Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1val Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg1val 23390
 Description: The value of the integral on simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg1val (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))))
Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Proof of Theorem itg1val
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rneq 5321 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → ran 𝑓 = ran 𝐹)
21difeq1d 3711 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (ran 𝑓 ∖ {0}) = (ran 𝐹 ∖ {0}))
3 cnveq 5266 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹𝑓 = 𝐹)
43imaeq1d 5434 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 “ {𝑥}) = (𝐹 “ {𝑥}))
54fveq2d 6162 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (vol‘(𝑓 “ {𝑥})) = (vol‘(𝐹 “ {𝑥})))
65oveq2d 6631 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (𝑥 · (vol‘(𝑓 “ {𝑥}))) = (𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))))
76adantr 481 . . . 4 ((𝑓 = 𝐹𝑥 ∈ (ran 𝑓 ∖ {0})) → (𝑥 · (vol‘(𝑓 “ {𝑥}))) = (𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))))
82, 7sumeq12dv 14386 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → Σ𝑥 ∈ (ran 𝑓 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(𝑓 “ {𝑥}))) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))))
9 df-itg1 23329 . . 3 1 = (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ MblFn ∣ (𝑔:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝑔 ∈ Fin ∧ (vol‘(𝑔 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)} ↦ Σ𝑥 ∈ (ran 𝑓 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(𝑓 “ {𝑥}))))
10 sumex 14368 . . 3 Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ V
118, 9, 10fvmpt 6249 . 2 (𝐹 ∈ {𝑔 ∈ MblFn ∣ (𝑔:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝑔 ∈ Fin ∧ (vol‘(𝑔 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)} → (∫1𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))))
12 sumex 14368 . . 3 Σ𝑥 ∈ (ran 𝑓 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(𝑓 “ {𝑥}))) ∈ V
1312, 9dmmpti 5990 . 2 dom ∫1 = {𝑔 ∈ MblFn ∣ (𝑔:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝑔 ∈ Fin ∧ (vol‘(𝑔 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)}
1411, 13eleq2s 2716 1 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  {crab 2912   ∖ cdif 3557  {csn 4155  ◡ccnv 5083  dom cdm 5084  ran crn 5085   “ cima 5087  ⟶wf 5853  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  Fincfn 7915  ℝcr 9895  0cc0 9896   · cmul 9901  Σcsu 14366  volcvol 23172  MblFncmbf 23323  ∫1citg1 23324 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-seq 12758  df-sum 14367  df-itg1 23329 This theorem is referenced by:  itg1val2  23391  itg1cl  23392  itg1ge0  23393  itg10  23395  itg11  23398  itg1addlem5  23407  itg1mulc  23411  itg10a  23417  itg1ge0a  23418  itg1climres  23421
 Copyright terms: Public domain W3C validator