Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg11 23503
 Description: The integral of an indicator function is the volume of the set. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
i1f1.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0))
Assertion
Ref Expression
itg11 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (∫1𝐹) = (vol‘𝐴))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem itg11
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovol0 23307 . . . . 5 (vol*‘∅) = 0
2 0mbl 23353 . . . . . 6 ∅ ∈ dom vol
3 mblvol 23344 . . . . . 6 (∅ ∈ dom vol → (vol‘∅) = (vol*‘∅))
42, 3ax-mp 5 . . . . 5 (vol‘∅) = (vol*‘∅)
5 itg10 23500 . . . . 5 (∫1‘(ℝ × {0})) = 0
61, 4, 53eqtr4ri 2684 . . . 4 (∫1‘(ℝ × {0})) = (vol‘∅)
7 noel 3952 . . . . . . . . 9 ¬ 𝑥 ∈ ∅
8 eleq2 2719 . . . . . . . . 9 (𝐴 = ∅ → (𝑥𝐴𝑥 ∈ ∅))
97, 8mtbiri 316 . . . . . . . 8 (𝐴 = ∅ → ¬ 𝑥𝐴)
109iffalsed 4130 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → if(𝑥𝐴, 1, 0) = 0)
1110mpteq2dv 4778 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
12 i1f1.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0))
13 fconstmpt 5197 . . . . . 6 (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)
1411, 12, 133eqtr4g 2710 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → 𝐹 = (ℝ × {0}))
1514fveq2d 6233 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (∫1𝐹) = (∫1‘(ℝ × {0})))
16 fveq2 6229 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (vol‘𝐴) = (vol‘∅))
176, 15, 163eqtr4a 2711 . . 3 (𝐴 = ∅ → (∫1𝐹) = (vol‘𝐴))
1817a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 = ∅ → (∫1𝐹) = (vol‘𝐴)))
19 n0 3964 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝐴)
2012i1f1 23502 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
2120adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
22 itg1val 23495 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐹) = Σ𝑧 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑧 · (vol‘(𝐹 “ {𝑧}))))
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (∫1𝐹) = Σ𝑧 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑧 · (vol‘(𝐹 “ {𝑧}))))
2412i1f1lem 23501 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:ℝ⟶{0, 1} ∧ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐹 “ {1}) = 𝐴))
2524simpli 473 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹:ℝ⟶{0, 1}
26 frn 6091 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:ℝ⟶{0, 1} → ran 𝐹 ⊆ {0, 1})
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ran 𝐹 ⊆ {0, 1}
28 ssdif 3778 . . . . . . . . . . . 12 (ran 𝐹 ⊆ {0, 1} → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ({0, 1} ∖ {0}))
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ({0, 1} ∖ {0})
30 difprsnss 4361 . . . . . . . . . . 11 ({0, 1} ∖ {0}) ⊆ {1}
3129, 30sstri 3645 . . . . . . . . . 10 (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ {1}
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ {1})
33 mblss 23345 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
3433adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
3534sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
36 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
3736ifbid 4141 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥𝐴, 1, 0) = if(𝑦𝐴, 1, 0))
38 1ex 10073 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ V
39 c0ex 10072 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ V
4038, 39ifex 4189 . . . . . . . . . . . . . . 15 if(𝑦𝐴, 1, 0) ∈ V
4137, 12, 40fvmpt 6321 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ → (𝐹𝑦) = if(𝑦𝐴, 1, 0))
4235, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) = if(𝑦𝐴, 1, 0))
43 iftrue 4125 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝐴 → if(𝑦𝐴, 1, 0) = 1)
4443adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → if(𝑦𝐴, 1, 0) = 1)
4542, 44eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) = 1)
46 ffn 6083 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:ℝ⟶{0, 1} → 𝐹 Fn ℝ)
4725, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 Fn ℝ
