Theorem itg10a 24305

Description: The integral of a simple function supported on a nullset is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg10a.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
itg10a.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
itg10a.3	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
itg10a.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = 0)

Assertion

Ref	Expression
itg10a	⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐹) = 0)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg10a

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg10a.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
2		itg1val 24278	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) = Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐹) = Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))))
4		i1ff 24271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
5	1, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
6	5	ffnd 6510	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℝ)
7	6	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝐹 Fn ℝ)
8		fniniseg 6825	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 Fn ℝ → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑘}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)))
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑘}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)))
10		eldifsni 4716	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → 𝑘 ≠ 0)
11	10	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → 𝑘 ≠ 0)
12		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → 𝑥 ∈ ℝ)
13		eldif 3946	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
14		simplrr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = 𝑘)
15		itg10a.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = 0)
16	15	ad4ant14 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = 0)
17	14, 16	eqtr3d 2858	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → 𝑘 = 0)
18	17	ex 415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 𝑘 = 0))
19	13, 18	syl5bir 245	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑘 = 0))
20	12, 19	mpand 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑘 = 0))
21	20	necon1ad 3033	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → (𝑘 ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝐴))
22	11, 21	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
23	22	ex 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘) → 𝑥 ∈ 𝐴))
24	9, 23	sylbid 242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑘}) → 𝑥 ∈ 𝐴))
25	24	ssrdv 3973	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (◡𝐹 “ {𝑘}) ⊆ 𝐴)
26		itg10a.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
27	26	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝐴 ⊆ ℝ)
28	25, 27	sstrd 3977	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (◡𝐹 “ {𝑘}) ⊆ ℝ)
29		itg10a.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
30	29	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol*‘𝐴) = 0)
31		ovolssnul 24082	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((◡𝐹 “ {𝑘}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑘})) = 0)
32	25, 27, 30, 31	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑘})) = 0)
33		nulmbl 24130	. . . . . . . . 9 ⊢ (((◡𝐹 “ {𝑘}) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑘})) = 0) → (◡𝐹 “ {𝑘}) ∈ dom vol)
34	28, 32, 33	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (◡𝐹 “ {𝑘}) ∈ dom vol)
35		mblvol 24125	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑘}) ∈ dom vol → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘})) = (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑘})))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘})) = (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑘})))
37	36, 32	eqtrd 2856	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘})) = 0)
38	37	oveq2d 7166	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))) = (𝑘 · 0))
39	5	frnd 6516	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
40	39	ssdifssd 4119	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ℝ)
41	40	sselda 3967	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℝ)
42	41	recnd 10663	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℂ)
43	42	mul01d 10833	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑘 · 0) = 0)
44	38, 43	eqtrd 2856	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))) = 0)
45	44	sumeq2dv 15054	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))) = Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})0)
46		i1frn 24272	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
47	1, 46	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)
48		difss 4108	. . . . . 6 ⊢ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹
49		ssfi 8732	. . . . . 6 ⊢ ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
50	47, 48, 49	sylancl 588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
51	50	olcd 870	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ (ℤ≥‘0) ∨ (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin))
52		sumz 15073	. . . 4 ⊢ (((ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ (ℤ≥‘0) ∨ (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})0 = 0)
53	51, 52	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})0 = 0)
54	45, 53	eqtrd 2856	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))) = 0)
55	3, 54	eqtrd 2856	1 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐹) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   ∖ cdif 3933   ⊆ wss 3936  {csn 4561  ^◡ccnv 5549  dom cdm 5550  ran crn 5551   “ cima 5553   Fn wfn 6345  ⟶wf 6346  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  Fincfn 8503  ℝcr 10530  0cc0 10531   · cmul 10536  ℤ_≥cuz 12237  Σcsu 15036  vol*covol 24057  volcvol 24058  ∫₁citg1 24210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-ioo 12736  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-sum 15037  df-ovol 24059  df-vol 24060  df-itg1 24215

This theorem is referenced by:  itg2addnclem  34937