Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | itg2addnc.f2 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞)) |
2 | | rge0ssre 12847 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(0[,)+∞) ⊆ ℝ |
3 | | fss 6530 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞)
∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ) |
4 | 1, 2, 3 | sylancl 588 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ) |
5 | 4 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ 𝐹:ℝ⟶ℝ) |
6 | 5 | ffvelrnda 6854 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (𝐹‘𝑥) ∈
ℝ) |
7 | | rpre 12400 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑣 ∈ ℝ+
→ 𝑣 ∈
ℝ) |
8 | | 3re 11720 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 3 ∈
ℝ |
9 | | 3ne0 11746 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 3 ≠
0 |
10 | 8, 9 | pm3.2i 473 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (3 ∈
ℝ ∧ 3 ≠ 0) |
11 | | redivcl 11362 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 3 ∈
ℝ ∧ 3 ≠ 0) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ) |
12 | 11 | 3expb 1116 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ (3 ∈
ℝ ∧ 3 ≠ 0)) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ) |
13 | 7, 10, 12 | sylancl 588 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑣 ∈ ℝ+
→ (𝑣 / 3) ∈
ℝ) |
14 | 13 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (𝑣 / 3) ∈
ℝ) |
15 | | rpcnne0 12410 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑣 ∈ ℝ+
→ (𝑣 ∈ ℂ
∧ 𝑣 ≠
0)) |
16 | | 3cn 11721 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 3 ∈
ℂ |
17 | 16, 9 | pm3.2i 473 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (3 ∈
ℂ ∧ 3 ≠ 0) |
18 | | divne0 11313 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ
∧ 3 ≠ 0)) → (𝑣
/ 3) ≠ 0) |
19 | 15, 17, 18 | sylancl 588 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑣 ∈ ℝ+
→ (𝑣 / 3) ≠
0) |
20 | 19 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (𝑣 / 3) ≠
0) |
21 | 6, 14, 20 | redivcld 11471 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) |
22 | | reflcl 13169 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ →
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ) |
23 | 21, 22 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ) |
24 | | peano2rem 10956 |
. . . . . 6
⊢
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ →
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈
ℝ) |
25 | 23, 24 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈
ℝ) |
26 | 25, 14 | remulcld 10674 |
. . . 4
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈
ℝ) |
27 | | i1ff 24280 |
. . . . . 6
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ℎ:ℝ⟶ℝ) |
28 | 27 | ad2antlr 725 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ℎ:ℝ⟶ℝ) |
29 | 28 | ffvelrnda 6854 |
. . . 4
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (ℎ‘𝑥) ∈
ℝ) |
30 | 26, 29 | ifcld 4515 |
. . 3
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ ℝ) |
31 | 30 | fmpttd 6882 |
. 2
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))):ℝ⟶ℝ) |
32 | | fzfi 13343 |
. . . . 5
⊢
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ∈ Fin |
33 | | ovex 7192 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ V |
34 | | eqid 2824 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) = (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) |
35 | 33, 34 | fnmpti 6494 |
. . . . . 6
⊢ (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) Fn (0...-(⌊‘-((sup(ran
ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) |
36 | | dffn4 6599 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) Fn (0...-(⌊‘-((sup(ran
ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↔ (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))):(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))–onto→ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))) |
37 | 35, 36 | mpbi 232 |
. . . . 5
⊢ (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))):(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))–onto→ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) |
38 | | fofi 8813 |
. . . . 5
⊢
(((0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ∈ Fin ∧ (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))):(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))–onto→ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))) → ran (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∈ Fin) |
39 | 32, 37, 38 | mp2an 690 |
. . . 4
⊢ ran
(𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∈ Fin |
40 | | i1frn 24281 |
. . . . 5
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ran ℎ ∈
Fin) |
41 | 40 | ad2antlr 725 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ran ℎ ∈
Fin) |
42 | | unfi 8788 |
. . . 4
⊢ ((ran
(𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∈ Fin ∧ ran ℎ ∈ Fin) → (ran (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ) ∈ Fin) |
43 | 39, 41, 42 | sylancr 589 |
. . 3
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ (ran (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ) ∈ Fin) |
44 | | 3nn 11719 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 3 ∈
ℕ |
45 | | nnrp 12403 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (3 ∈
ℕ → 3 ∈ ℝ+) |
46 | 44, 45 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 3 ∈
ℝ+ |
47 | | rpdivcl 12417 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑣 ∈ ℝ+
∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝑣 / 3) ∈
ℝ+) |
48 | 46, 47 | mpan2 689 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑣 ∈ ℝ+
→ (𝑣 / 3) ∈
ℝ+) |
49 | 48 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (𝑣 / 3) ∈
ℝ+) |
50 | 1 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞)) |
51 | 50 | ffvelrnda 6854 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (𝐹‘𝑥) ∈
(0[,)+∞)) |
52 | | elrege0 12845 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥))) |
53 | 51, 52 | sylib 220 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤
(𝐹‘𝑥))) |
54 | 53 | simprd 498 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)) |
55 | 6, 49, 54 | divge0d 12474 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ 0 ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) |
56 | | flge0nn0 13193 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈
ℕ0) |
57 | 21, 55, 56 | syl2anc 586 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈
ℕ0) |
58 | 57 | nn0ge0d 11961 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ 0 ≤ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) |
59 | 58 | adantr 483 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → 0 ≤
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) |
60 | 27 | frnd 6524 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ran ℎ ⊆
ℝ) |
61 | | i1f0rn 24286 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ 0 ∈ ran ℎ) |
62 | | elex2 3519 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (0 ∈
ran ℎ → ∃𝑥 𝑥 ∈ ran ℎ) |
63 | 61, 62 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ∃𝑥 𝑥 ∈ ran ℎ) |
64 | | n0 4313 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (ran
ℎ ≠ ∅ ↔
∃𝑥 𝑥 ∈ ran ℎ) |
65 | 63, 64 | sylibr 236 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ran ℎ ≠
∅) |
66 | | fimaxre2 11589 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((ran
ℎ ⊆ ℝ ∧ ran
ℎ ∈ Fin) →
∃𝑥 ∈ ℝ
∀𝑦 ∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥) |
67 | 60, 40, 66 | syl2anc 586 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ∃𝑥 ∈
ℝ ∀𝑦 ∈
ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥) |
68 | 60, 65, 67 | 3jca 1124 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (ran ℎ ⊆
ℝ ∧ ran ℎ ≠
∅ ∧ ∃𝑥
∈ ℝ ∀𝑦
∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥)) |
69 | 68 | ad3antlr 729 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (ran ℎ ⊆
ℝ ∧ ran ℎ ≠
∅ ∧ ∃𝑥
∈ ℝ ∀𝑦
∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥)) |
70 | | ffn 6517 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ →
ℎ Fn
ℝ) |
71 | 27, 70 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ℎ Fn
ℝ) |
72 | | dffn3 6528 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (ℎ Fn ℝ ↔ ℎ:ℝ⟶ran ℎ) |
73 | 71, 72 | sylib 220 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ℎ:ℝ⟶ran
ℎ) |
74 | 73 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ℎ:ℝ⟶ran
ℎ) |
75 | 74 | ffvelrnda 6854 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (ℎ‘𝑥) ∈ ran ℎ) |
76 | | suprub 11605 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((ran
ℎ ⊆ ℝ ∧ ran
ℎ ≠ ∅ ∧
∃𝑥 ∈ ℝ
∀𝑦 ∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ ran ℎ) → (ℎ‘𝑥) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < )) |
77 | 69, 75, 76 | syl2anc 586 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (ℎ‘𝑥) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, <
)) |
78 | | suprcl 11604 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((ran
ℎ ⊆ ℝ ∧ ran
ℎ ≠ ∅ ∧
∃𝑥 ∈ ℝ
∀𝑦 ∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(ran ℎ, ℝ, < ) ∈
ℝ) |
79 | 60, 65, 67, 78 | syl3anc 1367 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ sup(ran ℎ, ℝ,
< ) ∈ ℝ) |
80 | 79 | ad3antlr 729 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ sup(ran ℎ, ℝ,
< ) ∈ ℝ) |
