MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1addlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg1addlem1 24295
Description: Decompose a preimage, which is always a disjoint union. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
itg1addlem.1 (𝜑𝐹:𝑋𝑌)
itg1addlem.2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
itg1addlem.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ⊆ (𝐹 “ {𝑘}))
itg1addlem.4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ dom vol)
itg1addlem.5 ((𝜑𝑘𝐴) → (vol‘𝐵) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
itg1addlem1 (𝜑 → (vol‘ 𝑘𝐴 𝐵) = Σ𝑘𝐴 (vol‘𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem itg1addlem1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg1addlem.2 . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 itg1addlem.4 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ dom vol)
3 itg1addlem.5 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (vol‘𝐵) ∈ ℝ)
42, 3jca 514 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ))
54ralrimiva 3184 . 2 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 (𝐵 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ))
6 itg1addlem.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ⊆ (𝐹 “ {𝑘}))
76adantrr 715 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑥𝐵)) → 𝐵 ⊆ (𝐹 “ {𝑘}))
8 simprr 771 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑥𝐵)) → 𝑥𝐵)
97, 8sseldd 3970 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑥𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑘}))
10 itg1addlem.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑋𝑌)
1110ffnd 6517 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
1211adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑥𝐵)) → 𝐹 Fn 𝑋)
13 fniniseg 6832 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝑋 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑘}) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)))
1412, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑥𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑘}) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)))
159, 14mpbid 234 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑥𝐵)) → (𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘))
1615simprd 498 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑥𝐵)) → (𝐹𝑥) = 𝑘)
1716ralrimivva 3193 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘𝐴𝑥𝐵 (𝐹𝑥) = 𝑘)
18 invdisj 5052 . . 3 (∀𝑘𝐴𝑥𝐵 (𝐹𝑥) = 𝑘Disj 𝑘𝐴 𝐵)
1917, 18syl 17 . 2 (𝜑Disj 𝑘𝐴 𝐵)
20 volfiniun 24150 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘𝐴 (𝐵 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐵) ∈ ℝ) ∧ Disj 𝑘𝐴 𝐵) → (vol‘ 𝑘𝐴 𝐵) = Σ𝑘𝐴 (vol‘𝐵))
211, 5, 19, 20syl3anc 1367 1 (𝜑 → (vol‘ 𝑘𝐴 𝐵) = Σ𝑘𝐴 (vol‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wral 3140  wss 3938  {csn 4569   ciun 4921  Disj wdisj 5033  ccnv 5556  dom cdm 5557  cima 5560   Fn wfn 6352  wf 6353  cfv 6357  Fincfn 8511  cr 10538  Σcsu 15044  volcvol 24066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-disj 5034  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-dju 9332  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xadd 12511  df-ioo 12745  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-sum 15045  df-xmet 20540  df-met 20541  df-ovol 24067  df-vol 24068
This theorem is referenced by:  itg1addlem4  24302  itg1addlem5  24303
  Copyright terms: Public domain W3C validator