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 Description: Lemma for itg2add 23571. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2add.f3 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
itg2add.g3 (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
itg2add.p2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝𝑟 ≤ (𝑃𝑛) ∧ (𝑃𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
itg2add.p3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
itg2add.q2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝𝑟 ≤ (𝑄𝑛) ∧ (𝑄𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑛 + 1))))
itg2add.q3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))
Assertion
Ref Expression
itg2addlem (𝜑 → (∫2‘(𝐹𝑓 + 𝐺)) = ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐹   𝑃,𝑛,𝑥   𝑄,𝑛,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑗 𝑘 𝑚 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2add.f1 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
2 itg2add.g1 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
31, 2mbfadd 23473 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ MblFn)
4 ge0addcl 12322 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑦 + 𝑧) ∈ (0[,)+∞))
54adantl 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑦 + 𝑧) ∈ (0[,)+∞))
6 itg2add.f2 . . . 4 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
7 itg2add.g2 . . . 4 (𝜑𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
8 reex 10065 . . . . 5 ℝ ∈ V
98a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ∈ V)
10 inidm 3855 . . . 4 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
115, 6, 7, 9, 9, 10off 6954 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑓 + 𝐺):ℝ⟶(0[,)+∞))
12 simpl 472 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → 𝑓 ∈ dom ∫1)
13 simpr 476 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → 𝑔 ∈ dom ∫1)
1412, 13i1fadd 23507 . . . . 5 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ dom ∫1)
1514adantl 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ dom ∫1)
16 itg2add.p1 . . . 4 (𝜑𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
17 itg2add.q1 . . . 4 (𝜑𝑄:ℕ⟶dom ∫1)
18 nnex 11064 . . . . 5 ℕ ∈ V
1918a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℕ ∈ V)
20 inidm 3855 . . . 4 (ℕ ∩ ℕ) = ℕ
2115, 16, 17, 19, 19, 20off 6954 . . 3 (𝜑 → (𝑃𝑓𝑓 + 𝑄):ℕ⟶dom ∫1)
22 ge0addcl 12322 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑔 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑓 + 𝑔) ∈ (0[,)+∞))
2322adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑓 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑔 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑓 + 𝑔) ∈ (0[,)+∞))
2416ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃𝑚) ∈ dom ∫1)
25 itg2add.p2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝𝑟 ≤ (𝑃𝑛) ∧ (𝑃𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
26 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝑃𝑛) = (𝑃𝑚))
2726breq2d 4697 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → (0𝑝𝑟 ≤ (𝑃𝑛) ↔ 0𝑝𝑟 ≤ (𝑃𝑚)))
28 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 + 1) = (𝑚 + 1))
2928fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝑃‘(𝑛 + 1)) = (𝑃‘(𝑚 + 1)))
3026, 29breq12d 4698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑃𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝑃𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1))))
3127, 30anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → ((0𝑝𝑟 ≤ (𝑃𝑛) ∧ (𝑃𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))) ↔ (0𝑝𝑟 ≤ (𝑃𝑚) ∧ (𝑃𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1)))))
3231rspccva 3339 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝𝑟 ≤ (𝑃𝑛) ∧ (𝑃𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝𝑟 ≤ (𝑃𝑚) ∧ (𝑃𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1))))
3325, 32sylan 487 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝𝑟 ≤ (𝑃𝑚) ∧ (𝑃𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1))))
3433simpld 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 0𝑝𝑟 ≤ (𝑃𝑚))
35 breq2 4689 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑃𝑚) → (0𝑝𝑟𝑓 ↔ 0𝑝𝑟 ≤ (𝑃𝑚)))
36 feq1 6064 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑃𝑚) → (𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝑃𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞)))
3735, 36imbi12d 333 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑃𝑚) → ((0𝑝𝑟𝑓𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞)) ↔ (0𝑝𝑟 ≤ (𝑃𝑚) → (𝑃𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞))))
38 i1ff 23488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓:ℝ⟶ℝ)
39 ffn 6083 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:ℝ⟶ℝ → 𝑓 Fn ℝ)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓 Fn ℝ)
4140adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝑓) → 𝑓 Fn ℝ)
42 0cn 10070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℂ
43 fnconstg 6131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 ∈ ℂ → (ℂ × {0}) Fn ℂ)
4442, 43ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℂ × {0}) Fn ℂ
45 df-0p 23482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0𝑝 = (ℂ × {0})
4645fneq1i 6023 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0𝑝 Fn ℂ ↔ (ℂ × {0}) Fn ℂ)