48 fnfvelrn 6396 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 Fn ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ ran 𝐹)
4947, 35, 48sylancr 696 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐹𝑦) ∈ ran 𝐹)
5045, 49eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 1 ∈ ran 𝐹)
51 ax-1ne0 10043 . . . . . . . . . . . 12 1 ≠ 0
5251a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 1 ≠ 0)
53 eldifsn 4350 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) ↔ (1 ∈ ran 𝐹 ∧ 1 ≠ 0))
5450, 52, 53sylanbrc 699 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 1 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))
5554snssd 4372 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → {1} ⊆ (ran 𝐹 ∖ {0}))
5632, 55eqssd 3653 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (ran 𝐹 ∖ {0}) = {1})
5756sumeq1d 14475 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → Σ𝑧 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑧 · (vol‘(𝐹 “ {𝑧}))) = Σ𝑧 ∈ {1} (𝑧 · (vol‘(𝐹 “ {𝑧}))))
58 1re 10077 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
5924simpri 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom vol → (𝐹 “ {1}) = 𝐴)
6059ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐹 “ {1}) = 𝐴)
6160fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (vol‘(𝐹 “ {1})) = (vol‘𝐴))
6261oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (1 · (vol‘(𝐹 “ {1}))) = (1 · (vol‘𝐴)))
63 simplr 807 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
6463recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (vol‘𝐴) ∈ ℂ)
6564mulid2d 10096 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (1 · (vol‘𝐴)) = (vol‘𝐴))
6662, 65eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (1 · (vol‘(𝐹 “ {1}))) = (vol‘𝐴))
6766, 64eqeltrd 2730 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (1 · (vol‘(𝐹 “ {1}))) ∈ ℂ)
68 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 1 → 𝑧 = 1)
69 sneq 4220 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 1 → {𝑧} = {1})
7069imaeq2d 5501 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 1 → (𝐹 “ {𝑧}) = (𝐹 “ {1}))
7170fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 1 → (vol‘(𝐹 “ {𝑧})) = (vol‘(𝐹 “ {1})))
7268, 71oveq12d 6708 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 1 → (𝑧 · (vol‘(𝐹 “ {𝑧}))) = (1 · (vol‘(𝐹 “ {1}))))
7372sumsn 14519 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 · (vol‘(𝐹 “ {1}))) ∈ ℂ) → Σ𝑧 ∈ {1} (𝑧 · (vol‘(𝐹 “ {𝑧}))) = (1 · (vol‘(𝐹 “ {1}))))
7458, 67, 73sylancr 696 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → Σ𝑧 ∈ {1} (𝑧 · (vol‘(𝐹 “ {𝑧}))) = (1 · (vol‘(𝐹 “ {1}))))
7574, 66eqtrd 2685 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → Σ𝑧 ∈ {1} (𝑧 · (vol‘(𝐹 “ {𝑧}))) = (vol‘𝐴))
7657, 75eqtrd 2685 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → Σ𝑧 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑧 · (vol‘(𝐹 “ {𝑧}))) = (vol‘𝐴))
7723, 76eqtrd 2685 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (∫1𝐹) = (vol‘𝐴))
7877ex 449 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝑦𝐴 → (∫1𝐹) = (vol‘𝐴)))
7978exlimdv 1901 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (∃𝑦 𝑦𝐴 → (∫1𝐹) = (vol‘𝐴)))
8019, 79syl5bi 232 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 ≠ ∅ → (∫1𝐹) = (vol‘𝐴)))
8118, 80pm2.61dne 2909 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (∫1𝐹) = (vol‘𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523  ∃wex 1744   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   ∖ cdif 3604   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  ifcif 4119  {csn 4210  {cpr 4212   ↦ cmpt 4762   × cxp 5141  ◡ccnv 5142  dom cdm 5143  ran crn 5144   “ cima 5146   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979  Σcsu 14460  vol*covol 23277  volcvol 23278  ∫1citg1 23429 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xadd 11985  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-xmet 19787  df-met 19788  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434 This theorem is referenced by:  itg2const  23552  itg2addnclem  33591
 Copyright terms: Public domain W3C validator