Theorem itg1sub 23382

Description: The integral of a difference of two simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg1sub	⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘(𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)) = ((∫1‘𝐹) − (∫1‘𝐺)))

Proof of Theorem itg1sub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
2		simpr 477	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐺 ∈ dom ∫1)
3		neg1rr 11069	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → -1 ∈ ℝ)
5	2, 4	i1fmulc 23376	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺) ∈ dom ∫1)
6	1, 5	itg1add 23374	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘(𝐹 ∘𝑓 + ((ℝ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺))) = ((∫1‘𝐹) + (∫1‘((ℝ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺))))
7	2, 4	itg1mulc 23377	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘((ℝ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = (-1 · (∫1‘𝐺)))
8		itg1cl 23358	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐺) ∈ ℝ)
9	8	recnd 10012	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐺) ∈ ℂ)
10	2, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘𝐺) ∈ ℂ)
11	10	mulm1d 10426	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (-1 · (∫1‘𝐺)) = -(∫1‘𝐺))
12	7, 11	eqtrd 2655	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘((ℝ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = -(∫1‘𝐺))
13	12	oveq2d 6620	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ((∫1‘𝐹) + (∫1‘((ℝ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺))) = ((∫1‘𝐹) + -(∫1‘𝐺)))
14	6, 13	eqtrd 2655	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘(𝐹 ∘𝑓 + ((ℝ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺))) = ((∫1‘𝐹) + -(∫1‘𝐺)))
15		i1ff 23349	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
16		ax-resscn 9937	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
17		fss 6013	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
18	15, 16, 17	sylancl 693	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
19		i1ff 23349	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
20		fss 6013	. . . . 5 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐺:ℝ⟶ℂ)
21	19, 16, 20	sylancl 693	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → 𝐺:ℝ⟶ℂ)
22		reex 9971	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
23		ofnegsub 10962	. . . . 5 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℝ⟶ℂ) → (𝐹 ∘𝑓 + ((ℝ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺))
24	22, 23	mp3an1 1408	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℝ⟶ℂ) → (𝐹 ∘𝑓 + ((ℝ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺))
25	18, 21, 24	syl2an 494	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹 ∘𝑓 + ((ℝ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺))
26	25	fveq2d 6152	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘(𝐹 ∘𝑓 + ((ℝ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺))) = (∫1‘(𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)))
27		itg1cl 23358	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) ∈ ℝ)
28	27	recnd 10012	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) ∈ ℂ)
29		negsub 10273	. . 3 ⊢ (((∫1‘𝐹) ∈ ℂ ∧ (∫1‘𝐺) ∈ ℂ) → ((∫1‘𝐹) + -(∫1‘𝐺)) = ((∫1‘𝐹) − (∫1‘𝐺)))
30	28, 9, 29	syl2an 494	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ((∫1‘𝐹) + -(∫1‘𝐺)) = ((∫1‘𝐹) − (∫1‘𝐺)))
31	14, 26, 30	3eqtr3d 2663	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘(𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)) = ((∫1‘𝐹) − (∫1‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3186   ⊆ wss 3555  {csn 4148   × cxp 5072  dom cdm 5074  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604   ∘_𝑓 cof 6848  ℂcc 9878  ℝcr 9879  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885   − cmin 10210  -cneg 10211  ∫₁citg1 23290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-disj 4584  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xadd 11891  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-xmet 19658  df-met 19659  df-ovol 23140  df-vol 23141  df-mbf 23294  df-itg1 23295

This theorem is referenced by:  itg1lea  23385  itgitg1  23481  itg2addnclem  33090