MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2add Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2add 24287
Description: The 2 integral is linear. (Measurability is an essential component of this theorem; otherwise consider the characteristic function of a nonmeasurable set and its complement.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2add.f1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
itg2add.f2 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2add.f3 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
itg2add.g1 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
itg2add.g2 (𝜑𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2add.g3 (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
itg2add (𝜑 → (∫2‘(𝐹f + 𝐺)) = ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))

Proof of Theorem itg2add
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2add.f1 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
2 itg2add.f2 . . 3 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
31, 2mbfi1fseq 24249 . 2 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑓𝑛) ∧ (𝑓𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)))
4 itg2add.g1 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
5 itg2add.g2 . . 3 (𝜑𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
64, 5mbfi1fseq 24249 . 2 (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑔𝑛) ∧ (𝑔𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥)))
7 exdistrv 1947 . . 3 (∃𝑓𝑔((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑓𝑛) ∧ (𝑓𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑔𝑛) ∧ (𝑔𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))) ↔ (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑓𝑛) ∧ (𝑓𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)) ∧ ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑔𝑛) ∧ (𝑔𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))))
81adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑓𝑛) ∧ (𝑓𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑔𝑛) ∧ (𝑔𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥)))) → 𝐹 ∈ MblFn)
92adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑓𝑛) ∧ (𝑓𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑔𝑛) ∧ (𝑔𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥)))) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
10 itg2add.f3 . . . . . . 7 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
1110adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑓𝑛) ∧ (𝑓𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑔𝑛) ∧ (𝑔𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥)))) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
124adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑓𝑛) ∧ (𝑓𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑔𝑛) ∧ (𝑔𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥)))) → 𝐺 ∈ MblFn)
135adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑓𝑛) ∧ (𝑓𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑔𝑛) ∧ (𝑔𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥)))) → 𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
14 itg2add.g3 . . . . . . 7 (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
1514adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑓𝑛) ∧ (𝑓𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑔𝑛) ∧ (𝑔𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥)))) → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
16 simprl1 1210 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑓𝑛) ∧ (𝑓𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑔𝑛) ∧ (𝑔𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥)))) → 𝑓:ℕ⟶dom ∫1)
17 simprl2 1211 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑓𝑛) ∧ (𝑓𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑔𝑛) ∧ (𝑔𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑓𝑛) ∧ (𝑓𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))))
18 simprl3 1212 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑓𝑛) ∧ (𝑓𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑔𝑛) ∧ (𝑔𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥)))) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
19 simprr1 1213 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑓𝑛) ∧ (𝑓𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑔𝑛) ∧ (𝑔𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥)))) → 𝑔:ℕ⟶dom ∫1)
20 simprr2 1214 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑓𝑛) ∧ (𝑓𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑔𝑛) ∧ (𝑔𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑔𝑛) ∧ (𝑔𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))))
21 simprr3 1215 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑓𝑛) ∧ (𝑓𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑔𝑛) ∧ (𝑔𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥)))) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))
228, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21itg2addlem 24286 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑓𝑛) ∧ (𝑓𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑔𝑛) ∧ (𝑔𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥)))) → (∫2‘(𝐹f + 𝐺)) = ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
2322ex 413 . . . 4 (𝜑 → (((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑓𝑛) ∧ (𝑓𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑔𝑛) ∧ (𝑔𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))) → (∫2‘(𝐹f + 𝐺)) = ((∫2𝐹) + (∫2𝐺))))
2423exlimdvv 1926 . . 3 (𝜑 → (∃𝑓𝑔((𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑓𝑛) ∧ (𝑓𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑔𝑛) ∧ (𝑔𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))) → (∫2‘(𝐹f + 𝐺)) = ((∫2𝐹) + (∫2𝐺))))
257, 24syl5bir 244 . 2 (𝜑 → ((∃𝑓(𝑓:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑓𝑛) ∧ (𝑓𝑛) ∘r ≤ (𝑓‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑓𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥)) ∧ ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑔𝑛) ∧ (𝑔𝑛) ∘r ≤ (𝑔‘(𝑛 + 1))) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑔𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))) → (∫2‘(𝐹f + 𝐺)) = ((∫2𝐹) + (∫2𝐺))))
263, 6, 25mp2and 695 1 (𝜑 → (∫2‘(𝐹f + 𝐺)) = ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  wral 3135   class class class wbr 5057  cmpt 5137  dom cdm 5548  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  f cof 7396  r cofr 7397  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528  +∞cpnf 10660  cle 10664  cn 11626  [,)cico 12728  cli 14829  MblFncmbf 24142  1citg1 24143  2citg2 24144  0𝑝c0p 24197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cc 9845  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-ofr 7399  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-rest 16684  df-topgen 16705  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-top 21430  df-topon 21447  df-bases 21482  df-cmp 21923  df-ovol 23992  df-vol 23993  df-mbf 24147  df-itg1 24148  df-itg2 24149  df-0p 24198
This theorem is referenced by:  ibladdlem  24347  itgaddlem1  24350  iblabslem  24355  iblabs  24356
  Copyright terms: Public domain W3C validator