MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1lea Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg1lea 23402
Description: Approximate version of itg1le 23403. If 𝐹𝐺 for almost all 𝑥, then 1𝐹 ≤ ∫1𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg10a.1 (𝜑𝐹 ∈ dom ∫1)
itg10a.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
itg10a.3 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
itg1lea.4 (𝜑𝐺 ∈ dom ∫1)
itg1lea.5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
Assertion
Ref Expression
itg1lea (𝜑 → (∫1𝐹) ≤ (∫1𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg1lea
StepHypRef Expression
1 itg1lea.4 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ dom ∫1)
2 itg10a.1 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ dom ∫1)
3 i1fsub 23398 . . . . 5 ((𝐺 ∈ dom ∫1𝐹 ∈ dom ∫1) → (𝐺𝑓𝐹) ∈ dom ∫1)
41, 2, 3syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑓𝐹) ∈ dom ∫1)
5 itg10a.2 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
6 itg10a.3 . . . 4 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
7 itg1lea.5 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
8 eldifi 3715 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
9 i1ff 23366 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ)
101, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:ℝ⟶ℝ)
1110ffvelrnda 6320 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
12 i1ff 23366 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
132, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
1413ffvelrnda 6320 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1511, 14subge0d 10569 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)) ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥)))
168, 15sylan2 491 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (0 ≤ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)) ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥)))
177, 16mpbird 247 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → 0 ≤ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)))
18 ffn 6007 . . . . . . . 8 (𝐺:ℝ⟶ℝ → 𝐺 Fn ℝ)
1910, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 Fn ℝ)
20 ffn 6007 . . . . . . . 8 (𝐹:ℝ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℝ)
2113, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 Fn ℝ)
22 reex 9979 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
2322a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ V)
24 inidm 3805 . . . . . . 7 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
25 eqidd 2622 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
26 eqidd 2622 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
2719, 21, 23, 23, 24, 25, 26ofval 6866 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑓𝐹)‘𝑥) = ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)))
288, 27sylan2 491 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ((𝐺𝑓𝐹)‘𝑥) = ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)))
2917, 28breqtrrd 4646 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → 0 ≤ ((𝐺𝑓𝐹)‘𝑥))
304, 5, 6, 29itg1ge0a 23401 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (∫1‘(𝐺𝑓𝐹)))
31 itg1sub 23399 . . . 4 ((𝐺 ∈ dom ∫1𝐹 ∈ dom ∫1) → (∫1‘(𝐺𝑓𝐹)) = ((∫1𝐺) − (∫1𝐹)))
321, 2, 31syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (∫1‘(𝐺𝑓𝐹)) = ((∫1𝐺) − (∫1𝐹)))
3330, 32breqtrd 4644 . 2 (𝜑 → 0 ≤ ((∫1𝐺) − (∫1𝐹)))
34 itg1cl 23375 . . . 4 (𝐺 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐺) ∈ ℝ)
351, 34syl 17 . . 3 (𝜑 → (∫1𝐺) ∈ ℝ)
36 itg1cl 23375 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐹) ∈ ℝ)
372, 36syl 17 . . 3 (𝜑 → (∫1𝐹) ∈ ℝ)
3835, 37subge0d 10569 . 2 (𝜑 → (0 ≤ ((∫1𝐺) − (∫1𝐹)) ↔ (∫1𝐹) ≤ (∫1𝐺)))
3933, 38mpbid 222 1 (𝜑 → (∫1𝐹) ≤ (∫1𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3189  cdif 3556  wss 3559   class class class wbr 4618  dom cdm 5079   Fn wfn 5847  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  𝑓 cof 6855  cr 9887  0cc0 9888  cle 10027  cmin 10218  vol*covol 23154  1citg1 23307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-addf 9967
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-disj 4589  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xadd 11899  df-ioo 12129  df-ico 12131  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161  df-sum 14359  df-xmet 19671  df-met 19672  df-ovol 23156  df-vol 23157  df-mbf 23311  df-itg1 23312
This theorem is referenced by:  itg1le  23403  itg2uba  23433  itg2splitlem  23438
  Copyright terms: Public domain W3C validator