MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isxmet2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isxmet2d 22126
Description: It is safe to only require the triangle inequality when the values are real (so that we can use the standard addition over the reals), but in this case the nonnegativity constraint cannot be deduced and must be provided separately. (Counterexample: 𝐷(𝑥, 𝑦) = if(𝑥 = 𝑦, 0, -∞) satisfies all hypotheses except nonnegativity.) (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isxmetd.0 (𝜑𝑋 ∈ V)
isxmetd.1 (𝜑𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
isxmet2d.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
isxmet2d.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
isxmet2d.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
Assertion
Ref Expression
isxmet2d (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧

Proof of Theorem isxmet2d
StepHypRef Expression
1 isxmetd.0 . 2 (𝜑𝑋 ∈ V)
2 isxmetd.1 . 2 (𝜑𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
32fovrnda 6802 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
4 0xr 10083 . . . 4 0 ∈ ℝ*
5 xrletri3 11982 . . . 4 (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))))
63, 4, 5sylancl 694 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))))
7 isxmet2d.2 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
87biantrud 528 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))))
9 isxmet2d.3 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
106, 8, 93bitr2d 296 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
11 isxmet2d.4 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
12113expa 1264 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
13 rexadd 12060 . . . . . . 7 (((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ) → ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
1413adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) → ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
1512, 14breqtrrd 4679 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
1615anassrs 680 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
1733adantr3 1221 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
18 pnfge 11961 . . . . . . 7 ((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ* → (𝑥𝐷𝑦) ≤ +∞)
1917, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ +∞)
2019ad2antrr 762 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝐷𝑦) = +∞) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ +∞)
21 oveq2 6655 . . . . . 6 ((𝑧𝐷𝑦) = +∞ → ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 +∞))
22 ffn 6043 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋))
232, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋))
24 elxrge0 12278 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦)))
253, 7, 24sylanbrc 698 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞))
2625ralrimivva 2970 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞))
27 ffnov 6761 . . . . . . . . . . 11 (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]+∞) ↔ (𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞)))
2823, 26, 27sylanbrc 698 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]+∞))
2928adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]+∞))
30 simpr3 1068 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → 𝑧𝑋)
31 simpr1 1066 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → 𝑥𝑋)
3229, 30, 31fovrnd 6803 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑧𝐷𝑥) ∈ (0[,]+∞))
33 elxrge0 12278 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐷𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑧𝐷𝑥)))
3433simplbi 476 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐷𝑥) ∈ (0[,]+∞) → (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
3532, 34syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
36 renemnf 10085 . . . . . . 7 ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ → (𝑧𝐷𝑥) ≠ -∞)
37 xaddpnf1 12054 . . . . . . 7 (((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ (𝑧𝐷𝑥) ≠ -∞) → ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 +∞) = +∞)
3835, 36, 37syl2an 494 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ) → ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 +∞) = +∞)
3921, 38sylan9eqr 2677 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝐷𝑦) = +∞) → ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = +∞)
4020, 39breqtrrd 4679 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝐷𝑦) = +∞) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
41 simpr2 1067 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → 𝑦𝑋)
4229, 30, 41fovrnd 6803 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑧𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞))
43 elxrge0 12278 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑧𝐷𝑦)))
4443simplbi 476 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞) → (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
4542, 44syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
4643simprbi 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐷𝑦) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝑧𝐷𝑦))
4742, 46syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → 0 ≤ (𝑧𝐷𝑦))
48 ge0nemnf 12001 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑧𝐷𝑦)) → (𝑧𝐷𝑦) ≠ -∞)
4945, 47, 48syl2anc 693 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑧𝐷𝑦) ≠ -∞)
5049a1d 25 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (¬ (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) → (𝑧𝐷𝑦) ≠ -∞))
5150necon4bd 2813 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑧𝐷𝑦) = -∞ → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
5251adantr 481 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ) → ((𝑧𝐷𝑦) = -∞ → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
5352imp 445 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝐷𝑦) = -∞) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
5445adantr 481 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ) → (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
55 elxr 11947 . . . . 5 ((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ ∨ (𝑧𝐷𝑦) = +∞ ∨ (𝑧𝐷𝑦) = -∞))
5654, 55sylib 208 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ) → ((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ ∨ (𝑧𝐷𝑦) = +∞ ∨ (𝑧𝐷𝑦) = -∞))
5716, 40, 53, 56mpjao3dan 1394 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
5819adantr 481 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ (𝑧𝐷𝑥) = +∞) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ +∞)
59 oveq1 6654 . . . . 5 ((𝑧𝐷𝑥) = +∞ → ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = (+∞ +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
60 xaddpnf2 12055 . . . . . 6 (((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ (𝑧𝐷𝑦) ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = +∞)
6145, 49, 60syl2anc 693 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (+∞ +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = +∞)
6259, 61sylan9eqr 2677 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ (𝑧𝐷𝑥) = +∞) → ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = +∞)
6358, 62breqtrrd 4679 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ (𝑧𝐷𝑥) = +∞) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
6433simprbi 480 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐷𝑥) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝑧𝐷𝑥))
6532, 64syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → 0 ≤ (𝑧𝐷𝑥))
66 ge0nemnf 12001 . . . . . . 7 (((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑧𝐷𝑥)) → (𝑧𝐷𝑥) ≠ -∞)
6735, 65, 66syl2anc 693 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑧𝐷𝑥) ≠ -∞)
6867a1d 25 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (¬ (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) → (𝑧𝐷𝑥) ≠ -∞))
6968necon4bd 2813 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑧𝐷𝑥) = -∞ → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
7069imp 445 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) ∧ (𝑧𝐷𝑥) = -∞) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
71 elxr 11947 . . . 4 ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ* ↔ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∨ (𝑧𝐷𝑥) = +∞ ∨ (𝑧𝐷𝑥) = -∞))
7235, 71sylib 208 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∨ (𝑧𝐷𝑥) = +∞ ∨ (𝑧𝐷𝑥) = -∞))
7357, 63, 70, 72mpjao3dan 1394 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
741, 2, 10, 73isxmetd 22125 1 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3o 1036  w3a 1037   = wceq 1482  wcel 1989  wne 2793  wral 2911  Vcvv 3198   class class class wbr 4651   × cxp 5110   Fn wfn 5881  wf 5882  cfv 5886  (class class class)co 6647  cr 9932  0cc0 9933   + caddc 9936  +∞cpnf 10068  -∞cmnf 10069  *cxr 10070  cle 10072   +𝑒 cxad 11941  [,]cicc 12175  ∞Metcxmt 19725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-po 5033  df-so 5034  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-er 7739  df-map 7856  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-xadd 11944  df-icc 12179  df-xmet 19733
This theorem is referenced by:  prdsxmetlem  22167  xrsxmet  22606
  Copyright terms: Public domain W3C validator