4744, 46mpbir 221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0𝑝 Fn ℂ
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ dom ∫1 → 0𝑝 Fn ℂ)
49 cnex 10055 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℂ ∈ V
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ dom ∫1 → ℂ ∈ V)
518a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
52 ax-resscn 10031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℝ ⊆ ℂ
53 sseqin2 3850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∩ ℝ) = ℝ)
5452, 53mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℂ ∩ ℝ) = ℝ
55 0pval 23483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℂ → (0𝑝𝑥) = 0)
5655adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℂ) → (0𝑝𝑥) = 0)
57 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓𝑥) = (𝑓𝑥))
5848, 40, 50, 51, 54, 56, 57ofrfval 6947 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (0𝑝𝑟𝑓 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝑓𝑥)))
5958biimpa 500 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝑓) → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝑓𝑥))
6038ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
61 elrege0 12316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝑓𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑓𝑥)))
6261simplbi2 654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓𝑥) ∈ ℝ → (0 ≤ (𝑓𝑥) → (𝑓𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
6360, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑓𝑥) → (𝑓𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
6463ralimdva 2991 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝑓𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
6564imp 444 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝑓𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ∈ (0[,)+∞))
6659, 65syldan 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝑓) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ∈ (0[,)+∞))
67 ffnfv 6428 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝑓 Fn ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
6841, 66, 67sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝑓) → 𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞))
6968ex 449 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (0𝑝𝑟𝑓𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞)))
7037, 69vtoclga 3303 . . . . . . . . . 10 ((𝑃𝑚) ∈ dom ∫1 → (0𝑝𝑟 ≤ (𝑃𝑚) → (𝑃𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞)))
7124, 34, 70sylc 65 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞))
7217ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄𝑚) ∈ dom ∫1)
73 itg2add.q2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝𝑟 ≤ (𝑄𝑛) ∧ (𝑄𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑛 + 1))))
74 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝑄𝑛) = (𝑄𝑚))
7574breq2d 4697 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → (0𝑝𝑟 ≤ (𝑄𝑛) ↔ 0𝑝𝑟 ≤ (𝑄𝑚)))
7628fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝑄‘(𝑛 + 1)) = (𝑄‘(𝑚 + 1)))
7774, 76breq12d 4698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑄𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝑄𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1))))
7875, 77anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → ((0𝑝𝑟 ≤ (𝑄𝑛) ∧ (𝑄𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑛 + 1))) ↔ (0𝑝𝑟 ≤ (𝑄𝑚) ∧ (𝑄𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1)))))
7978rspccva 3339 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝𝑟 ≤ (𝑄𝑛) ∧ (𝑄𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑛 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝𝑟 ≤ (𝑄𝑚) ∧ (𝑄𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1))))
8073, 79sylan 487 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝𝑟 ≤ (𝑄𝑚) ∧ (𝑄𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1))))
8180simpld 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 0𝑝𝑟 ≤ (𝑄𝑚))
82 breq2 4689 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑄𝑚) → (0𝑝𝑟𝑓 ↔ 0𝑝𝑟 ≤ (𝑄𝑚)))
83 feq1 6064 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑄𝑚) → (𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝑄𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞)))
8482, 83imbi12d 333 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑄𝑚) → ((0𝑝𝑟𝑓𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞)) ↔ (0𝑝𝑟 ≤ (𝑄𝑚) → (𝑄𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞))))
8584, 69vtoclga 3303 . . . . . . . . . 10 ((𝑄𝑚) ∈ dom ∫1 → (0𝑝𝑟 ≤ (𝑄𝑚) → (𝑄𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞)))
8672, 81, 85sylc 65 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞))
878a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ℝ ∈ V)
8823, 71, 86, 87, 87, 10off 6954 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑚) ∘𝑓 + (𝑄𝑚)):ℝ⟶(0[,)+∞))
89 0plef 23484 . . . . . . . 8 (((𝑃𝑚) ∘𝑓 + (𝑄𝑚)):ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (((𝑃𝑚) ∘𝑓 + (𝑄𝑚)):ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝𝑟 ≤ ((𝑃𝑚) ∘𝑓 + (𝑄𝑚))))
9088, 89sylib 208 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑃𝑚) ∘𝑓 + (𝑄𝑚)):ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝𝑟 ≤ ((𝑃𝑚) ∘𝑓 + (𝑄𝑚))))
