Theorem itg2addnclem2 33793

Description: Lemma for itg2addnc 33795. The function described is a simple function. (Contributed by Brendan Leahy, 29-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2addnc.f1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
itg2addnc.f2	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
itg2addnclem2	⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∈ dom ∫1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑣,ℎ,𝐹   𝜑,𝑣,𝑥,ℎ

Proof of Theorem itg2addnclem2

Dummy variables 𝑡 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2addnc.f2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
2		rge0ssre 12493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
3		fss 6217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
4	1, 2, 3	sylancl 697	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
5	4	ad2antrr 764	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
6	5	ffvelrnda 6523	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
7		rpre 12052	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ+ → 𝑣 ∈ ℝ)
8		3re 11306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℝ
9		3ne0 11327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ≠ 0
10	8, 9	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0)
11		redivcl 10956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
12	11	3expb 1114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0)) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
13	7, 10, 12	sylancl 697	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ+ → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
14	13	ad2antlr 765	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
15		rpcnne0 12063	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ+ → (𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ≠ 0))
16		3cn 11307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
17	16, 9	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
18		divne0 10909	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → (𝑣 / 3) ≠ 0)
19	15, 17, 18	sylancl 697	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ+ → (𝑣 / 3) ≠ 0)
20	19	ad2antlr 765	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ≠ 0)
21	6, 14, 20	redivcld 11065	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
22		reflcl 12811	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ)
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ)
24		peano2rem 10560	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
25	23, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
26	25, 14	remulcld 10282	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
27		i1ff 23662	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ℎ:ℝ⟶ℝ)
28	27	ad2antlr 765	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ℎ:ℝ⟶ℝ)
29	28	ffvelrnda 6523	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (ℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
30	26, 29	ifcld 4275	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
31		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)))
32	30, 31	fmptd 6549	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))):ℝ⟶ℝ)
33		fzfi 12985	. . . . 5 ⊢ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ∈ Fin
34		ovex 6842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ V
35		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) = (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))
36	34, 35	fnmpti 6183	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) Fn (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
37		dffn4 6283	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) Fn (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↔ (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))):(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))–onto→ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))))
38	36, 37	mpbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))):(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))–onto→ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))
39		fofi 8419	. . . . 5 ⊢ (((0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ∈ Fin ∧ (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))):(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))–onto→ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))) → ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∈ Fin)
40	33, 38, 39	mp2an 710	. . . 4 ⊢ ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∈ Fin
41		i1frn 23663	. . . . 5 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ran ℎ ∈ Fin)
42	41	ad2antlr 765	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ran ℎ ∈ Fin)
43		unfi 8394	. . . 4 ⊢ ((ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∈ Fin ∧ ran ℎ ∈ Fin) → (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ) ∈ Fin)
44	40, 42, 43	sylancr 698	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ) ∈ Fin)
45		3nn 11398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℕ
46		nnrp 12055	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+)
47	45, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℝ+
48		rpdivcl 12069	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
49	47, 48	mpan2 709	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ+ → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
50	49	ad2antlr 765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
51	1	ad2antrr 764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
52	51	ffvelrnda 6523	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
53		elrege0 12491	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
54	52, 53	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
55	54	simprd 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
56	6, 50, 55	divge0d 12125	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))
57		flge0nn0 12835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℕ0)
58	21, 56, 57	syl2anc 696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℕ0)
59	58	nn0ge0d 11566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))
60	59	adantr 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → 0 ≤ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))
61		frn 6214	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ → ran ℎ ⊆ ℝ)
62	27, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ran ℎ ⊆ ℝ)
63		i1f0rn 23668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → 0 ∈ ran ℎ)
64		elex2 3356	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ∈ ran ℎ → ∃𝑥 𝑥 ∈ ran ℎ)
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ∃𝑥 𝑥 ∈ ran ℎ)
66		n0 4074	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ran ℎ ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ ran ℎ)
67	65, 66	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ran ℎ ≠ ∅)
68		fimaxre2 11181	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ran ℎ ⊆ ℝ ∧ ran ℎ ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥)
69	62, 41, 68	syl2anc 696	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥)
70	62, 67, 69	3jca 1123	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (ran ℎ ⊆ ℝ ∧ ran ℎ ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥))
71	70	ad3antlr 769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (ran ℎ ⊆ ℝ ∧ ran ℎ ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥))
72		ffn 6206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ → ℎ Fn ℝ)
73	27, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ℎ Fn ℝ)
74		dffn3 6215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℎ Fn ℝ ↔ ℎ:ℝ⟶ran ℎ)
75	73, 74	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ℎ:ℝ⟶ran ℎ)
76	75	ad2antlr 765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ℎ:ℝ⟶ran ℎ)
77	76	ffvelrnda 6523	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (ℎ‘𝑥) ∈ ran ℎ)
78		suprub 11196	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ran ℎ ⊆ ℝ ∧ ran ℎ ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ ran ℎ) → (ℎ‘𝑥) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < ))
79	71, 77, 78	syl2anc 696	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (ℎ‘𝑥) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < ))
80		suprcl 11195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ran ℎ ⊆ ℝ ∧ ran ℎ ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(ran ℎ, ℝ, < ) ∈ ℝ)
81	62, 67, 69, 80	syl3anc 1477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → sup(ran ℎ, ℝ, < ) ∈ ℝ)
82	81	ad3antlr 769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → sup(ran ℎ, ℝ, < ) ∈ ℝ)
83		letr 10343	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ sup(ran ℎ, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < )) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < )))
84	26, 29, 82, 83	syl3anc 1477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < )) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < )))
85	25, 82, 50	lemuldivd 12134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < ) ↔ ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3))))
86		1red 10267	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
87	82, 14, 20	redivcld 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
88	23, 86, 87	lesubaddd 10836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) ↔ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
89	85, 88	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < ) ↔ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
90		peano2re 10421	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ → ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
91	87, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
92		ceige 12858	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ → ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
93	91, 92	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
94		ceicl 12856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ → -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℤ)
