Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isvonmbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isvonmbl 41376
 Description: The predicate "𝐴 is measurable w.r.t. the n-dimensional Lebesgue measure". A set is measurable if it splits every other set 𝑥 in a "nice" way, that is, if the measure of the pieces 𝑥 ∩ 𝐴 and 𝑥 ∖ 𝐴 sum up to the measure of 𝑥. Definition 114E of [Fremlin1] p. 25. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
isvonmbl.1 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
isvonmbl (𝜑 → (𝐸 ∈ dom (voln‘𝑋) ↔ (𝐸 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎))))
Distinct variable groups:   𝐸,𝑎   𝑋,𝑎
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑎)

Proof of Theorem isvonmbl
StepHypRef Expression
1 isvonmbl.1 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
21dmvon 41344 . . 3 (𝜑 → dom (voln‘𝑋) = (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))
32eleq2d 2825 . 2 (𝜑 → (𝐸 ∈ dom (voln‘𝑋) ↔ 𝐸 ∈ (CaraGen‘(voln*‘𝑋))))
41ovnome 41311 . . 3 (𝜑 → (voln*‘𝑋) ∈ OutMeas)
5 eqid 2760 . . 3 (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) = (CaraGen‘(voln*‘𝑋))
64, 5caragenel 41233 . 2 (𝜑 → (𝐸 ∈ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎))))
7 elpwi 4312 . . . . . . 7 (𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋) → 𝐸 dom (voln*‘𝑋))
87adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋)) → 𝐸 dom (voln*‘𝑋))
91unidmovn 41351 . . . . . . 7 (𝜑 dom (voln*‘𝑋) = (ℝ ↑𝑚 𝑋))
109adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋)) → dom (voln*‘𝑋) = (ℝ ↑𝑚 𝑋))
118, 10sseqtrd 3782 . . . . 5 ((𝜑𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋)) → 𝐸 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
1211ex 449 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋) → 𝐸 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋)))
13 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝐸 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝐸 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
149eqcomd 2766 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ ↑𝑚 𝑋) = dom (voln*‘𝑋))
1514adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐸 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → (ℝ ↑𝑚 𝑋) = dom (voln*‘𝑋))
1613, 15sseqtrd 3782 . . . . . 6 ((𝜑𝐸 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝐸 dom (voln*‘𝑋))
17 ovex 6842 . . . . . . . . 9 (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∈ V
1817ssex 4954 . . . . . . . 8 (𝐸 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → 𝐸 ∈ V)
19 elpwg 4310 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ V → (𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋) ↔ 𝐸 dom (voln*‘𝑋)))
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝐸 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → (𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋) ↔ 𝐸 dom (voln*‘𝑋)))
2120adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝐸 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → (𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋) ↔ 𝐸 dom (voln*‘𝑋)))
2216, 21mpbird 247 . . . . 5 ((𝜑𝐸 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋))
2322ex 449 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → 𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋)))
2412, 23impbid 202 . . 3 (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋) ↔ 𝐸 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋)))
259pweqd 4307 . . . 4 (𝜑 → 𝒫 dom (voln*‘𝑋) = 𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋))
26 raleq 3277 . . . 4 (𝒫 dom (voln*‘𝑋) = 𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎)))
2725, 26syl 17 . . 3 (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎)))
2824, 27anbi12d 749 . 2 (𝜑 → ((𝐸 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 dom (voln*‘𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎)) ↔ (𝐸 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎))))
293, 6, 283bitrd 294 1 (𝜑 → (𝐸 ∈ dom (voln‘𝑋) ↔ (𝐸 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋)(((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸)) +𝑒 ((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝐸))) = ((voln*‘𝑋)‘𝑎))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  Vcvv 3340   ∖ cdif 3712   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715  𝒫 cpw 4302  ∪ cuni 4588  dom cdm 5266  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814   ↑𝑚 cmap 8025  Fincfn 8123  ℝcr 10147   +𝑒 cxad 12157  CaraGenccaragen 41229  voln*covoln 41274  volncvoln 41276 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cc 9469  ax-ac2 9497  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-tpos 7522  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-acn 8978  df-ac 9149  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-prod 14855  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-rest 16305  df-0g 16324  df-topgen 16326  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-subg 17812  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-cring 18770  df-oppr 18843  df-dvdsr 18861  df-unit 18862  df-invr 18892  df-dvr 18903  df-drng 18971  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-bases 20972  df-cmp 21412  df-ovol 23453  df-vol 23454  df-sumge0 41101  df-ome 41228  df-caragen 41230  df-ovoln 41275  df-voln 41277 This theorem is referenced by:  vonvolmbl  41399
 Copyright terms: Public domain W3C validator