9190simprd 478 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 0𝑝𝑟 ≤ ((𝑃𝑚) ∘𝑓 + (𝑄𝑚)))
92 ffn 6083 . . . . . . . 8 (𝑃:ℕ⟶dom ∫1𝑃 Fn ℕ)
9316, 92syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 Fn ℕ)
94 ffn 6083 . . . . . . . 8 (𝑄:ℕ⟶dom ∫1𝑄 Fn ℕ)
9517, 94syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑄 Fn ℕ)
96 eqidd 2652 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃𝑚) = (𝑃𝑚))
97 eqidd 2652 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄𝑚) = (𝑄𝑚))
9893, 95, 19, 19, 20, 96, 97ofval 6948 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚) = ((𝑃𝑚) ∘𝑓 + (𝑄𝑚)))
9991, 98breqtrrd 4713 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 0𝑝𝑟 ≤ ((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚))
100 i1ff 23488 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃𝑚) ∈ dom ∫1 → (𝑃𝑚):ℝ⟶ℝ)
10124, 100syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃𝑚):ℝ⟶ℝ)
102101ffvelrnda 6399 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃𝑚)‘𝑦) ∈ ℝ)
103 i1ff 23488 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄𝑚) ∈ dom ∫1 → (𝑄𝑚):ℝ⟶ℝ)
10472, 103syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄𝑚):ℝ⟶ℝ)
105104ffvelrnda 6399 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑄𝑚)‘𝑦) ∈ ℝ)
106 peano2nn 11070 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
107 ffvelrn 6397 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃:ℕ⟶dom ∫1 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1)
10816, 106, 107syl2an 493 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1)
109 i1ff 23488 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1 → (𝑃‘(𝑚 + 1)):ℝ⟶ℝ)
110108, 109syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑚 + 1)):ℝ⟶ℝ)
111110ffvelrnda 6399 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) ∈ ℝ)
112 ffvelrn 6397 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑄:ℕ⟶dom ∫1 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → (𝑄‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1)
11317, 106, 112syl2an 493 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1)
114 i1ff 23488 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1 → (𝑄‘(𝑚 + 1)):ℝ⟶ℝ)
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘(𝑚 + 1)):ℝ⟶ℝ)
116115ffvelrnda 6399 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦) ∈ ℝ)
11733simprd 478 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1)))
118 ffn 6083 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃𝑚):ℝ⟶ℝ → (𝑃𝑚) Fn ℝ)
119101, 118syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃𝑚) Fn ℝ)
120 ffn 6083 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃‘(𝑚 + 1)):ℝ⟶ℝ → (𝑃‘(𝑚 + 1)) Fn ℝ)
121110, 120syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑚 + 1)) Fn ℝ)
122 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃𝑚)‘𝑦) = ((𝑃𝑚)‘𝑦))
123 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) = ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
124119, 121, 87, 87, 10, 122, 123ofrfval 6947 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦)))
125117, 124mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
126125r19.21bi 2961 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
12780simprd 478 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1)))
128 ffn 6083 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄𝑚):ℝ⟶ℝ → (𝑄𝑚) Fn ℝ)
129104, 128syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄𝑚) Fn ℝ)
130 ffn 6083 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄‘(𝑚 + 1)):ℝ⟶ℝ → (𝑄‘(𝑚 + 1)) Fn ℝ)
131115, 130syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘(𝑚 + 1)) Fn ℝ)
132 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑄𝑚)‘𝑦) = ((𝑄𝑚)‘𝑦))
133 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦) = ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
134129, 131, 87, 87, 10, 132, 133ofrfval 6947 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑄𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑄𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦)))
135127, 134mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑄𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
136135r19.21bi 2961 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑄𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
137102, 105, 111, 116, 126, 136le2addd 10684 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑃𝑚)‘𝑦) + ((𝑄𝑚)‘𝑦)) ≤ (((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) + ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦)))
138137ralrimiva 2995 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ∀𝑦 ∈ ℝ (((𝑃𝑚)‘𝑦) + ((𝑄𝑚)‘𝑦)) ≤ (((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) + ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦)))
13924, 72i1fadd 23507 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑚) ∘𝑓 + (𝑄𝑚)) ∈ dom ∫1)
140 i1ff 23488 . . . . . . . . 9 (((𝑃𝑚) ∘𝑓 + (𝑄𝑚)) ∈ dom ∫1 → ((𝑃𝑚) ∘𝑓 + (𝑄𝑚)):ℝ⟶ℝ)
141 ffn 6083 . . . . . . . . 9 (((𝑃𝑚) ∘𝑓 + (𝑄𝑚)):ℝ⟶ℝ → ((𝑃𝑚) ∘𝑓 + (𝑄𝑚)) Fn ℝ)
142139, 140, 1413syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑚) ∘𝑓 + (𝑄𝑚)) Fn ℝ)
143108, 113i1fadd 23507 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))) ∈ dom ∫1)
144 i1ff 23488 . . . . . . . . . 10 (((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))) ∈ dom ∫1 → ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))):ℝ⟶ℝ)
145143, 144syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))):ℝ⟶ℝ)
146 ffn 6083 . . . . . . . . 9 (((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))):ℝ⟶ℝ → ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))) Fn ℝ)
147145, 146syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))) Fn ℝ)
148119, 129, 87, 87, 10, 122, 132ofval 6948 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑃𝑚) ∘𝑓 + (𝑄𝑚))‘𝑦) = (((𝑃𝑚)‘𝑦) + ((𝑄𝑚)‘𝑦)))
149121, 131, 87, 87, 10, 123, 133ofval 6948 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1)))‘𝑦) = (((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) + ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦)))
150142, 147, 87, 87, 10, 148, 149ofrfval 6947 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑃𝑚) ∘𝑓 + (𝑄𝑚)) ∘𝑟 ≤ ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (((𝑃𝑚)‘𝑦) + ((𝑄𝑚)‘𝑦)) ≤ (((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) + ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦))))
151138, 150mpbird 247 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑚) ∘𝑓 + (𝑄𝑚)) ∘𝑟 ≤ ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))))
152 eqidd 2652 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑚 + 1)) = (𝑃‘(𝑚 + 1)))
153 eqidd 2652 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → (𝑄‘(𝑚 + 1)) = (𝑄‘(𝑚 + 1)))
15493, 95, 19, 19, 20, 152, 153ofval 6948 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → ((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘(𝑚 + 1)) = ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))))
155106, 154sylan2 490 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘(𝑚 + 1)) = ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))))
156151, 98, 1553brtr4d 4717 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚) ∘𝑟 ≤ ((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘(𝑚 + 1)))
15799, 156jca 553 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝𝑟 ≤ ((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚) ∧ ((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚) ∘𝑟 ≤ ((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘(𝑚 + 1))))
158157ralrimiva 2995 . . 3 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (0𝑝𝑟 ≤ ((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚) ∧ ((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚) ∘𝑟 ≤ ((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘(𝑚 + 1))))
159 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛) = ((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚))
160159fveq1d 6231 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦) = (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦))
161160cbvmptv 4783 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦))
162 nnuz 11761 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
163 1zzd 11446 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℤ)
164 itg2add.p3 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
165 fveq2 6229 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑃𝑛)‘𝑥) = ((𝑃𝑛)‘𝑦))
166165mpteq2dv 4778 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦)))
167 fveq2 6229 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
168166, 167breq12d 4698 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)))
169168rspccva 3339 . . . . . . . 8 ((∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦))
170164, 169sylan 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦))
17118mptex 6527 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦)) ∈ V
172171a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦)) ∈ V)
173 itg2add.q3 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))
174 fveq2 6229 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑄𝑛)‘𝑥) = ((𝑄𝑛)‘𝑦))
175174mpteq2dv 4778 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦)))
176 fveq2 6229 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑦))
177175, 176breq12d 4698 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))
178177rspccva 3339 . . . . . . . 8 ((∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦))
179173, 178sylan 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦))
18026fveq1d 6231 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑃𝑛)‘𝑦) = ((𝑃𝑚)‘𝑦))
181 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))
182 fvex 6239 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃𝑚)‘𝑦) ∈ V
183180, 181, 182fvmpt 6321 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = ((𝑃𝑚)‘𝑦))
184183adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = ((𝑃𝑚)‘𝑦))
185102an32s 863 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑚)‘𝑦) ∈ ℝ)
186184, 185eqeltrd 2730 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑚) ∈ ℝ)
187186recnd 10106 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑚) ∈ ℂ)
18874fveq1d 6231 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑄𝑛)‘𝑦) = ((𝑄𝑚)‘𝑦))
189 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦))
190 fvex 6239 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄𝑚)‘𝑦) ∈ V
191188, 189, 190fvmpt 6321 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = ((𝑄𝑚)‘𝑦))
192191adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = ((𝑄𝑚)‘𝑦))
193105an32s 863 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑄𝑚)‘𝑦) ∈ ℝ)
194192, 193eqeltrd 2730 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦))‘𝑚) ∈ ℝ)
195194recnd 10106 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦))‘𝑚) ∈ ℂ)
19698fveq1d 6231 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦) = (((𝑃𝑚) ∘𝑓 + (𝑄𝑚))‘𝑦))
197196adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦) = (((𝑃𝑚) ∘𝑓 + (𝑄𝑚))‘𝑦))
198197, 148eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦) = (((𝑃𝑚)‘𝑦) + ((𝑄𝑚)‘𝑦)))
199198an32s 863 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦) = (((𝑃𝑚)‘𝑦) + ((𝑄𝑚)‘𝑦)))
200 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦))
201 fvex 6239 . . . . . . . . . 10 (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦) ∈ V
202160, 200, 201fvmpt 6321 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦))
203202adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦))
204184, 192oveq12d 6708 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑚) + ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦))‘𝑚)) = (((𝑃𝑚)‘𝑦) + ((𝑄𝑚)‘𝑦)))
205199, 203, 2043eqtr4d 2695 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑚) + ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦))‘𝑚)))
206162, 163, 170, 172, 179, 187, 195, 205climadd 14406 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ ((𝐹𝑦) + (𝐺𝑦)))
207161, 206syl5eqbrr 4721 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦)) ⇝ ((𝐹𝑦) + (𝐺𝑦)))
208 ffn 6083 . . . . . . 7 (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) → 𝐹 Fn ℝ)
2096, 208syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹 Fn ℝ)
210 ffn 6083 . . . . . . 7 (𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞) → 𝐺 Fn ℝ)
2117, 210syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺 Fn ℝ)
212 eqidd 2652 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑦))
213 eqidd 2652 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑦))
214209, 211, 9, 9, 10, 212, 213ofval 6948 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝑦) = ((𝐹𝑦) + (𝐺𝑦)))
215207, 214breqtrrd 4713 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦)) ⇝ ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝑦))
216215ralrimiva 2995 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦)) ⇝ ((𝐹𝑓 + 𝐺)‘𝑦))
217 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑛 = 𝑗 → ((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛) = ((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑗))
218217fveq2d 6233 . . . 4 (𝑛 = 𝑗 → (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛)) = (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑗)))
219218cbvmptv 4783 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑗)))
220 itg2add.f3 . . . 4 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
221 itg2add.g3 . . . 4 (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
222220, 221readdcld 10107 . . 3 (𝜑 → ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∈ ℝ)
22398fveq2d 6233 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)) = (∫1‘((𝑃𝑚) ∘𝑓 + (𝑄𝑚))))
22424, 72itg1add 23513 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃𝑚) ∘𝑓 + (𝑄𝑚))) = ((∫1‘(𝑃𝑚)) + (∫1‘(𝑄𝑚))))
225223, 224eqtrd 2685 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)) = ((∫1‘(𝑃𝑚)) + (∫1‘(𝑄𝑚))))
226 itg1cl 23497 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑚) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑃𝑚)) ∈ ℝ)
22724, 226syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃𝑚)) ∈ ℝ)
228 itg1cl 23497 . . . . . . . 8 ((𝑄𝑚) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑄𝑚)) ∈ ℝ)
22972, 228syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑄𝑚)) ∈ ℝ)
230220adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
231221adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
2326adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
233 icossicc 12298 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
234 fss 6094 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
235232, 233, 234sylancl 695 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
2361, 6, 16, 25, 164itg2i1fseqle 23566 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃𝑚) ∘𝑟𝐹)
237 itg2ub 23545 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑃𝑚) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑃𝑚) ∘𝑟𝐹) → (∫1‘(𝑃𝑚)) ≤ (∫2𝐹))
238235, 24, 236, 237syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃𝑚)) ≤ (∫2𝐹))
2397adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
240 fss 6094 . . . . . . . . 9 ((𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
241239, 233, 240sylancl 695 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
2422, 7, 17, 73, 173itg2i1fseqle 23566 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄𝑚) ∘𝑟𝐺)
243 itg2ub 23545 . . . . . . . 8 ((𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑄𝑚) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑄𝑚) ∘𝑟𝐺) → (∫1‘(𝑄𝑚)) ≤ (∫2𝐺))
244241, 72, 242, 243syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑄𝑚)) ≤ (∫2𝐺))
245227, 229, 230, 231, 238, 244le2addd 10684 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((∫1‘(𝑃𝑚)) + (∫1‘(𝑄𝑚))) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
246225, 245eqbrtrd 4707 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
247246ralrimiva 2995 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
248 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚) = ((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑘))
249248fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)) = (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑘)))
250249breq1d 4695 . . . . 5 (𝑚 = 𝑘 → ((∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ↔ (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑘)) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺))))
251250rspccva 3339 . . . 4 ((∀𝑚 ∈ ℕ (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑘)) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
252247, 251sylan 487 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑘)) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
2533, 11, 21, 158, 216, 219, 222, 252itg2i1fseq2 23568 . 2 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛))) ⇝ (∫2‘(𝐹𝑓 + 𝐺)))
254 1zzd 11446 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
255 eqid 2651 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃𝑘)))
2561, 6, 16, 25, 164, 255, 220itg2i1fseq3 23569 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃𝑘))) ⇝ (∫2𝐹))
25718mptex 6527 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛))) ∈ V
258257a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛))) ∈ V)
259 eqid 2651 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄𝑘)))
2602, 7, 17, 73, 173, 259, 221itg2i1fseq3 23569 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄𝑘))) ⇝ (∫2𝐺))
261 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝑚))
262261fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → (∫1‘(𝑃𝑘)) = (∫1‘(𝑃𝑚)))
263 fvex 6239 . . . . . 6 (∫1‘(𝑃𝑚)) ∈ V
264262, 255, 263fvmpt 6321 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃𝑘)))‘𝑚) = (∫1‘(𝑃𝑚)))
265264adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃𝑘)))‘𝑚) = (∫1‘(𝑃𝑚)))
266227recnd 10106 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃𝑚)) ∈ ℂ)
267265, 266eqeltrd 2730 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃𝑘)))‘𝑚) ∈ ℂ)
268 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → (𝑄𝑘) = (𝑄𝑚))
269268fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → (∫1‘(𝑄𝑘)) = (∫1‘(𝑄𝑚)))
270 fvex 6239 . . . . . 6 (∫1‘(𝑄𝑚)) ∈ V
271269, 259, 270fvmpt 6321 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄𝑘)))‘𝑚) = (∫1‘(𝑄𝑚)))
272271adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄𝑘)))‘𝑚) = (∫1‘(𝑄𝑚)))
273229recnd 10106 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑄𝑚)) ∈ ℂ)
274272, 273eqeltrd 2730 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄𝑘)))‘𝑚) ∈ ℂ)
275 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑚 → ((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑗) = ((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚))
276275fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑚 → (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑗)) = (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)))
277 fvex 6239 . . . . . 6 (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)) ∈ V
278276, 219, 277fvmpt 6321 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛)))‘𝑚) = (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)))
279278adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛)))‘𝑚) = (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑚)))
280265, 272oveq12d 6708 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃𝑘)))‘𝑚) + ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄𝑘)))‘𝑚)) = ((∫1‘(𝑃𝑚)) + (∫1‘(𝑄𝑚))))
281225, 279, 2803eqtr4d 2695 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛)))‘𝑚) = (((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃𝑘)))‘𝑚) + ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄𝑘)))‘𝑚)))
282162, 254, 256, 258, 260, 267, 274, 281climadd 14406 . 2 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛))) ⇝ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
283 climuni 14327 . 2 (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛))) ⇝ (∫2‘(𝐹𝑓 + 𝐺)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃𝑓𝑓 + 𝑄)‘𝑛))) ⇝ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺))) → (∫2‘(𝐹𝑓 + 𝐺)) = ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
284253, 282, 283syl2anc 694 1 (𝜑 → (∫2‘(𝐹𝑓 + 𝐺)) = ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  Vcvv 3231   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  {csn 4210   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762   × cxp 5141  dom cdm 5143   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ∘𝑓 cof 6937   ∘𝑟 cofr 6938  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  +∞cpnf 10109   ≤ cle 10113  ℕcn 11058  [,)cico 12215  [,]cicc 12216   ⇝ cli 14259  MblFncmbf 23428  ∫1citg1 23429  ∫2citg2 23430  0𝑝c0p 23481 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-rest 16130  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-cmp 21238  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434  df-itg2 23435  df-0p 23482 This theorem is referenced by:  itg2add  23571
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