95	91, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℤ)
96	95	zred 11694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ)
97		letr 10343	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ ∧ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ ∧ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∧ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
98	23, 91, 96, 97	syl3anc 1477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∧ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
99	93, 98	mpan2d 712	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
100	89, 99	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < ) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
101	84, 100	syld 47	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < )) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
102	79, 101	mpan2d 712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
103	102	adantrd 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
104	103	imp 444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
105	21	flcld 12813	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ)
106	105	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ)
107		0zd 11601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → 0 ∈ ℤ)
108	95	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℤ)
109		elfz 12545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↔ (0 ≤ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∧ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))))
110	106, 107, 108, 109	syl3anc 1477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↔ (0 ≤ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∧ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))))
111	60, 104, 110	mpbir2and 995	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
112		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))
113		oveq1 6821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) → (𝑡 − 1) = ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1))
114	113	oveq1d 6829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) → ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)) = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))
115	114	eqeq2d 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)) ↔ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))))
116	115	rspcev 3449	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ∧ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) → ∃𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))
117	111, 112, 116	sylancl 697	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → ∃𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))
118		ovex 6842	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ V
119	35	elrnmpt 5527	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ V → ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))))
120	118, 119	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))
121	117, 120	sylibr 224	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))))
122		elun1 3923	. . . . . . 7 ⊢ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ))
123	121, 122	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ))
124		elun2 3924	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ ran ℎ → (ℎ‘𝑥) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ))
125	77, 124	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (ℎ‘𝑥) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ))
126	125	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → (ℎ‘𝑥) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ))
127	123, 126	ifclda 4264	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ))
128	127, 31	fmptd 6549	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))):ℝ⟶(ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ))
129		frn 6214	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))):ℝ⟶(ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ) → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ⊆ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ))
130	128, 129	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ⊆ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ))
131		ssfi 8347	. . 3 ⊢ (((ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ) ∈ Fin ∧ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ⊆ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ)) → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∈ Fin)
132	44, 130, 131	syl2anc 696	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∈ Fin)
133	31	mptpreima 5789	. . . 4 ⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}}
134		unrab 4041	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)))}
135		inrab 4042	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)}
136	135	ineq1i 3953	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))})
137		inrab 4042	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))}
138	136, 137	eqtri 2782	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))}
139		unrab 4041	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0)}
140	139	ineq1i 3953	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})
141		inrab 4042	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))}
142	140, 141	eqtri 2782	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))}
143	138, 142	uneq12i 3908	. . . . 5 ⊢ ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))})
144		eqcom 2767	. . . . . . 7 ⊢ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = 𝑡 ↔ 𝑡 = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)))
145		fvex 6363	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ‘𝑥) ∈ V
146	118, 145	ifex 4300	. . . . . . . 8 ⊢ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ V
147	146	elsn 4336	. . . . . . 7 ⊢ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ↔ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = 𝑡)
148		ianor 510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ↔ (¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ ¬ (ℎ‘𝑥) ≠ 0))
149		nne 2936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (ℎ‘𝑥) ≠ 0 ↔ (ℎ‘𝑥) = 0)
150	149	orbi2i 542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ ¬ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ↔ (¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0))
151	148, 150	bitr2i 265	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ↔ ¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0))
152	151	anbi1i 733	. . . . . . . . 9 ⊢ (((¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)) ↔ (¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)))
153	152	orbi2i 542	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))) ↔ ((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ (¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))))
154		eqif 4270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ↔ ((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ (¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))))
155	153, 154	bitr4i 267	. . . . . . 7 ⊢ (((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))) ↔ 𝑡 = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)))
156	144, 147, 155	3bitr4i 292	. . . . . 6 ⊢ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ↔ ((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))))
157	156	rabbii 3325	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)))}
158	134, 143, 157	3eqtr4ri 2793	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}} = ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}))
159	133, 158	eqtri 2782	. . 3 ⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) = ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}))
160		eldifi 3875	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0}) → 𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))))
161		frn 6214	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))):ℝ⟶ℝ → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ⊆ ℝ)
162	32, 161	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ⊆ ℝ)
163	162	sseld 3743	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) → 𝑡 ∈ ℝ))
164	160, 163	syl5 34	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0}) → 𝑡 ∈ ℝ))
165	164	imdistani 728	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ))
166		rabiun 33713	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)}
167		cnvimarndm 5644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (◡ℎ “ ran ℎ) = dom ℎ
168		iunid 4727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑡} = ran ℎ
169	168	imaeq2i 5622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (◡ℎ “ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑡}) = (◡ℎ “ ran ℎ)
170		imaiun 6667	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (◡ℎ “ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑡}) = ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡})
171	169, 170	eqtr3i 2784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (◡ℎ “ ran ℎ) = ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡})
172	167, 171	eqtr3i 2784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ dom ℎ = ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡})
173		fdm 6212	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ → dom ℎ = ℝ)
174	27, 173	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → dom ℎ = ℝ)
175	172, 174	syl5eqr 2808	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) = ℝ)
176	175	ad2antlr 765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) = ℝ)
177		rabeq 3332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) = ℝ → {𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)})
178	176, 177	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → {𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)})
179	166, 178	syl5eqr 2808	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)})
180		fniniseg 6502	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℎ