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Theorem itg2addnclem2 33094
Description: Lemma for itg2addnc 33096. The function described is a simple function. (Contributed by Brendan Leahy, 29-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2addnc.f1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
itg2addnc.f2 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
itg2addnclem2 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∈ dom ∫1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑣,,𝐹   𝜑,𝑣,𝑥,

Proof of Theorem itg2addnclem2
Dummy variables 𝑡 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2addnc.f2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
2 rge0ssre 12222 . . . . . . . . . . 11 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
3 fss 6013 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
41, 2, 3sylancl 693 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
54ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
65ffvelrnda 6315 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
7 rpre 11783 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ)
8 3re 11038 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℝ
9 3ne0 11059 . . . . . . . . . . 11 3 ≠ 0
108, 9pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 (3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0)
11 redivcl 10688 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
12113expb 1263 . . . . . . . . . 10 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0)) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
137, 10, 12sylancl 693 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ ℝ+ → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
1413ad2antlr 762 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
15 rpcnne0 11794 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ ℝ+ → (𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ≠ 0))
16 3cn 11039 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℂ
1716, 9pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
18 divne0 10641 . . . . . . . . . 10 (((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → (𝑣 / 3) ≠ 0)
1915, 17, 18sylancl 693 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ ℝ+ → (𝑣 / 3) ≠ 0)
2019ad2antlr 762 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ≠ 0)
216, 14, 20redivcld 10797 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
22 reflcl 12537 . . . . . . 7 (((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ)
2321, 22syl 17 . . . . . 6 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ)
24 peano2rem 10292 . . . . . 6 ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . 5 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
2625, 14remulcld 10014 . . . 4 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
27 i1ff 23349 . . . . . 6 ( ∈ dom ∫1:ℝ⟶ℝ)
2827ad2antlr 762 . . . . 5 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → :ℝ⟶ℝ)
2928ffvelrnda 6315 . . . 4 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥) ∈ ℝ)
3026, 29ifcld 4103 . . 3 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ ℝ)
31 eqid 2621 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)))
3230, 31fmptd 6340 . 2 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))):ℝ⟶ℝ)
33 fzfi 12711 . . . . 5 (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ∈ Fin
34 ovex 6632 . . . . . . 7 ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ V
35 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) = (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))
3634, 35fnmpti 5979 . . . . . 6 (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) Fn (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
37 dffn4 6078 . . . . . 6 ((𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) Fn (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↔ (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))):(0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))–onto→ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))))
3836, 37mpbi 220 . . . . 5 (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))):(0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))–onto→ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))
39 fofi 8196 . . . . 5 (((0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ∈ Fin ∧ (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))):(0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))–onto→ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))) → ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∈ Fin)
4033, 38, 39mp2an 707 . . . 4 ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∈ Fin
41 i1frn 23350 . . . . 5 ( ∈ dom ∫1 → ran ∈ Fin)
4241ad2antlr 762 . . . 4 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ran ∈ Fin)
43 unfi 8171 . . . 4 ((ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∈ Fin ∧ ran ∈ Fin) → (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ) ∈ Fin)
4440, 42, 43sylancr 694 . . 3 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ) ∈ Fin)
45 3nn 11130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℕ
46 nnrp 11786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+)
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℝ+
48 rpdivcl 11800 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
4947, 48mpan2 706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ ℝ+ → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
5049ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
511ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
5251ffvelrnda 6315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))
53 elrege0 12220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
5452, 53sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
5554simprd 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
566, 50, 55divge0d 11856 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))
57 flge0nn0 12561 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℕ0)
5821, 56, 57syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℕ0)
5958nn0ge0d 11298 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))))
6059adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)) → 0 ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))))
61 frn 6010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (:ℝ⟶ℝ → ran ⊆ ℝ)
6227, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ∈ dom ∫1 → ran ⊆ ℝ)
63 i1f0rn 23355 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( ∈ dom ∫1 → 0 ∈ ran )
64 elex2 3202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ ran → ∃𝑥 𝑥 ∈ ran )
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( ∈ dom ∫1 → ∃𝑥 𝑥 ∈ ran )
66 n0 3907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ran ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ ran )
6765, 66sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ∈ dom ∫1 → ran ≠ ∅)
68 fimaxre2 10913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ran ⊆ ℝ ∧ ran ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑦𝑥)
6962, 41, 68syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ∈ dom ∫1 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑦𝑥)
7062, 67, 693jca 1240 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ∈ dom ∫1 → (ran ⊆ ℝ ∧ ran ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑦𝑥))
7170ad3antlr 766 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (ran ⊆ ℝ ∧ ran ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑦𝑥))
72 ffn 6002 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (:ℝ⟶ℝ → Fn ℝ)
7327, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( ∈ dom ∫1 Fn ℝ)
74 dffn3 6011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( Fn ℝ ↔ :ℝ⟶ran )
7573, 74sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ∈ dom ∫1:ℝ⟶ran )
7675ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → :ℝ⟶ran )
7776ffvelrnda 6315 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥) ∈ ran )
78 suprub 10928 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ran ⊆ ℝ ∧ ran ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑦𝑥) ∧ (𝑥) ∈ ran ) → (𝑥) ≤ sup(ran , ℝ, < ))
7971, 77, 78syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥) ≤ sup(ran , ℝ, < ))
80 suprcl 10927 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ran ⊆ ℝ ∧ ran ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑦𝑥) → sup(ran , ℝ, < ) ∈ ℝ)
8162, 67, 69, 80syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ∈ dom ∫1 → sup(ran , ℝ, < ) ∈ ℝ)
8281ad3antlr 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → sup(ran , ℝ, < ) ∈ ℝ)
83 letr 10075 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝑥) ∈ ℝ ∧ sup(ran , ℝ, < ) ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≤ sup(ran , ℝ, < )) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran , ℝ, < )))
8426, 29, 82, 83syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≤ sup(ran , ℝ, < )) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran , ℝ, < )))
8525, 82, 50lemuldivd 11865 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran , ℝ, < ) ↔ ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3))))
86 1red 9999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
8782, 14, 20redivcld 10797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
8823, 86, 87lesubaddd 10568 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) ↔ (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
8985, 88bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran , ℝ, < ) ↔ (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
90 peano2re 10153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ → ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
9187, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
92 ceige 12584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ → ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
94 ceicl 12582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ → -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℤ)
9591, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℤ)
9695zred 11426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ)
97 letr 10075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ ∧ ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ ∧ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∧ ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
9823, 91, 96, 97syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∧ ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
9993, 98mpan2d 709 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
10089, 99sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran , ℝ, < ) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
10184, 100syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≤ sup(ran , ℝ, < )) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
10279, 101mpan2d 709 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
103102adantrd 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
104103imp 445 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
10521flcld 12539 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ)
106105adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ)
107 0zd 11333 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)) → 0 ∈ ℤ)
10895adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)) → -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℤ)
109 elfz 12274 . . . . . . . . . . 11 (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↔ (0 ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∧ (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))))
110106, 107, 108, 109syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↔ (0 ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∧ (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))))
11160, 104, 110mpbir2and 956 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
112 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))
113 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) → (𝑡 − 1) = ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1))
114113oveq1d 6619 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) → ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)) = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))
115114eqeq2d 2631 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) → ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)) ↔ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))))
116115rspcev 3295 . . . . . . . . 9 (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ∧ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) → ∃𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))(((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))
117111, 112, 116sylancl 693 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)) → ∃𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))(((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))
118 ovex 6632 . . . . . . . . 9 (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ V
11935elrnmpt 5332 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ V → ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))(((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))))
120118, 119ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))(((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))
121117, 120sylibr 224 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))))
122 elun1 3758 . . . . . . 7 ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ))
123121, 122syl 17 . . . . . 6 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ))
124 elun2 3759 . . . . . . . 8 ((𝑥) ∈ ran → (𝑥) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ))
12577, 124syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ))
126125adantr 481 . . . . . 6 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)) → (𝑥) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ))
127123, 126ifclda 4092 . . . . 5 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ))
128127, 31fmptd 6340 . . . 4 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))):ℝ⟶(ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ))
129 frn 6010 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))):ℝ⟶(ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ) → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ⊆ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ))
130128, 129syl 17 . . 3 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ⊆ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ))
131 ssfi 8124 . . 3 (((ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ) ∈ Fin ∧ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ⊆ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran )) → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∈ Fin)
13244, 130, 131syl2anc 692 . 2 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∈ Fin)
13331mptpreima 5587 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}}
134 unrab 3874 . . . . 5 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (𝑥))}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (𝑥)))}
135 inrab 3875 . . . . . . . 8 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)}
136135ineq1i 3788 . . . . . . 7 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))})
137 inrab 3875 . . . . . . 7 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))}
138136, 137eqtri 2643 . . . . . 6 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))}
139 unrab 3874 . . . . . . . 8 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0)}
140139ineq1i 3788 . . . . . . 7 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)}) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)})
141 inrab 3875 . . . . . . 7 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (𝑥))}
142140, 141eqtri 2643 . . . . . 6 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (𝑥))}
143138, 142uneq12i 3743 . . . . 5 ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)})) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (𝑥))})
144 eqcom 2628 . . . . . . . 8 (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) = 𝑡𝑡 = if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)))
145 fvex 6158 . . . . . . . . . 10 (𝑥) ∈ V
146118, 145ifex 4128 . . . . . . . . 9 if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ V
147146elsn 4163 . . . . . . . 8 (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ↔ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) = 𝑡)
148 ianor 509 . . . . . . . . . . . 12 (¬ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ↔ (¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ ¬ (𝑥) ≠ 0))
149 nne 2794 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ (𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑥) = 0)
150149orbi2i 541 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ ¬ (𝑥) ≠ 0) ↔ (¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0))
151148, 150bitr2i 265 . . . . . . . . . . 11 ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ↔ ¬ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0))
152151anbi1i 730 . . . . . . . . . 10 (((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (𝑥)) ↔ (¬ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (𝑥)))
153152orbi2i 541 . . . . . . . . 9 (((((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (𝑥))) ↔ ((((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ (¬ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (𝑥))))
154 eqif 4098 . . . . . . . . 9 (𝑡 = if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ↔ ((((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ (¬ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (𝑥))))
155153, 154bitr4i 267 . . . . . . . 8 (((((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (𝑥))) ↔ 𝑡 = if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)))
156144, 147, 1553bitr4i 292 . . . . . . 7 (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ↔ ((((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (𝑥))))
157156a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ↔ ((((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (𝑥)))))
158157rabbiia 3173 . . . . 5 {𝑥 ∈ ℝ ∣ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (𝑥)))}
159134, 143, 1583eqtr4ri 2654 . . . 4 {𝑥 ∈ ℝ ∣ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}} = ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)}))
160133, 159eqtri 2643 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) = ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)}))
161 eldifi 3710 . . . . . 6 (𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0}) → 𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))))
162 frn 6010 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))):ℝ⟶ℝ → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ⊆ ℝ)
16332, 162syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ⊆ ℝ)
164163sseld 3582 . . . . . 6 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) → 𝑡 ∈ ℝ))
165161, 164syl5 34 . . . . 5 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0}) → 𝑡 ∈ ℝ))
166165imdistani 725 . . . 4 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0})) → (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ))
167 rabiun 33014 . . . . . . . . . 10 {𝑥 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = 𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)}
168 cnvimarndm 5445 . . . . . . . . . . . . . 14 ( “ ran ) = dom
169 iunid 4541 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑡 ∈ ran {𝑡} = ran
170169imaeq2i 5423 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( 𝑡 ∈ ran {𝑡}) = ( “ ran )
171 imaiun 6457 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( 𝑡 ∈ ran {𝑡}) = 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡})
172170, 171eqtr3i 2645 . . . . . . . . . . . . . 14 ( “ ran ) = 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡})
173168, 172eqtr3i 2645 . . . . . . . . . . . . 13 dom = 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡})
174 fdm 6008 . . . . . . . . . . . . . 14 (:ℝ⟶ℝ → dom = ℝ)
17527, 174syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ( ∈ dom ∫1 → dom = ℝ)
176173, 175syl5eqr 2669 . . . . . . . . . . . 12 ( ∈ dom ∫1 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡}) = ℝ)
177176ad2antlr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡}) = ℝ)
178 rabeq 3179 . . . . . . . . . . 11 ( 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡}) = ℝ → {𝑥 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)})
179177, 178syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → {𝑥 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)})
180167, 179syl5eqr 2669 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)})
181 fniniseg 6294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( Fn ℝ → (𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥) = 𝑡)))
18227, 72, 1813syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥) = 𝑡)))
183182simplbda 653 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ( “ {𝑡})) → (𝑥) = 𝑡)
184183breq2d 4625 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ( “ {𝑡})) → ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ↔ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡))
185184rabbidva 3176 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
186 inrab2 3876 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ (ℝ ∩ ( “ {𝑡})) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}
187 imassrn 5436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( “ {𝑡}) ⊆ ran
188 dfdm4 5276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 dom = ran
189188, 175syl5eqr 2669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( ∈ dom ∫1 → ran = ℝ)
190187, 189syl5sseq 3632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( ∈ dom ∫1 → ( “ {𝑡}) ⊆ ℝ)
191 sseqin2 3795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (( “ {𝑡}) ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∩ ( “ {𝑡})) = ( “ {𝑡}))
192190, 191sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ∈ dom ∫1 → (ℝ ∩ ( “ {𝑡})) = ( “ {𝑡}))
193 rabeq 3179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℝ ∩ ( “ {𝑡})) = ( “ {𝑡}) → {𝑥 ∈ (ℝ ∩ ( “ {𝑡})) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
194192, 193syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ (ℝ ∩ ( “ {𝑡})) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
195186, 194syl5eq 2667 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ∈ dom ∫1 → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
196185, 195eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . . . 13 ( ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})))
197196ad3antlr 766 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})))
19825adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
19962ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ran ⊆ ℝ)
200199sselda 3583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → 𝑡 ∈ ℝ)
201200adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
20249ad3antlr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
203198, 201, 202lemuldivd 11865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡 ↔ ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (𝑡 / (𝑣 / 3))))
20423adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ)
205 1red 9999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
20613ad3antlr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
20719ad3antlr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ≠ 0)
208201, 206, 207redivcld 10797 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
209204, 205, 208lesubaddd 10568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)))
2106adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
211 peano2re 10153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
212208, 211syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
213 reflcl 12537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ → (⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ)
214212, 213syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ)
215 peano2re 10153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ → ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
216214, 215syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
217210, 216, 202ltdivmuld 11867 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1) ↔ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))
21821adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
219 flflp1 12548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))
220218, 212, 219syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))
221206, 216remulcld 10014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ∈ ℝ)
222221rexrd 10033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ∈ ℝ*)
223 elioomnf 12210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ∈ ℝ* → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
224222, 223syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
225210biantrurd 529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
226224, 225bitr4d 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) ↔ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))
227217, 220, 2263bitr4d 300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
228203, 209, 2273bitrd 294 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡 ↔ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
229228rabbidva 3176 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))})
2301feqmptd 6206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)))
231230cnveqd 5258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)))
232231imaeq1d 5424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
233 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥))
234233mptpreima 5587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))}
235232, 234syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))})
236235ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → (𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))})
237229, 236eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = (𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
238 itg2addnc.f1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
239 mbfima 23305 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) ∈ dom vol)
240238, 4, 239syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) ∈ dom vol)
241240ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → (𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) ∈ dom vol)
242237, 241eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol)
24362sseld 3582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ran 𝑡 ∈ ℝ))
244243ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑡 ∈ ran 𝑡 ∈ ℝ))
245244imdistani 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ))
246 i1fmbf 23348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( ∈ dom ∫1 ∈ MblFn)
247246, 27jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ∈ dom ∫1 → ( ∈ MblFn ∧ :ℝ⟶ℝ))
248247ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ( ∈ MblFn ∧ :ℝ⟶ℝ))
249 mbfimasn 23307 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( ∈ MblFn ∧ :ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ( “ {𝑡}) ∈ dom vol)
2502493expa 1262 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((( ∈ MblFn ∧ :ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ( “ {𝑡}) ∈ dom vol)
251248, 250sylan 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ( “ {𝑡}) ∈ dom vol)
252245, 251syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → ( “ {𝑡}) ∈ dom vol)
253 inmbl 23217 . . . . . . . . . . . . 13 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol ∧ ( “ {𝑡}) ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})) ∈ dom vol)
254242, 252, 253syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})) ∈ dom vol)
255197, 254eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol)
256255ralrimiva 2960 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ∀𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol)
257 finiunmbl 23219 . . . . . . . . . 10 ((ran ∈ Fin ∧ ∀𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol) → 𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol)
25842, 256, 257syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol)
259180, 258eqeltrrd 2699 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol)
260 unrab 3874 . . . . . . . . . . 11 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ (-∞(,)0)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ (0(,)+∞)}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (𝑥) ∈ (0(,)+∞))}
26127feqmptd 6206 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ∈ dom ∫1 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)))
262261cnveqd 5258 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ∈ dom ∫1 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)))
263262imaeq1d 5424 . . . . . . . . . . . . 13 ( ∈ dom ∫1 → ( “ (-∞(,)0)) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) “ (-∞(,)0)))
264 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥))
265264mptpreima 5587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) “ (-∞(,)0)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ (-∞(,)0)}
266263, 265syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . 12 ( ∈ dom ∫1 → ( “ (-∞(,)0)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ (-∞(,)0)})
267262imaeq1d 5424 . . . . . . . . . . . . 13 ( ∈ dom ∫1 → ( “ (0(,)+∞)) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) “ (0(,)+∞)))
268264mptpreima 5587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) “ (0(,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ (0(,)+∞)}
269267, 268syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . 12 ( ∈ dom ∫1 → ( “ (0(,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ (0(,)+∞)})
270266, 269uneq12d 3746 . . . . . . . . . . 11 ( ∈ dom ∫1 → (( “ (-∞(,)0)) ∪ ( “ (0(,)+∞))) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ (-∞(,)0)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ (0(,)+∞)}))
27127ffvelrnda 6315 . . . . . . . . . . . . 13 (( ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥) ∈ ℝ)
272 0re 9984 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
273 lttri2 10064 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝑥) < 0 ∨ 0 < (𝑥))))
274272, 273mpan2 706 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥) ∈ ℝ → ((𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝑥) < 0 ∨ 0 < (𝑥))))
275 ibar 525 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥) ∈ ℝ → (((𝑥) < 0 ∨ 0 < (𝑥)) ↔ ((𝑥) ∈ ℝ ∧ ((𝑥) < 0 ∨ 0 < (𝑥)))))
276 andi 910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥) ∈ ℝ ∧ ((𝑥) < 0 ∨ 0 < (𝑥))) ↔ (((𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑥) < 0) ∨ ((𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑥))))
277 0xr 10030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ*
278 elioomnf 12210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ ℝ* → ((𝑥) ∈ (-∞(,)0) ↔ ((𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑥) < 0)))
279 elioopnf 12209 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ ℝ* → ((𝑥) ∈ (0(,)+∞) ↔ ((𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑥))))
280278, 279orbi12d 745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 ∈ ℝ* → (((𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (𝑥) ∈ (0(,)+∞)) ↔ (((𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑥) < 0) ∨ ((𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑥)))))
281277, 280ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (𝑥) ∈ (0(,)+∞)) ↔ (((𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑥) < 0) ∨ ((𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑥))))
282276, 281bitr4i 267 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥) ∈ ℝ ∧ ((𝑥) < 0 ∨ 0 < (𝑥))) ↔ ((𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (𝑥) ∈ (0(,)+∞)))
