MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1lea Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg1lea 24240
Description: Approximate version of itg1le 24241. If 𝐹𝐺 for almost all 𝑥, then 1𝐹 ≤ ∫1𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg10a.1 (𝜑𝐹 ∈ dom ∫1)
itg10a.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
itg10a.3 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
itg1lea.4 (𝜑𝐺 ∈ dom ∫1)
itg1lea.5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
Assertion
Ref Expression
itg1lea (𝜑 → (∫1𝐹) ≤ (∫1𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg1lea
StepHypRef Expression
1 itg1lea.4 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ dom ∫1)
2 itg10a.1 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ dom ∫1)
3 i1fsub 24236 . . . . 5 ((𝐺 ∈ dom ∫1𝐹 ∈ dom ∫1) → (𝐺f𝐹) ∈ dom ∫1)
41, 2, 3syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐺f𝐹) ∈ dom ∫1)
5 itg10a.2 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
6 itg10a.3 . . . 4 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
7 itg1lea.5 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
8 eldifi 4100 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
9 i1ff 24204 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ)
101, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:ℝ⟶ℝ)
1110ffvelrnda 6843 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
12 i1ff 24204 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
132, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
1413ffvelrnda 6843 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1511, 14subge0d 11218 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)) ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥)))
168, 15sylan2 592 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (0 ≤ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)) ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥)))
177, 16mpbird 258 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → 0 ≤ ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)))
1810ffnd 6508 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 Fn ℝ)
1913ffnd 6508 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 Fn ℝ)
20 reex 10616 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
2120a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ V)
22 inidm 4192 . . . . . . 7 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
23 eqidd 2819 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
24 eqidd 2819 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
2518, 19, 21, 21, 22, 23, 24ofval 7407 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺f𝐹)‘𝑥) = ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)))
268, 25sylan2 592 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ((𝐺f𝐹)‘𝑥) = ((𝐺𝑥) − (𝐹𝑥)))
2717, 26breqtrrd 5085 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → 0 ≤ ((𝐺f𝐹)‘𝑥))
284, 5, 6, 27itg1ge0a 24239 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (∫1‘(𝐺f𝐹)))
29 itg1sub 24237 . . . 4 ((𝐺 ∈ dom ∫1𝐹 ∈ dom ∫1) → (∫1‘(𝐺f𝐹)) = ((∫1𝐺) − (∫1𝐹)))
301, 2, 29syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (∫1‘(𝐺f𝐹)) = ((∫1𝐺) − (∫1𝐹)))
3128, 30breqtrd 5083 . 2 (𝜑 → 0 ≤ ((∫1𝐺) − (∫1𝐹)))
32 itg1cl 24213 . . . 4 (𝐺 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐺) ∈ ℝ)
331, 32syl 17 . . 3 (𝜑 → (∫1𝐺) ∈ ℝ)
34 itg1cl 24213 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐹) ∈ ℝ)
352, 34syl 17 . . 3 (𝜑 → (∫1𝐹) ∈ ℝ)
3633, 35subge0d 11218 . 2 (𝜑 → (0 ≤ ((∫1𝐺) − (∫1𝐹)) ↔ (∫1𝐹) ≤ (∫1𝐺)))
3731, 36mpbid 233 1 (𝜑 → (∫1𝐹) ≤ (∫1𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  cdif 3930  wss 3933   class class class wbr 5057  dom cdm 5548  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  f cof 7396  cr 10524  0cc0 10525  cle 10664  cmin 10858  vol*covol 23990  1citg1 24143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xadd 12496  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-xmet 20466  df-met 20467  df-ovol 23992  df-vol 23993  df-mbf 24147  df-itg1 24148
This theorem is referenced by:  itg1le  24241  itg2uba  24271  itg2splitlem  24276
  Copyright terms: Public domain W3C validator