81 | | letr 10737 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧
(ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ sup(ran ℎ, ℝ, < ) ∈ ℝ)
→ (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < )) →
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, <
))) |
82 | 26, 29, 80, 81 | syl3anc 1367 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < )) →
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, <
))) |
83 | 25, 80, 49 | lemuldivd 12483 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < ) ↔
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)))) |
84 | | 1red 10645 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ 1 ∈ ℝ) |
85 | 80, 14, 20 | redivcld 11471 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (sup(ran ℎ, ℝ,
< ) / (𝑣 / 3)) ∈
ℝ) |
86 | 23, 84, 85 | lesubaddd 11240 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) ↔
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) |
87 | 83, 86 | bitrd 281 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < ) ↔
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) |
88 | | peano2re 10816 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((sup(ran
ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ →
((sup(ran ℎ, ℝ, < )
/ (𝑣 / 3)) + 1) ∈
ℝ) |
89 | 85, 88 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((sup(ran ℎ, ℝ,
< ) / (𝑣 / 3)) + 1)
∈ ℝ) |
90 | | ceige 13216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((sup(ran ℎ,
ℝ, < ) / (𝑣 / 3))
+ 1) ∈ ℝ → ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ -(⌊‘-((sup(ran
ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) |
91 | 89, 90 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((sup(ran ℎ, ℝ,
< ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤
-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) |
92 | | ceicl 13214 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((sup(ran ℎ,
ℝ, < ) / (𝑣 / 3))
+ 1) ∈ ℝ → -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℤ) |
93 | 89, 92 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℤ) |
94 | 93 | zred 12090 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ) |
95 | | letr 10737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ ∧ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ ∧
-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ) →
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∧ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤
-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))) |
96 | 23, 89, 94, 95 | syl3anc 1367 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∧ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤
-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))) |
97 | 91, 96 | mpan2d 692 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))) |
98 | 87, 97 | sylbid 242 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < ) →
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))) |
99 | 82, 98 | syld 47 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < )) →
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))) |
100 | 77, 99 | mpan2d 692 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))) |
101 | 100 | adantrd 494 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))) |
102 | 101 | imp 409 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) |
103 | 21 | flcld 13171 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ) |
104 | 103 | adantr 483 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ) |
105 | | 0zd 11996 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → 0 ∈
ℤ) |
106 | 93 | adantr 483 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → -(⌊‘-((sup(ran
ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈
ℤ) |
107 | | elfz 12901 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ
∧ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℤ) →
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↔ (0 ≤
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∧ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))) |
108 | 104, 105,
106, 107 | syl3anc 1367 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↔ (0 ≤
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∧ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))) |
109 | 59, 102, 108 | mpbir2and 711 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))) |
110 | | eqid 2824 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) =
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) |
111 | | oveq1 7166 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑡 = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) → (𝑡 − 1) = ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1)) |
112 | 111 | oveq1d 7174 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑡 = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) → ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)) = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) |
113 | 112 | rspceeqv 3641 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ∧ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) =
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) → ∃𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) |
114 | 109, 110,
113 | sylancl 588 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → ∃𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) +
1)))(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) |
115 | | ovex 7192 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ V |
116 | 34 | elrnmpt 5831 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ V →
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) +
1)))(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))) |
117 | 115, 116 | ax-mp 5 |
. . . . . . . 8
⊢
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) +
1)))(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) |
118 | 114, 117 | sylibr 236 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))) |
119 | | elun1 4155 |
. . . . . . 7
⊢
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ (ran (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ)) |
120 | 118, 119 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ (ran (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ)) |
121 | | elun2 4156 |
. . . . . . . 8
⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ ran ℎ → (ℎ‘𝑥) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ)) |
122 | 75, 121 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (ℎ‘𝑥) ∈ (ran (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ)) |
123 | 122 | adantr 483 |
. . . . . 6
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → (ℎ‘𝑥) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ)) |
124 | 120, 123 | ifclda 4504 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ)) |
125 | 124 | fmpttd 6882 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))):ℝ⟶(ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ)) |
126 | 125 | frnd 6524 |
. . 3
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ran (𝑥 ∈
ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ⊆ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ)) |
127 | | ssfi 8741 |
. . 3
⊢ (((ran
(𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ) ∈ Fin ∧ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ⊆ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ)) → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∈ Fin) |
128 | 43, 126, 127 | syl2anc 586 |
. 2
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ran (𝑥 ∈
ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∈ Fin) |
129 | | eqid 2824 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) |
130 | 129 | mptpreima 6095 |
. . . 4
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}} |
131 | | unrab 4277 |
. . . . 5
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣
((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)))} |
132 | | inrab 4278 |
. . . . . . . 8
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)} |
133 | 132 | ineq1i 4188 |
. . . . . . 7
⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) |
134 | | inrab 4278 |
. . . . . . 7
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣
(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))} |
135 | 133, 134 | eqtri 2847 |
. . . . . 6
⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣
(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))} |
136 | | unrab 4277 |
. . . . . . . 8
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0)} |
137 | 136 | ineq1i 4188 |
. . . . . . 7
⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) |
138 | | inrab 4278 |
. . . . . . 7
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))} |
139 | 137, 138 | eqtri 2847 |
. . . . . 6
⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))} |
140 | 135, 139 | uneq12i 4140 |
. . . . 5
⊢ ((({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))}) |
141 | | eqcom 2831 |
. . . . . . 7
⊢
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = 𝑡 ↔ 𝑡 = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) |
142 | | fvex 6686 |
. . . . . . . . 9
⊢ (ℎ‘𝑥) ∈ V |
143 | 115, 142 | ifex 4518 |
. . . . . . . 8
⊢
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ V |
144 | 143 | elsn 4585 |