283275, 282syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥) ∈ ℝ → (((𝑥) < 0 ∨ 0 < (𝑥)) ↔ ((𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (𝑥) ∈ (0(,)+∞))))
284274, 283bitrd 268 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥) ∈ ℝ → ((𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (𝑥) ∈ (0(,)+∞))))
285271, 284syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (( ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (𝑥) ∈ (0(,)+∞))))
286285rabbidva 3176 . . . . . . . . . . 11 ( ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (𝑥) ∈ (0(,)+∞))})
287260, 270, 2863eqtr4a 2681 . . . . . . . . . 10 ( ∈ dom ∫1 → (( “ (-∞(,)0)) ∪ ( “ (0(,)+∞))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0})
288 i1fima 23351 . . . . . . . . . . 11 ( ∈ dom ∫1 → ( “ (-∞(,)0)) ∈ dom vol)
289 i1fima 23351 . . . . . . . . . . 11 ( ∈ dom ∫1 → ( “ (0(,)+∞)) ∈ dom vol)
290 unmbl 23212 . . . . . . . . . . 11 ((( “ (-∞(,)0)) ∈ dom vol ∧ ( “ (0(,)+∞)) ∈ dom vol) → (( “ (-∞(,)0)) ∪ ( “ (0(,)+∞))) ∈ dom vol)
291288, 289, 290syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 ( ∈ dom ∫1 → (( “ (-∞(,)0)) ∪ ( “ (0(,)+∞))) ∈ dom vol)
292287, 291eqeltrrd 2699 . . . . . . . . 9 ( ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0} ∈ dom vol)
293292ad2antlr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0} ∈ dom vol)
294 inmbl 23217 . . . . . . . 8 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0} ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol)
295259, 293, 294syl2anc 692 . . . . . . 7 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol)
296295adantr 481 . . . . . 6 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol)
29723recnd 10012 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℂ)
298297adantlr 750 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℂ)
299 1cnd 10000 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
300 simplr 791 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
30113ad3antlr 766 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
30219ad3antlr 766 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ≠ 0)
303300, 301, 302redivcld 10797 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
304303recnd 10012 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℂ)
305298, 299, 304subadd2d 10355 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) = (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))))
306 eqcom 2628 . . . . . . . . . 10 (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) = (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ (𝑡 / (𝑣 / 3)) = ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1))
307 recn 9970 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℂ)
308307ad2antlr 762 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
30925recnd 10012 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈ ℂ)
310309adantlr 750 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈ ℂ)
31113recnd 10012 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ ℝ+ → (𝑣 / 3) ∈ ℂ)
312311ad3antlr 766 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℂ)
313308, 310, 312, 302divmul3d 10779 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) = ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ↔ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))))
314306, 313syl5bb 272 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) = (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))))
315305, 314bitr3d 270 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))))
316315rabbidva 3176 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))})
317 imaundi 5504 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 “ ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = ((𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
318231ad4antr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)))
319 zre 11325 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
320319adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
32113ad3antlr 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
322320, 321remulcld 10014 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
323322rexrd 10033 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ*)
324 peano2z 11362 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℤ)
325324zred 11426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
326325adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
327321, 326remulcld 10014 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ)
328327rexrd 10033 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ*)
329 zcn 11326 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℂ)
330329adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℂ)
331311ad3antlr 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈ ℂ)
332330, 331mulcomd 10005 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑣 / 3) · ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)))
33349ad3antlr 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
334319ltp1d 10898 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))
335334adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))
336320, 326, 333, 335ltmul2dd 11872 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑣 / 3) · ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))
337332, 336eqbrtrd 4635 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))
338 snunioo 12240 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ* ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) → ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
339323, 328, 337, 338syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
340318, 339imaeq12d 5426 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝐹 “ ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
341317, 340syl5eqr 2669 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
342233mptpreima 5587 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))}
3434ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
344343ffvelrnda 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
3453443biant1d 1438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
346345adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
347319adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
348344adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
34949ad4antlr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
350347, 348, 349lemuldivd 11865 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))))
351325adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
352348, 351, 349ltdivmuld 11867 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ↔ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
353352bicomd 213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ↔ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))
354350, 353anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
355346, 354bitr3d 270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
356 elico2 12179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
357322, 328, 356syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
358357adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
359 eqcom 2628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) = ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1))
36021adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
361 flbi 12557 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) = ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
362360, 361sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) = ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
363359, 362syl5bb 272 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
364355, 358, 3633bitr4d 300 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))))
365364an32s 845 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))))
366365rabbidva 3176 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))})
367342, 366syl5eq 2667 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))})
368341, 367eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))})
369238ad4antr 767 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → 𝐹 ∈ MblFn)
3704ad4antr 767 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
371 mbfimasn 23307 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) → (𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
372369, 370, 322, 371syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
373 mbfima 23305 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) → (𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom vol)
374238, 4, 373syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom vol)
375374ad4antr 767 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom vol)
376 unmbl 23212 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol ∧ (𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom vol) → ((𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) ∈ dom vol)
377372, 375, 376syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) ∈ dom vol)
378368, 377eqeltrrd 2699 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))} ∈ dom vol)
379 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))))
380360flcld 12539 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ)
381380adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ)
382379, 381eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ)
383382stoic1a 1694 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))))
384383an32s 845 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))))
385384ralrimiva 2960 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))))
386 rabeq0 3931 . . . . . . . . . 10 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))))
387385, 386sylibr 224 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))} = ∅)
388 0mbl 23214 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ dom vol
389387, 388syl6eqel 2706 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))} ∈ dom vol)
390378, 389pm2.61dan 831 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))} ∈ dom vol)
391316, 390eqeltrrd 2699 . . . . . 6 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))} ∈ dom vol)
392 inmbl 23217 . . . . . 6 ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))} ∈ dom vol) → (({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
393296, 391, 392syl2anc 692 . . . . 5 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
394 rabiun 33014 . . . . . . . . . . 11 {𝑥 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = 𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)}
395 rabeq 3179 . . . . . . . . . . . 12 ( 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡}) = ℝ → {𝑥 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)})
396176, 395syl 17 . . . . . . . . . . 11 ( ∈ dom ∫1 → {𝑥 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)})
397394, 396syl5eqr 2669 . . . . . . . . . 10 ( ∈ dom ∫1 𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)})
398397ad2antlr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)})
399184notbid 308 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ( “ {𝑡})) → (¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ↔ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡))
400399rabbidva 3176 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
401 inrab2 3876 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ (ℝ ∩ ( “ {𝑡})) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}
402 rabeq 3179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℝ ∩ ( “ {𝑡})) = ( “ {𝑡}) → {𝑥 ∈ (ℝ ∩ ( “ {𝑡})) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
403192, 402syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ (ℝ ∩ ( “ {𝑡})) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
404401, 403syl5eq 2667 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ∈ dom ∫1 → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
405400, 404eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . . . 13 ( ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})))
406405ad3antlr 766 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})))
407 imaundi 5504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 “ ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) = ((𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)))
40813, 19jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑣 ∈ ℝ+ → ((𝑣 / 3) ∈ ℝ ∧ (𝑣 / 3) ≠ 0))
409 redivcl 10688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝑣 / 3) ∈ ℝ ∧ (𝑣 / 3) ≠ 0) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
4104093expb 1263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑡 ∈ ℝ ∧ ((𝑣 / 3) ∈ ℝ ∧ (𝑣 / 3) ≠ 0)) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
411408, 410sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
412411ancoms 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑣 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
413412adantll 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
414413, 211syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
415 peano2re 10153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
416 reflcl 12537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ → (⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ)
417414, 415, 4163syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ)
41813ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
419417, 418remulcld 10014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
420419rexrd 10033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ*)
421 pnfxr 10036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 +∞ ∈ ℝ*
422421a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → +∞ ∈ ℝ*)
423 ltpnf 11898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) < +∞)
424419, 423syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) < +∞)
425 snunioo 12240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) < +∞) → ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) = (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞))
426420, 422, 424, 425syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) = (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞))
427426imaeq2d 5425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐹 “ ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) = (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)))
428407, 427syl5eqr 2669 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) = (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)))
429231imaeq1d 5424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)))
430233mptpreima 5587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)}
431429, 430syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)})
432431ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)})
433414, 415syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
434433adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
435 flflp1 12548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) < ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) + 1)))
436434, 360, 435syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) < ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) + 1)))
437419adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
438 elicopnf 12211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ → ((𝐹𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥))))
439437, 438syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥))))
440344biantrurd 529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥))))
441417adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ)
44249ad3antlr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
443441, 344, 442lemuldivd 11865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ↔ (⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))))
444439, 440, 4433bitr2d 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ (⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))))
445414adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
446360, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ)
447 1red 9999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
448445, 446, 447ltadd1d 10564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) < ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) + 1)))
449436, 444, 4483bitr4d 300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))))
450303, 447, 446ltaddsubd 10571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (𝑡 / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1)))
451449, 450bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ (𝑡 / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1)))
452446, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
453300, 452, 442ltdivmul2d 11868 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ↔ 𝑡 < (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))))
454452, 301remulcld 10014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
455300, 454ltnled 10128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 < (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ↔ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡))
456451, 453, 4553bitrd 294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡))
457456rabbidva 3176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
458428, 432, 4573eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
459238ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ MblFn)
460 mbfimasn 23307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) → (𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
461459, 343, 419, 460syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
462 mbfima 23305 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) → (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom vol)
463238, 4, 462syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom vol)
464463ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom vol)
465 unmbl 23212 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol ∧ (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom vol) → ((𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) ∈ dom vol)
466461, 464, 465syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) ∈ dom vol)
467458, 466eqeltrrd 2699 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol)
468245, 467syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol)
469 inmbl 23217 . . . . . . . . . . . . 13 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol ∧ ( “ {𝑡}) ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})) ∈ dom vol)
470468, 252, 469syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})) ∈ dom vol)
471406, 470eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol)
472471ralrimiva 2960 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ∀𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol)
473 finiunmbl 23219 . . . . . . . . . 10 ((ran ∈ Fin ∧ ∀𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol) → 𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol)
47442, 472, 473syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol)
475398, 474eqeltrrd 2699 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol)
476262imaeq1d 5424 . . . . . . . . . . 11 ( ∈ dom ∫1 → ( “ {0}) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) “ {0}))
477264mptpreima 5587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ {0}}
478145elsn 4163 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥) ∈ {0} ↔ (𝑥) = 0)
479478a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥) ∈ {0} ↔ (𝑥) = 0))
480479rabbiia 3173 . . . . . . . . . . . 12 {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ {0}} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}
481477, 480eqtri 2643 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}
482476, 481syl6eq 2671 . . . . . . . . . 10 ( ∈ dom ∫1 → ( “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0})
483 i1fima 23351 . . . . . . . . . 10 ( ∈ dom ∫1 → ( “ {0}) ∈ dom vol)
484482, 483eqeltrrd 2699 . . . . . . . . 9 ( ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0} ∈ dom vol)
485484ad2antlr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0} ∈ dom vol)
486 unmbl 23212 . . . . . . . 8 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0} ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∈ dom vol)
487475, 485, 486syl2anc 692 . . . . . . 7 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∈ dom vol)
488487adantr 481 . . . . . 6 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∈ dom vol)
489262imaeq1d 5424 . . . . . . . . 9 ( ∈ dom ∫1 → ( “ {𝑡}) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) “ {𝑡}))
490264mptpreima 5587 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ {𝑡}}
491145elsn 4163 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥) ∈ {𝑡} ↔ (𝑥) = 𝑡)
492 eqcom 2628 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥) = 𝑡𝑡 = (𝑥))
493491, 492bitri 264 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥) ∈ {𝑡} ↔ 𝑡 = (𝑥))
494493a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥) ∈ {𝑡} ↔ 𝑡 = (𝑥)))
495494rabbiia 3173 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ {𝑡}} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)}
496490, 495eqtri 2643 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)}
497489, 496syl6eq 2671 . . . . . . . 8 ( ∈ dom ∫1 → ( “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)})
498497ad3antlr 766 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ( “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)})
499498, 251eqeltrrd 2699 . . . . . 6 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)} ∈ dom vol)
500 inmbl 23217 . . . . . 6 ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)} ∈ dom vol) → (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)}) ∈ dom vol)
501488, 499, 500syl2anc 692 . . . . 5 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)}) ∈ dom vol)
502 unmbl 23212 . . . . 5 (((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol ∧ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)}) ∈ dom vol) → ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)})) ∈ dom vol)
503393, 501, 502syl2anc 692 . . . 4 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)})) ∈ dom vol)
504166, 503syl 17 . . 3 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0})) → ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)})) ∈ dom vol)
505160, 504syl5eqel 2702 . 2 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0})) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ∈ dom vol)
506 mblvol 23205 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ∈ dom vol → (vol‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡})) = (vol*‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡})))
507505, 506syl 17 . . 3 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0})) → (vol‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡})) = (vol*‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡})))
508 eldifsn 4287 . . . . . 6 (𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0}) ↔ (𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∧ 𝑡 ≠ 0))
509164anim1d 587 . . . . . 6 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ((𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)))
510508, 509syl5bi 232 . . . . 5 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0}) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)))
511510imdistani 725 . . . 4 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0})) → (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)))
512133a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ( ∈ dom ∫1 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}})
513476, 477syl6eq 2671 . . . . . . . . . . 11 ( ∈ dom ∫1 → ( “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ {0}})
514512, 513ineq12d 3793 . . . . . . . . . 10 ( ∈ dom ∫1 → (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ∩ ( “ {0})) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ {0}}))
