Theorem iszeroo 17265

Description: The predicate "is a zero object" of a category. (Contributed by AV, 3-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isinito.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
isinito.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
isinito.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
isinito.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
iszeroo	⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (ZeroO‘𝐶) ↔ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ∧ 𝐼 ∈ (TermO‘𝐶))))

Proof of Theorem iszeroo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isinito.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
2		isinito.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		isinito.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
4	1, 2, 3	zerooval 17262	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ZeroO‘𝐶) = ((InitO‘𝐶) ∩ (TermO‘𝐶)))
5	4	eleq2d 2901	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (ZeroO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ ((InitO‘𝐶) ∩ (TermO‘𝐶))))
6		elin 4172	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ ((InitO‘𝐶) ∩ (TermO‘𝐶)) ↔ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ∧ 𝐼 ∈ (TermO‘𝐶)))
7	5, 6	syl6bb 289	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (ZeroO‘𝐶) ↔ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ∧ 𝐼 ∈ (TermO‘𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ∩ cin 3938  ‘cfv 6358  Basecbs 16486  Hom chom 16579  Catccat 16938  InitOcinito 17251  TermOctermo 17252  ZeroOczeroo 17253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pr 5333

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ral 3146  df-rex 3147  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fv 6366  df-zeroo 17256

This theorem is referenced by:  iszeroi  17272  zrzeroorngc  44280