. . . . . . 7
⊢
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ↔ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = 𝑡) |
145 | | ianor 978 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (¬
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ↔ (¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ ¬ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) |
146 | | nne 3023 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (¬
(ℎ‘𝑥) ≠ 0 ↔ (ℎ‘𝑥) = 0) |
147 | 146 | orbi2i 909 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ ¬ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ↔ (¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0)) |
148 | 145, 147 | bitr2i 278 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ↔ ¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) |
149 | 148 | anbi1i 625 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)) ↔ (¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))) |
150 | 149 | orbi2i 909 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))) ↔ ((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ (¬
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)))) |
151 | | eqif 4510 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑡 = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ↔ ((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ (¬
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)))) |
152 | 150, 151 | bitr4i 280 |
. . . . . . 7
⊢
(((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))) ↔ 𝑡 = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) |
153 | 141, 144,
152 | 3bitr4i 305 |
. . . . . 6
⊢
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ↔ ((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)))) |
154 | 153 | rabbii 3476 |
. . . . 5
⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}} = {𝑥 ∈ ℝ ∣
((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)))} |
155 | 131, 140,
154 | 3eqtr4ri 2858 |
. . . 4
⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}} = ((({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})) |
156 | 130, 155 | eqtri 2847 |
. . 3
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) = ((({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})) |
157 | | eldifi 4106 |
. . . . . 6
⊢ (𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0}) → 𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) |
158 | 31 | frnd 6524 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ran (𝑥 ∈
ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ⊆ ℝ) |
159 | 158 | sseld 3969 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ (𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) → 𝑡 ∈ ℝ)) |
160 | 157, 159 | syl5 34 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ (𝑡 ∈ (ran
(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0}) → 𝑡 ∈ ℝ)) |
161 | 160 | imdistani 571 |
. . . 4
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈
ℝ)) |
162 | | rabiun 34869 |
. . . . . . . . . 10
⊢ {𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = ∪
𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} |
163 | | cnvimarndm 5953 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (◡ℎ “ ran ℎ) = dom ℎ |
164 | | iunid 4987 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑡} = ran ℎ |
165 | 164 | imaeq2i 5930 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (◡ℎ “ ∪
𝑡 ∈ ran ℎ{𝑡}) = (◡ℎ “ ran ℎ) |
166 | | imaiun 7007 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (◡ℎ “ ∪
𝑡 ∈ ran ℎ{𝑡}) = ∪
𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) |
167 | 165, 166 | eqtr3i 2849 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (◡ℎ “ ran ℎ) = ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) |
168 | 163, 167 | eqtr3i 2849 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ dom ℎ = ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) |
169 | 27 | fdmd 6526 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ dom ℎ =
ℝ) |
170 | 168, 169 | syl5eqr 2873 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) = ℝ) |
171 | 170 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) = ℝ) |
172 | | rabeq 3486 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) = ℝ → {𝑥 ∈ ∪
𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)}) |
173 | 171, 172 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ {𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)}) |
174 | 162, 173 | syl5eqr 2873 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)}) |
175 | | fniniseg 6833 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (ℎ Fn ℝ → (𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) = 𝑡))) |
176 | 27, 70, 175 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) = 𝑡))) |
177 | 176 | simplbda 502 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1
∧ 𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡})) → (ℎ‘𝑥) = 𝑡) |
178 | 177 | breq2d 5081 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1
∧ 𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡})) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ↔ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡)) |
179 | 178 | rabbidva 3481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}) |
180 | | inrab2 4279 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} |
181 | | imassrn 5943 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (◡ℎ “ {𝑡}) ⊆ ran ◡ℎ |
182 | | dfdm4 5767 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ dom ℎ = ran ◡ℎ |
183 | 182, 169 | syl5eqr 2873 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ran ◡ℎ = ℝ) |
184 | 181, 183 | sseqtrid 4022 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ {𝑡}) ⊆ ℝ) |
185 | | sseqin2 4195 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((◡ℎ “ {𝑡}) ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∩
(◡ℎ “ {𝑡})) = (◡ℎ “ {𝑡})) |
186 | 184, 185 | sylib 220 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = (◡ℎ “ {𝑡})) |
187 | | rabeq 3486 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((ℝ
∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = (◡ℎ “ {𝑡}) → {𝑥 ∈ (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}) |
188 | 186, 187 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ {𝑥 ∈ (ℝ
∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}) |
189 | 180, 188 | syl5eq 2871 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ({𝑥 ∈ ℝ
∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}) |
190 | 179, 189 | eqtr4d 2862 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡}))) |
191 | 190 | ad3antlr 729 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡}))) |
192 | 25 | adantlr 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈
ℝ) |
193 | 60 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ran ℎ ⊆
ℝ) |
194 | 193 | sselda 3970 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → 𝑡 ∈ ℝ) |
195 | 194 | adantr 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ) |
196 | 48 | ad3antlr 729 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈
ℝ+) |
197 | 192, 195,
196 | lemuldivd 12483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡 ↔ ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (𝑡 / (𝑣 / 3)))) |
198 | 23 | adantlr 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ) |
199 | | 1red 10645 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈
ℝ) |
200 | 13 | ad3antlr 729 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ) |
201 | 19 | ad3antlr 729 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ≠ 0) |
202 | 195, 200,
201 | redivcld 11471 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) |
203 | 198, 199,
202 | lesubaddd 11240 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1))) |
204 | 6 | adantlr 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) |
205 | | peano2re 10816 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ) |
206 | 202, 205 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ) |
207 | | reflcl 13169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ →
(⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈
ℝ) |
208 | 206, 207 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈
ℝ) |
209 | | peano2re 10816 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
((⌊‘((𝑡
/ (𝑣 / 3)) + 1)) ∈
ℝ → ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1) ∈
ℝ) |
210 | 208, 209 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
((⌊‘((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1)) + 1) ∈
ℝ) |
211 | 204, 210,
196 | ltdivmuld 12485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1) ↔ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) |
212 | 21 | adantlr 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) |
213 | | flflp1 13180 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ) →
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) |
214 | 212, 206,
213 | syl2anc 586 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) |
215 | 200, 210 | remulcld 10674 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ∈
ℝ) |
216 | 215 | rexrd 10694 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ∈
ℝ*) |
217 | | elioomnf 12835 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝑣 / 3) ·
((⌊‘((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ∈
ℝ* → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))) |
218 | 216, 217 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))) |
219 | 204 | biantrurd 535 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))) |
220 | 218, 219 | bitr4d 284 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) ↔ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) |
221 | 211, 214,
220 | 3bitr4d 313 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))) |
222 | 197, 203,
221 | 3bitrd 307 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡 ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))) |
223 | 222 | rabbidva 3481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))}) |
224 | 1 | feqmptd 6736 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥))) |
225 | 224 | cnveqd 5749 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → ◡𝐹 = ◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥))) |
226 | 225 | imaeq1d 5931 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))) |
227 | | eqid 2824 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) |
228 | 227 | mptpreima 6095 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))} |
229 | 226, 228 | syl6eq 2875 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))}) |
230 | 229 | ad3antrrr 728 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))}) |
231 | 223, 230 | eqtr4d 2862 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))) |
232 | | itg2addnc.f1 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn) |
233 | | mbfima 24234 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) →
(◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) ∈ dom
vol) |
234 | 232, 4, 233 | syl2anc 586 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) ∈ dom
vol) |
235 | 234 | ad3antrrr 728 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) ∈ dom
vol) |
236 | 231, 235 | eqeltrd 2916 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol) |
237 | 60 | sseld 3969 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (𝑡 ∈ ran ℎ → 𝑡 ∈ ℝ)) |
238 | 237 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ (𝑡 ∈ ran ℎ → 𝑡 ∈ ℝ)) |
239 | 238 | imdistani 571 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈
ℝ)) |
240 | | i1fmbf 24279 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ℎ ∈
MblFn) |
241 | 240, 27 | jca 514 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (ℎ ∈ MblFn ∧
ℎ:ℝ⟶ℝ)) |
242 | 241 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ (ℎ ∈ MblFn ∧
ℎ:ℝ⟶ℝ)) |
243 | | mbfimasn 24236 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((ℎ ∈ MblFn ∧ ℎ:ℝ⟶ℝ ∧
𝑡 ∈ ℝ) →
(◡ℎ “ {𝑡}) ∈ dom vol) |
244 | 243 | 3expa 1114 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((ℎ ∈ MblFn ∧ ℎ:ℝ⟶ℝ) ∧
𝑡 ∈ ℝ) →
(◡ℎ “ {𝑡}) ∈ dom vol) |
245 | 242, 244 | sylan 582 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (◡ℎ “ {𝑡}) ∈ dom vol) |
246 | 239, 245 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → (◡ℎ “ {𝑡}) ∈ dom vol) |
247 | | inmbl 24146 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol ∧ (◡ℎ “ {𝑡}) ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∈ dom vol) |
248 | 236, 246,
247 | syl2anc 586 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∈ dom vol) |
249 | 191, 248 | eqeltrd 2916 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
250 | 249 | ralrimiva 3185 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ∀𝑡 ∈ ran
ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
251 | | finiunmbl 24148 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((ran
ℎ ∈ Fin ∧
∀𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
252 | 41, 250, 251 | syl2anc 586 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
253 | 174, 252 | eqeltrrd 2917 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
254 | | unrab 4277 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞))} |
255 | 27 | feqmptd 6736 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ℎ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥))) |
256 | 255 | cnveqd 5749 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ◡ℎ = ◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥))) |
257 | 256 | imaeq1d 5931 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ (-∞(,)0)) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ (-∞(,)0))) |
258 | | eqid 2824 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) |
259 | 258 | mptpreima 6095 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ (-∞(,)0)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0)} |
260 | 257, 259 | syl6eq 2875 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ (-∞(,)0)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0)}) |
261 | 256 | imaeq1d 5931 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ (0(,)+∞)) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ (0(,)+∞))) |
262 | 258 | mptpreima 6095 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ (0(,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)} |
263 | 261, 262 | syl6eq 2875 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ (0(,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)}) |
264 | 260, 263 | uneq12d 4143 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ((◡ℎ “ (-∞(,)0)) ∪ (◡ℎ “ (0(,)+∞))) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)})) |
265 | 27 | ffvelrnda 6854 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (ℎ‘𝑥) ∈
ℝ) |
266 | | 0re 10646 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 0 ∈
ℝ |
267 | | lttri2 10726 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)
→ ((ℎ‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥)))) |
268 | 266, 267 | mpan2 689 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ → ((ℎ‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥)))) |
269 | | ibar 531 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ → (((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥)) ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥))))) |
270 | | andi 1004 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥))) ↔ (((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) < 0) ∨ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℎ‘𝑥)))) |
271 | | 0xr 10691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 0 ∈
ℝ* |
272 | | elioomnf 12835 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (0 ∈
ℝ* → ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) < 0))) |
273 | | elioopnf 12834 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (0 ∈
ℝ* → ((ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞) ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℎ‘𝑥)))) |
274 | 272, 273 | orbi12d 915 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (0 ∈
ℝ* → (((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)) ↔ (((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) < 0) ∨ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℎ‘𝑥))))) |
275 | 271, 274 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)) ↔ (((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) < 0) ∨ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℎ‘𝑥)))) |
276 | 270, 275 | bitr4i 280 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥))) ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞))) |
277 | 269, 276 | syl6bb 289 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ → (((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥)) ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)))) |
278 | 268, 277 | bitrd 281 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ → ((ℎ‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)))) |
279 | 265, 278 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((ℎ‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)))) |
280 | 279 | rabbidva 3481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞))}) |
281 | 254, 264,
280 | 3eqtr4a 2885 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ((◡ℎ “ (-∞(,)0)) ∪ (◡ℎ “ (0(,)+∞))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) |
282 | | i1fima 24282 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ (-∞(,)0)) ∈ dom
vol) |
283 | | i1fima 24282 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ (0(,)+∞)) ∈ dom
vol) |
284 | | unmbl 24141 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((◡ℎ “ (-∞(,)0)) ∈ dom vol ∧
(◡ℎ “ (0(,)+∞)) ∈ dom vol)
→ ((◡ℎ “ (-∞(,)0)) ∪ (◡ℎ “ (0(,)+∞))) ∈ dom
vol) |
285 | 282, 283,
284 | syl2anc 586 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ((◡ℎ “ (-∞(,)0)) ∪ (◡ℎ “ (0(,)+∞))) ∈ dom
vol) |
286 | 281, 285 | eqeltrrd 2917 |
. . . . . . . . 9
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0} ∈ dom
vol) |
287 | 286 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0} ∈ dom
vol) |
288 | | inmbl 24146 |
. . . . . . . 8
⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0} ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol) |
289 | 253, 287,
288 | syl2anc 586 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ({𝑥 ∈ ℝ
∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol) |
290 | 289 | adantr 483 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ({𝑥 ∈ ℝ
∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol) |
291 | 23 | recnd 10672 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℂ) |
292 | 291 | adantlr 713 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℂ) |
293 | | 1cnd 10639 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈
ℂ) |
294 | | simplr 767 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ) |
295 | 13 | ad3antlr 729 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ) |
296 | 19 | ad3antlr 729 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ≠ 0) |
297 | 294, 295,
296 | redivcld 11471 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) |
298 | 297 | recnd 10672 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℂ) |
299 | 292, 293,
298 | subadd2d 11019 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) = (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))) |
300 | | eqcom 2831 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) = (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ (𝑡 / (𝑣 / 3)) = ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1)) |
301 | | recn 10630 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈
ℂ) |
302 | 301 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ) |
303 | 25 | recnd 10672 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈
ℂ) |
304 | 303 | adantlr 713 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈
ℂ) |
305 | 13 | recnd 10672 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑣 ∈ ℝ+
→ (𝑣 / 3) ∈
ℂ) |
306 | 305 | ad3antlr 729 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℂ) |
307 | 302, 304,
306, 296 | divmul3d 11453 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) = ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ↔ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))) |
308 | 300, 307 | syl5bb 285 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) = (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))) |
309 | 299, 308 | bitr3d 283 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))) |
310 | 309 | rabbidva 3481 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) =
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) |
311 | | imaundi 6011 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (◡𝐹 “ ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = ((◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) |
312 | 225 | ad4antr 730 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ◡𝐹 = ◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥))) |
313 | | zre 11988 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ) |
314 | 313 | adantl 484 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ) |
315 | 13 | ad3antlr 729 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈
ℝ) |
316 | 314, 315 | remulcld 10674 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) |
317 | 316 | rexrd 10694 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈
ℝ*) |
318 | | peano2z 12026 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈
ℤ) |
319 | 318 | zred 12090 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈
ℝ) |
320 | 319 | adantl 484 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈
ℝ) |
321 | 315, 320 | remulcld 10674 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈
ℝ) |
322 | 321 | rexrd 10694 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈
ℝ*) |
323 | | zcn 11989 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℂ) |
324 | 323 | adantl 484 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℂ) |
325 | 305 | ad3antlr 729 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈
ℂ) |
326 | 324, 325 | mulcomd 10665 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑣 / 3) · ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1))) |
327 | 48 | ad3antlr 729 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈
ℝ+) |
328 | 313 | ltp1d 11573 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) |
329 | 328 | adantl 484 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) |
330 | 314, 320,
327, 329 | ltmul2dd 12490 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑣 / 3) · ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) |
331 | 326, 330 | eqbrtrd 5091 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) |
332 | | snunioo 12867 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈
ℝ* ∧ ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ*
∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) → ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) |
333 | 317, 322,
331, 332 | syl3anc 1367 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) |
334 | 312, 333 | imaeq12d 5933 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (◡𝐹 “ ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) |
335 | 311, 334 | syl5eqr 2873 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) |
336 | 227 | mptpreima 6095 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))} |
337 | 4 | ad3antrrr 728 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ 𝐹:ℝ⟶ℝ) |
338 | 337 | ffvelrnda 6854 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) |
339 | 338 | 3biant1d 1474 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) |
340 | 339 | adantr 483 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) |
341 | 313 | adantl 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ) |
342 | 338 | adantr 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) |
343 | 48 | ad4antlr 731 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈
ℝ+) |
344 | 341, 342,
343 | lemuldivd 12483 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) |
345 | 319 | adantl 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈
ℝ) |
346 | 342, 345,
343 | ltdivmuld 12485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ↔ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) |
347 | 346 | bicomd 225 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ↔ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) |
348 | 344, 347 | anbi12d 632 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) |
349 | 340, 348 | bitr3d 283 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) |
350 | | elico2 12803 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧
((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ*)
→ ((𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) |
351 | 316, 322,
350 | syl2anc 586 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) |
352 | 351 | adantlr 713 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) |
353 | | eqcom 2831 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) = ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) |
354 | 21 | adantlr 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) |
355 | | flbi 13189 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) →
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) = ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) |
356 | 354, 355 | sylan 582 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) →
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) = ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) |
357 | 353, 356 | syl5bb 285 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) |
358 | 349, 352,
357 | 3bitr4d 313 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))) |
359 | 358 | an32s 650 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))) |
360 | 359 | rabbidva 3481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))}) |
361 | 336, 360 | syl5eq 2871 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))}) |
362 | 335, 361 | eqtrd 2859 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))}) |
363 | 232 | ad4antr 730 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → 𝐹 ∈ MblFn) |
364 | 4 | ad4antr 730 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ) |
365 | | mbfimasn 24236 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ ∧
(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol) |
366 | 363, 364,
316, 365 | syl3anc 1367 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol) |
367 | | mbfima 24234 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) →
(◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom
vol) |
368 | 232, 4, 367 | syl2anc 586 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom
vol) |
369 | 368 | ad4antr 730 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom
vol) |
370 | | unmbl 24141 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol ∧ (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom vol) →
((◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) ∈ dom
vol) |
371 | 366, 369,
370 | syl2anc 586 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) ∈ dom
vol) |
372 | 362, 371 | eqeltrrd 2917 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))} ∈ dom vol) |
373 | | simpr 487 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) |
374 | 354 | flcld 13171 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ) |
375 | 374 | adantr 483 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ) |
376 | 373, 375 | eqeltrd 2916 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) |
377 | 376 | stoic1a 1772 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ¬
((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) |
378 | 377 | an32s 650 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ¬
((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) |
379 | 378 | ralrimiva 3185 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) →
∀𝑥 ∈ ℝ
¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) =
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) |
380 | | rabeq0 4341 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) |
381 | 379, 380 | sylibr 236 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))} = ∅) |
382 | | 0mbl 24143 |
. . . . . . . . 9
⊢ ∅
∈ dom vol |
383 | 381, 382 | eqeltrdi 2924 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))} ∈ dom vol) |
384 | 372, 383 | pm2.61dan 811 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) =
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))} ∈ dom vol) |
385 | 310, 384 | eqeltrrd 2917 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ 𝑡 =
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))} ∈ dom
vol) |
386 | | inmbl 24146 |
. . . . . 6
⊢ ((({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))} ∈ dom vol) →
(({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom
vol) |
387 | 290, 385,
386 | syl2anc 586 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (({𝑥 ∈ ℝ
∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom
vol) |
388 | | rabiun 34869 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ {𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = ∪
𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} |
389 | | rabeq 3486 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) = ℝ → {𝑥 ∈ ∪
𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)}) |
390 | 170, 389 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ {𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)}) |
391 | 388, 390 | syl5eqr 2873 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)}) |
392 | 391 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)}) |
393 | 178 | notbid 320 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1
∧ 𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡})) → (¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ↔ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡)) |
394 | 393 | rabbidva 3481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}) |
395 | | inrab2 4279 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} |
396 | | rabeq 3486 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((ℝ
∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = (◡ℎ “ {𝑡}) → {𝑥 ∈ (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}) |
397 | 186, 396 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ {𝑥 ∈ (ℝ
∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}) |
398 | 395, 397 | syl5eq 2871 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ({𝑥 ∈ ℝ
∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}) |
399 | 394, 398 | eqtr4d 2862 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡}))) |
400 | 399 | ad3antlr 729 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡}))) |
401 | | imaundi 6011 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (◡𝐹 “ ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪
(((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 /
3))(,)+∞))) = ((◡𝐹 “
{((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3))}) ∪
(◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 /
3))(,)+∞))) |
402 | 13, 19 | jca 514 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑣 ∈ ℝ+
→ ((𝑣 / 3) ∈
ℝ ∧ (𝑣 / 3) ≠
0)) |
403 | | redivcl 11362 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝑣 / 3) ∈ ℝ ∧
(𝑣 / 3) ≠ 0) →
(𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) |
404 | 403 | 3expb 1116 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑡 ∈ ℝ ∧ ((𝑣 / 3) ∈ ℝ ∧
(𝑣 / 3) ≠ 0)) →
(𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) |
405 | 402, 404 | sylan2 594 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈
ℝ) |
406 | 405 | ancoms 461 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑣 ∈ ℝ+
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈
ℝ) |
407 | 406 | adantll 712 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈
ℝ) |
408 | 407, 205 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈
ℝ) |
409 | | peano2re 10816 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈
ℝ) |
410 | | reflcl 13169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ →
(⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈
ℝ) |
411 | 408, 409,
410 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (⌊‘(((𝑡
/ (𝑣 / 3)) + 1) + 1))
∈ ℝ) |
412 | 13 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (𝑣 / 3) ∈
ℝ) |
413 | 411, 412 | remulcld 10674 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ((⌊‘(((𝑡
/ (𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) ∈
ℝ) |
414 | 413 | rexrd 10694 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ((⌊‘(((𝑡
/ (𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) ∈
ℝ*) |
415 | | pnfxr 10698 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ +∞
∈ ℝ* |
416 | 415 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ +∞ ∈ ℝ*) |
417 | | ltpnf 12518 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ →
((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) <
+∞) |
418 | 413, 417 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ((⌊‘(((𝑡
/ (𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) <
+∞) |
419 | | snunioo 12867 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈
ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧
((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) <
+∞) → ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪
(((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 /
3))(,)+∞)) = (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 /
3))[,)+∞)) |
420 | 414, 416,
418, 419 | syl3anc 1367 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪
(((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 /
3))(,)+∞)) = (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 /
3))[,)+∞)) |
421 | 420 | imaeq2d 5932 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (◡𝐹 “ ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪
(((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 /
3))(,)+∞))) = (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 /
3))[,)+∞))) |
422 | 401, 421 | syl5eqr 2873 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ((◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) = (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 /
3))[,)+∞))) |
423 | 225 | imaeq1d 5931 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 /
3))[,)+∞))) |
424 | 227 | mptpreima 6095 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 /
3))[,)+∞)} |
425 | 423, 424 | syl6eq 2875 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 /
3))[,)+∞)}) |
426 | 425 | ad3antrrr 728 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 /
3))[,)+∞)}) |
427 | 408, 409 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈
ℝ) |
428 | 427 | adantr 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈
ℝ) |
429 | | flflp1 13180 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ
∧ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) →
((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤
((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) < ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) + 1))) |
430 | 428, 354,
429 | syl2anc 586 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤
((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) < ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) + 1))) |
431 | 413 | adantr 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) ∈
ℝ) |
432 | | elicopnf 12836 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ →
((𝐹‘𝑥) ∈
(((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 /
3))[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧
((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) ≤
(𝐹‘𝑥)))) |
433 | 431, 432 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔
((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧
((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) ≤
(𝐹‘𝑥)))) |
434 | 338 | biantrurd 535 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) ≤
(𝐹‘𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧
((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) ≤
(𝐹‘𝑥)))) |
435 | 411 | adantr 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈
ℝ) |
436 | 48 | ad3antlr 729 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈
ℝ+) |
437 | 435, 338,
436 | lemuldivd 12483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) ≤
(𝐹‘𝑥) ↔ (⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) |
438 | 433, 434,
437 | 3bitr2d 309 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔
(⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤
((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) |
439 | 408 | adantr 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ) |
440 | 354, 22 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ) |
441 | | 1red 10645 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈
ℝ) |
442 | 439, 440,
441 | ltadd1d 11236 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) < ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) + 1))) |
443 | 430, 438,
442 | 3bitr4d 313 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔
((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))) |
444 | 297, 441,
440 | ltaddsubd 11243 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (𝑡 / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1))) |
445 | 443, 444 | bitrd 281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ (𝑡 / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1))) |
446 | 440, 24 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈
ℝ) |
447 | 294, 446,
436 | ltdivmul2d 12486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ↔ 𝑡 < (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))) |
448 | 446, 295 | remulcld 10674 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈
ℝ) |
449 | 294, 448 | ltnled 10790 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 < (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ↔ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡)) |
450 | 445, 447,
449 | 3bitrd 307 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡)) |
451 | 450 | rabbidva 3481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ (𝐹‘𝑥) ∈
(((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 /
3))[,)+∞)} = {𝑥
∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}) |
452 | 422, 426,
451 | 3eqtrd 2863 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ((◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}) |
453 | 232 | ad3antrrr 728 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ 𝐹 ∈
MblFn) |
454 | | mbfimasn 24236 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ ∧
((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) ∈
ℝ) → (◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom
vol) |
455 | 453, 337,
413, 454 | syl3anc 1367 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom
vol) |
456 | | mbfima 24234 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) →
(◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom
vol) |
457 | 232, 4, 456 | syl2anc 586 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom
vol) |
458 | 457 | ad3antrrr 728 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom
vol) |
459 | | unmbl 24141 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol ∧
(◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom
vol) → ((◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) ∈ dom
vol) |
460 | 455, 458,
459 | syl2anc 586 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ((◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) ∈ dom
vol) |
461 | 452, 460 | eqeltrrd 2917 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol) |
462 | 239, 461 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol) |
463 | | inmbl 24146 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol ∧ (◡ℎ “ {𝑡}) ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∈ dom vol) |
464 | 462, 246,
463 | syl2anc 586 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∈ dom vol) |
465 | 400, 464 | eqeltrd 2916 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
466 | 465 | ralrimiva 3185 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ∀𝑡 ∈ ran
ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
467 | | finiunmbl 24148 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((ran
ℎ ∈ Fin ∧
∀𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
468 | 41, 466, 467 | syl2anc 586 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
469 | 392, 468 | eqeltrrd 2917 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
470 | 256 | imaeq1d 5931 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ {0}) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ {0})) |
471 | 258 | mptpreima 6095 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}} |
472 | 142 | elsn 4585 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ {0} ↔ (ℎ‘𝑥) = 0) |
473 | 472 | rabbii 3476 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0} |
474 | 471, 473 | eqtri 2847 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0} |
475 | 470, 474 | syl6eq 2875 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) |
476 | | i1fima 24282 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ {0}) ∈ dom vol) |
477 | 475, 476 | eqeltrrd 2917 |
. . . . . . . . 9
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ (ℎ‘𝑥) = 0} ∈ dom
vol) |
478 | 477 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ (ℎ‘𝑥) = 0} ∈ dom
vol) |
479 | | unmbl 24141 |
. . . . . . . 8
⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0} ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∈ dom vol) |
480 | 469, 478,
479 | syl2anc 586 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ({𝑥 ∈ ℝ
∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∈ dom vol) |
481 | 480 | adantr 483 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ({𝑥 ∈ ℝ
∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∈ dom vol) |
482 | 256 | imaeq1d 5931 |
. . . . . . . . 9
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ {𝑡}) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ {𝑡})) |
483 | 258 | mptpreima 6095 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {𝑡}} |
484 | 142 | elsn 4585 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ {𝑡} ↔ (ℎ‘𝑥) = 𝑡) |
485 | | eqcom 2831 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((ℎ‘𝑥) = 𝑡 ↔ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)) |
486 | 484, 485 | bitri 277 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ {𝑡} ↔ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)) |
487 | 486 | rabbii 3476 |
. . . . . . . . . 10
⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {𝑡}} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)} |
488 | 483, 487 | eqtri 2847 |
. . . . . . . . 9
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)} |
489 | 482, 488 | syl6eq 2875 |
. . . . . . . 8
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) |
490 | 489 | ad3antlr 729 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (◡ℎ “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) |
491 | 490, 245 | eqeltrrd 2917 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
492 | | inmbl 24146 |
. . . . . 6
⊢ ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) → (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) ∈ dom vol) |
493 | 481, 491,
492 | syl2anc 586 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (({𝑥 ∈ ℝ
∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) ∈ dom vol) |
494 | | unmbl 24141 |
. . . . 5
⊢
(((({𝑥 ∈
ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol ∧
(({𝑥 ∈ ℝ ∣
¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) ∈ dom vol) → ((({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})) ∈ dom vol) |
495 | 387, 493,
494 | syl2anc 586 |
. . . 4
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ((({𝑥 ∈ ℝ
∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})) ∈ dom vol) |
496 | 161, 495 | syl 17 |
. . 3
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → ((({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})) ∈ dom vol) |
497 | 156, 496 | eqeltrid 2920 |
. 2
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∈ dom vol) |
498 | | mblvol 24134 |
. . . 4
⊢ ((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∈ dom vol → (vol‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})) = (vol*‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}))) |
499 | 497, 498 | syl 17 |
. . 3
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → (vol‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})) = (vol*‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}))) |
500 | | eldifsn 4722 |
. . . . . 6
⊢ (𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0}) ↔ (𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∧ 𝑡 ≠ 0)) |
501 | 159 | anim1d 612 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ((𝑡 ∈ ran
(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0))) |
502 | 500, 501 | syl5bi 244 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ (𝑡 ∈ (ran
(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0}) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0))) |
503 | 502 | imdistani 571 |
. . . 4
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ (𝑡 ∈ ℝ
∧ 𝑡 ≠
0))) |
504 | 130 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}}) |
505 | 470, 471 | syl6eq 2875 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}}) |
506 | 504, 505 | ineq12d 4193 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∩ (◡ℎ “ {0})) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}})) |
507 | | inrab 4278 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})} |
508 | 506, 507 | syl6eq 2875 |
. . . . . . . . 9
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∩ (◡ℎ “ {0})) = {𝑥 ∈ ℝ ∣
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})}) |
509 | 508 | ad3antlr 729 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ (𝑡 ∈ ℝ
∧ 𝑡 ≠ 0)) →
((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∩ (◡ℎ “ {0})) = {𝑥 ∈ ℝ ∣
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})}) |