515 inrab 3875 . . . . . . . . . 10 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ {0}}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0})}
516514, 515syl6eq 2671 . . . . . . . . 9 ( ∈ dom ∫1 → (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ∩ ( “ {0})) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0})})
517516ad3antlr 766 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ∩ ( “ {0})) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0})})
518149biimpri 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥) = 0 → ¬ (𝑥) ≠ 0)
519518intnand 961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥) = 0 → ¬ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0))
520519iffalsed 4069 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) = (𝑥))
521 eqtr 2640 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) = (𝑥) ∧ (𝑥) = 0) → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) = 0)
522520, 521mpancom 702 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) = 0)
523522adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥) = 0) → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) = 0)
524 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥) = 0) → 𝑡 ≠ 0)
525524necomd 2845 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥) = 0) → 0 ≠ 𝑡)
526523, 525eqnetrd 2857 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥) = 0) → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ≠ 𝑡)
527526ex 450 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ≠ 𝑡))
528 orcom 402 . . . . . . . . . . . . . 14 ((¬ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∨ ¬ (𝑥) ∈ {0}) ↔ (¬ (𝑥) ∈ {0} ∨ ¬ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}))
529 ianor 509 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0}) ↔ (¬ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∨ ¬ (𝑥) ∈ {0}))
530 imor 428 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥) ∈ {0} → ¬ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}) ↔ (¬ (𝑥) ∈ {0} ∨ ¬ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}))
531528, 529, 5303bitr4i 292 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0}) ↔ ((𝑥) ∈ {0} → ¬ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}))
532147necon3bbii 2837 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ↔ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ≠ 𝑡)
533478, 532imbi12i 340 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥) ∈ {0} → ¬ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}) ↔ ((𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ≠ 𝑡))
534531, 533bitri 264 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0}) ↔ ((𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ≠ 𝑡))
535527, 534sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 ((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ¬ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0}))
536535ralrimiva 2960 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ≠ 0 → ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0}))
537 rabeq0 3931 . . . . . . . . . 10 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0})} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0}))
538536, 537sylibr 224 . . . . . . . . 9 (𝑡 ≠ 0 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0})} = ∅)
539538ad2antll 764 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0})} = ∅)
540517, 539eqtrd 2655 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ∩ ( “ {0})) = ∅)
541 imassrn 5436 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)))
542 dfdm4 5276 . . . . . . . . . 10 dom (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) = ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)))
543146, 31dmmpti 5980 . . . . . . . . . 10 dom (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) = ℝ
544542, 543eqtr3i 2645 . . . . . . . . 9 ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) = ℝ
545541, 544sseqtri 3616 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ ℝ
546 reldisj 3992 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ ℝ → ((((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ∩ ( “ {0})) = ∅ ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (ℝ ∖ ( “ {0}))))
547545, 546ax-mp 5 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ∩ ( “ {0})) = ∅ ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (ℝ ∖ ( “ {0})))
548540, 547sylib 208 . . . . . 6 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (ℝ ∖ ( “ {0})))
549 ffun 6005 . . . . . . . . . 10 (:ℝ⟶ℝ → Fun )
550 difpreima 6299 . . . . . . . . . 10 (Fun → ( “ (ran ∖ {0})) = (( “ ran ) ∖ ( “ {0})))
551549, 550syl 17 . . . . . . . . 9 (:ℝ⟶ℝ → ( “ (ran ∖ {0})) = (( “ ran ) ∖ ( “ {0})))
552168, 174syl5eq 2667 . . . . . . . . . 10 (:ℝ⟶ℝ → ( “ ran ) = ℝ)
553552difeq1d 3705 . . . . . . . . 9 (:ℝ⟶ℝ → (( “ ran ) ∖ ( “ {0})) = (ℝ ∖ ( “ {0})))
554551, 553eqtrd 2655 . . . . . . . 8 (:ℝ⟶ℝ → ( “ (ran ∖ {0})) = (ℝ ∖ ( “ {0})))
55527, 554syl 17 . . . . . . 7 ( ∈ dom ∫1 → ( “ (ran ∖ {0})) = (ℝ ∖ ( “ {0})))
556555ad3antlr 766 . . . . . 6 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → ( “ (ran ∖ {0})) = (ℝ ∖ ( “ {0})))
557548, 556sseqtr4d 3621 . . . . 5 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ ( “ (ran ∖ {0})))
558 imassrn 5436 . . . . . . 7 ( “ (ran ∖ {0})) ⊆ ran
559558, 189syl5sseq 3632 . . . . . 6 ( ∈ dom ∫1 → ( “ (ran ∖ {0})) ⊆ ℝ)
560559ad3antlr 766 . . . . 5 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → ( “ (ran ∖ {0})) ⊆ ℝ)
561 i1fima 23351 . . . . . . . 8 ( ∈ dom ∫1 → ( “ (ran ∖ {0})) ∈ dom vol)
562 mblvol 23205 . . . . . . . 8 (( “ (ran ∖ {0})) ∈ dom vol → (vol‘( “ (ran ∖ {0}))) = (vol*‘( “ (ran ∖ {0}))))
563561, 562syl 17 . . . . . . 7 ( ∈ dom ∫1 → (vol‘( “ (ran ∖ {0}))) = (vol*‘( “ (ran ∖ {0}))))
564 neldifsn 4290 . . . . . . . 8 ¬ 0 ∈ (ran ∖ {0})
565 i1fima2 23352 . . . . . . . 8 (( ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ (ran ∖ {0})) → (vol‘( “ (ran ∖ {0}))) ∈ ℝ)
566564, 565mpan2 706 . . . . . . 7 ( ∈ dom ∫1 → (vol‘( “ (ran ∖ {0}))) ∈ ℝ)
567563, 566eqeltrrd 2699 . . . . . 6 ( ∈ dom ∫1 → (vol*‘( “ (ran ∖ {0}))) ∈ ℝ)
568567ad3antlr 766 . . . . 5 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (vol*‘( “ (ran ∖ {0}))) ∈ ℝ)
569 ovolsscl 23161 . . . . 5 ((((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ ( “ (ran ∖ {0})) ∧ ( “ (ran ∖ {0})) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘( “ (ran ∖ {0}))) ∈ ℝ) → (vol*‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ)
570557, 560, 568, 569syl3anc 1323 . . . 4 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (vol*‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ)
571511, 570syl 17 . . 3 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0})) → (vol*‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ)
572507, 571eqeltrd 2698 . 2 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0})) → (vol‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ)
57332, 132, 505, 572i1fd 23354 1 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∈ dom ∫1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  {crab 2911  Vcvv 3186  cdif 3552  cun 3553  cin 3554  wss 3555  c0 3891  ifcif 4058  {csn 4148   ciun 4485   class class class wbr 4613  cmpt 4673  ccnv 5073  dom cdm 5074  ran crn 5075  cima 5077  Fun wfun 5841   Fn wfn 5842  wf 5843  ontowfo 5845  cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  supcsup 8290  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  +∞cpnf 10015  -∞cmnf 10016  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210  -cneg 10211   / cdiv 10628  cn 10964  3c3 11015  0cn0 11236  cz 11321  +crp 11776  (,)cioo 12117  [,)cico 12119  ...cfz 12268  cfl 12531  vol*covol 23138  volcvol 23139  MblFncmbf 23289  1citg1 23290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-rest 16004  df-topgen 16025  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-cmp 21100  df-ovol 23140  df-vol 23141  df-mbf 23294  df-itg1 23295
This theorem is referenced by:  itg2addnclem3  33095
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