑣, 𝑘}
87sseq1i 3766 . . . . . . 7 ({𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒)
98rexbii 3175 . . . . . 6 (∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒 ↔ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒)
10 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑣𝑉𝑣𝑉)
11 eldifi 3871 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}) → 𝑘𝑉)
1210, 11anim12ci 592 . . . . . . . 8 ((𝑣𝑉𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (𝑘𝑉𝑣𝑉))
13 eldifsni 4462 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}) → 𝑘𝑣)
1413adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝑣𝑉𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → 𝑘𝑣)
1512, 14jca 555 . . . . . . 7 ((𝑣𝑉𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → ((𝑘𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑘𝑣))
1615biantrurd 530 . . . . . 6 ((𝑣𝑉𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒 ↔ (((𝑘𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑘𝑣) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒)))
179, 16syl5rbb 273 . . . . 5 ((𝑣𝑉𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → ((((𝑘𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑘𝑣) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒) ↔ ∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒))
186, 17syl5bb 272 . . . 4 ((𝑣𝑉𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒))
1918ralbidva 3119 . . 3 (𝑣𝑉 → (∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒))
2019rabbiia 3320 . 2 {𝑣𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)} = {𝑣𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒}
212, 20eqtri 2778 1 (UnivVtx‘𝐺) = {𝑣𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒}
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1628   ∈ wcel 2135   ≠ wne 2928  ∀wral 3046  ∃wrex 3047  {crab 3050   ∖ cdif 3708   ⊆ wss 3711  {csn 4317  {cpr 4319  ‘cfv 6045  (class class class)co 6809  Vtxcvtx 26069  Edgcedg 26134   NeighbVtx cnbgr 26419  UnivVtxcuvtx 26481 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1631  df-fal 1634  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-ral 3051  df-rex 3052  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-nul 4055  df-if 4227  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4585  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-id 5170  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fv 6053  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-nbgr 26420  df-uvtx 26482 This theorem is referenced by:  uvtxel1  26495
 Copyright terms: Public domain W3C validator