510 | 146 | biimpri 230 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((ℎ‘𝑥) = 0 → ¬ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) |
511 | 510 | intnand 491 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((ℎ‘𝑥) = 0 → ¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) |
512 | 511 | iffalsed 4481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((ℎ‘𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = (ℎ‘𝑥)) |
513 | | eqtr 2844 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) = 0) → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = 0) |
514 | 512, 513 | mpancom 686 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((ℎ‘𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = 0) |
515 | 514 | adantl 484 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (ℎ‘𝑥) = 0) → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = 0) |
516 | | simpll 765 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (ℎ‘𝑥) = 0) → 𝑡 ≠ 0) |
517 | 516 | necomd 3074 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (ℎ‘𝑥) = 0) → 0 ≠ 𝑡) |
518 | 515, 517 | eqnetrd 3086 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (ℎ‘𝑥) = 0) → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ≠ 𝑡) |
519 | 518 | ex 415 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℎ‘𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ≠ 𝑡)) |
520 | | orcom 866 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((¬
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∨ ¬ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}) ↔ (¬ (ℎ‘𝑥) ∈ {0} ∨ ¬
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡})) |
521 | | ianor 978 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (¬
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}) ↔ (¬
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∨ ¬ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})) |
522 | | imor 849 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((ℎ‘𝑥) ∈ {0} → ¬
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}) ↔ (¬ (ℎ‘𝑥) ∈ {0} ∨ ¬
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡})) |
523 | 520, 521,
522 | 3bitr4i 305 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (¬
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}) ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ {0} → ¬
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡})) |
524 | 144 | necon3bbii 3066 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (¬
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ↔ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ≠ 𝑡) |
525 | 472, 524 | imbi12i 353 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((ℎ‘𝑥) ∈ {0} → ¬
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}) ↔ ((ℎ‘𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ≠ 𝑡)) |
526 | 523, 525 | bitri 277 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (¬
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}) ↔ ((ℎ‘𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ≠ 𝑡)) |
527 | 519, 526 | sylibr 236 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ¬
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})) |
528 | 527 | ralrimiva 3185 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑡 ≠ 0 → ∀𝑥 ∈ ℝ ¬
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})) |
529 | | rabeq0 4341 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})) |
530 | 528, 529 | sylibr 236 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑡 ≠ 0 → {𝑥 ∈ ℝ ∣
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})} = ∅) |
531 | 530 | ad2antll 727 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ (𝑡 ∈ ℝ
∧ 𝑡 ≠ 0)) →
{𝑥 ∈ ℝ ∣
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})} = ∅) |
532 | 509, 531 | eqtrd 2859 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ (𝑡 ∈ ℝ
∧ 𝑡 ≠ 0)) →
((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∩ (◡ℎ “ {0})) = ∅) |
533 | | imassrn 5943 |
. . . . . . . . 9
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ ran ◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) |
534 | | dfdm4 5767 |
. . . . . . . . . 10
⊢ dom
(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) = ran ◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) |
535 | 143, 129 | dmmpti 6495 |
. . . . . . . . . 10
⊢ dom
(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) = ℝ |
536 | 534, 535 | eqtr3i 2849 |
. . . . . . . . 9
⊢ ran ◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) = ℝ |
537 | 533, 536 | sseqtri 4006 |
. . . . . . . 8
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ ℝ |
538 | | reldisj 4405 |
. . . . . . . 8
⊢ ((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ ℝ → (((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∩ (◡ℎ “ {0})) = ∅ ↔ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0})))) |
539 | 537, 538 | ax-mp 5 |
. . . . . . 7
⊢ (((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∩ (◡ℎ “ {0})) = ∅ ↔ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0}))) |
540 | 532, 539 | sylib 220 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ (𝑡 ∈ ℝ
∧ 𝑡 ≠ 0)) →
(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0}))) |
541 | | ffun 6520 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ →
Fun ℎ) |
542 | | difpreima 6838 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (Fun
ℎ → (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) = ((◡ℎ “ ran ℎ) ∖ (◡ℎ “ {0}))) |
543 | 541, 542 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ →
(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) = ((◡ℎ “ ran ℎ) ∖ (◡ℎ “ {0}))) |
544 | | fdm 6525 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ →
dom ℎ =
ℝ) |
545 | 163, 544 | syl5eq 2871 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ →
(◡ℎ “ ran ℎ) = ℝ) |
546 | 545 | difeq1d 4101 |
. . . . . . . . 9
⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ →
((◡ℎ “ ran ℎ) ∖ (◡ℎ “ {0})) = (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0}))) |
547 | 543, 546 | eqtrd 2859 |
. . . . . . . 8
⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ →
(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) = (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0}))) |
548 | 27, 547 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) = (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0}))) |
549 | 548 | ad3antlr 729 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ (𝑡 ∈ ℝ
∧ 𝑡 ≠ 0)) →
(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) = (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0}))) |
550 | 540, 549 | sseqtrrd 4011 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ (𝑡 ∈ ℝ
∧ 𝑡 ≠ 0)) →
(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) |
551 | | imassrn 5943 |
. . . . . . 7
⊢ (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ⊆ ran ◡ℎ |
552 | 551, 183 | sseqtrid 4022 |
. . . . . 6
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ⊆
ℝ) |
553 | 552 | ad3antlr 729 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ (𝑡 ∈ ℝ
∧ 𝑡 ≠ 0)) →
(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ⊆
ℝ) |
554 | | i1fima 24282 |
. . . . . . . 8
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ∈ dom
vol) |
555 | | mblvol 24134 |
. . . . . . . 8
⊢ ((◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ∈ dom vol →
(vol‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) = (vol*‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})))) |
556 | 554, 555 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (vol‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) = (vol*‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})))) |
557 | | neldifsn 4728 |
. . . . . . . 8
⊢ ¬ 0
∈ (ran ℎ ∖
{0}) |
558 | | i1fima2 24283 |
. . . . . . . 8
⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1
∧ ¬ 0 ∈ (ran ℎ
∖ {0})) → (vol‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) ∈
ℝ) |
559 | 557, 558 | mpan2 689 |
. . . . . . 7
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (vol‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) ∈
ℝ) |
560 | 556, 559 | eqeltrrd 2917 |
. . . . . 6
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (vol*‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) ∈
ℝ) |
561 | 560 | ad3antlr 729 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ (𝑡 ∈ ℝ
∧ 𝑡 ≠ 0)) →
(vol*‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) ∈
ℝ) |
562 | | ovolsscl 24090 |
. . . . 5
⊢ (((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ∧ (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ⊆ ℝ ∧
(vol*‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) ∈ ℝ) →
(vol*‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ) |
563 | 550, 553,
561, 562 | syl3anc 1367 |
. . . 4
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ (𝑡 ∈ ℝ
∧ 𝑡 ≠ 0)) →
(vol*‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ) |
564 | 503, 563 | syl 17 |
. . 3
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → (vol*‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ) |
565 | 499, 564 | eqeltrd 2916 |
. 2
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → (vol‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ) |
566 | 31, 128, 497, 565 | i1fd 24285 |
1
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∈ dom
∫1) |