MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1ge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg1ge0 23204
Description: Closure of the integral on positive simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg1ge0 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → 0 ≤ (∫1𝐹))

Proof of Theorem itg1ge0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1frn 23195 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
2 difss 3698 . . . . 5 (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹
3 ssfi 8043 . . . . 5 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
41, 2, 3sylancl 692 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
54adantr 479 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
6 i1ff 23194 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
76adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
8 frn 5952 . . . . . . 7 (𝐹:ℝ⟶ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
97, 8syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
109ssdifssd 3709 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ℝ)
1110sselda 3567 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℝ)
12 i1fima2sn 23198 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
1312adantlr 746 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
1411, 13remulcld 9927 . . 3 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ ℝ)
15 eldifi 3693 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ran 𝐹)
16 0cn 9889 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℂ
17 fnconstg 5991 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ ℂ → (ℂ × {0}) Fn ℂ)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (ℂ × {0}) Fn ℂ
19 df-0p 23188 . . . . . . . . . . . 12 0𝑝 = (ℂ × {0})
2019fneq1i 5885 . . . . . . . . . . 11 (0𝑝 Fn ℂ ↔ (ℂ × {0}) Fn ℂ)
2118, 20mpbir 219 . . . . . . . . . 10 0𝑝 Fn ℂ
2221a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → 0𝑝 Fn ℂ)
23 ffn 5944 . . . . . . . . . 10 (𝐹:ℝ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℝ)
246, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹 Fn ℝ)
25 cnex 9874 . . . . . . . . . 10 ℂ ∈ V
2625a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ℂ ∈ V)
27 reex 9884 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
2827a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
29 ax-resscn 9850 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
30 sseqin2 3778 . . . . . . . . . 10 (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∩ ℝ) = ℝ)
3129, 30mpbi 218 . . . . . . . . 9 (ℂ ∩ ℝ) = ℝ
32 0pval 23189 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℂ → (0𝑝𝑦) = 0)
3332adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑦 ∈ ℂ) → (0𝑝𝑦) = 0)
34 eqidd 2610 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑦))
3522, 24, 26, 28, 31, 33, 34ofrfval 6781 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (0𝑝𝑟𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹𝑦)))
3635biimpa 499 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹𝑦))
3724adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → 𝐹 Fn ℝ)
38 breq2 4581 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝑦) → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ (𝐹𝑦)))
3938ralrn 6255 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn ℝ → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹0 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹𝑦)))
4037, 39syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹0 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹𝑦)))
4136, 40mpbird 245 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → ∀𝑥 ∈ ran 𝐹0 ≤ 𝑥)
4241r19.21bi 2915 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐹) → 0 ≤ 𝑥)
4315, 42sylan2 489 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 0 ≤ 𝑥)
44 i1fima 23196 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol)
4544ad2antrr 757 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol)
46 mblss 23051 . . . . . . 7 ((𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol → (𝐹 “ {𝑥}) ⊆ ℝ)
47 ovolge0 23001 . . . . . . 7 ((𝐹 “ {𝑥}) ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘(𝐹 “ {𝑥})))
4846, 47syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol*‘(𝐹 “ {𝑥})))
49 mblvol 23050 . . . . . 6 ((𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol → (vol‘(𝐹 “ {𝑥})) = (vol*‘(𝐹 “ {𝑥})))
5048, 49breqtrrd 4605 . . . . 5 ((𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol‘(𝐹 “ {𝑥})))
5145, 50syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 0 ≤ (vol‘(𝐹 “ {𝑥})))
5211, 13, 43, 51mulge0d 10456 . . 3 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 0 ≤ (𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))))
535, 14, 52fsumge0 14317 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → 0 ≤ Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))))
54 itg1val 23201 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))))
5554adantr 479 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → (∫1𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))))
5653, 55breqtrrd 4605 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → 0 ≤ (∫1𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  Vcvv 3172  cdif 3536  cin 3538  wss 3539  {csn 4124   class class class wbr 4577   × cxp 5026  ccnv 5027  dom cdm 5028  ran crn 5029  cima 5031   Fn wfn 5785  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑟 cofr 6772  Fincfn 7819  cc 9791  cr 9792  0cc0 9793   · cmul 9798  cle 9932  Σcsu 14213  vol*covol 22983  volcvol 22984  1citg1 23135  0𝑝c0p 23187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-ofr 6774  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-xadd 11782  df-ioo 12009  df-ico 12011  df-icc 12012  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-fl 12413  df-seq 12622  df-exp 12681  df-hash 12938  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-clim 14016  df-sum 14214  df-xmet 19509  df-met 19510  df-ovol 22985  df-vol 22986  df-mbf 23139  df-itg1 23140  df-0p 23188
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator