Theorem itg1ge0 23498

Description: Closure of the integral on positive simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg1ge0	⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → 0 ≤ (∫1‘𝐹))

Proof of Theorem itg1ge0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1frn 23489	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
2		difss 3770	. . . . 5 ⊢ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹
3		ssfi 8221	. . . . 5 ⊢ ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	sylancl 695	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
6		i1ff 23488	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
7	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
8		frn 6091	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
10	9	ssdifssd 3781	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ℝ)
11	10	sselda 3636	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℝ)
12		i1fima2sn 23492	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
13	12	adantlr 751	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
14	11, 13	remulcld 10108	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ ℝ)
15		eldifi 3765	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ran 𝐹)
16		0cn 10070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℂ
17		fnconstg 6131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ℂ → (ℂ × {0}) Fn ℂ)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ × {0}) Fn ℂ
19		df-0p 23482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
20	19	fneq1i 6023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0𝑝 Fn ℂ ↔ (ℂ × {0}) Fn ℂ)
21	18, 20	mpbir 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0𝑝 Fn ℂ
22	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 0𝑝 Fn ℂ)
23		ffn 6083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℝ)
24	6, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 Fn ℝ)
25		cnex 10055	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ V
26	25	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ℂ ∈ V)
27		reex 10065	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ∈ V
28	27	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
29		ax-resscn 10031	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
30		sseqin2 3850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∩ ℝ) = ℝ)
31	29, 30	mpbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ ∩ ℝ) = ℝ
32		0pval 23483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝑦) = 0)
33	32	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0𝑝‘𝑦) = 0)
34		eqidd 2652	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
35	22, 24, 26, 28, 31, 33, 34	ofrfval 6947	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑦)))
36	35	biimpa 500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑦))
37	24	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → 𝐹 Fn ℝ)
38		breq2 4689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑦) → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ (𝐹‘𝑦)))
39	38	ralrn 6402	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 Fn ℝ → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹0 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑦)))
40	37, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹0 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑦)))
41	36, 40	mpbird 247	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → ∀𝑥 ∈ ran 𝐹0 ≤ 𝑥)
42	41	r19.21bi 2961	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐹) → 0 ≤ 𝑥)
43	15, 42	sylan2 490	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 0 ≤ 𝑥)
44		i1fima 23490	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (◡𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol)
45	44	ad2antrr 762	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (◡𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol)
46		mblss 23345	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol → (◡𝐹 “ {𝑥}) ⊆ ℝ)
47		ovolge0 23295	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑥}) ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑥})))
48	46, 47	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑥})))
49		mblvol 23344	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})) = (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑥})))
50	48, 49	breqtrrd 4713	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})))
51	45, 50	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 0 ≤ (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})))
52	11, 13, 43, 51	mulge0d 10642	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 0 ≤ (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
53	5, 14, 52	fsumge0 14571	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → 0 ≤ Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
54		itg1val 23495	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
55	54	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
56	53, 55	breqtrrd 4713	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝐹) → 0 ≤ (∫1‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  Vcvv 3231   ∖ cdif 3604   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  {csn 4210   class class class wbr 4685   × cxp 5141  ^◡ccnv 5142  dom cdm 5143  ran crn 5144   “ cima 5146   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ∘_𝑟 cofr 6938  Fincfn 7997  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974   · cmul 9979   ≤ cle 10113  Σcsu 14460  vol*covol 23277  volcvol 23278  ∫₁citg1 23429  0_𝑝c0p 23481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xadd 11985  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-xmet 19787  df-met 19788  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434  df-0p 23482

This theorem is referenced by: (None)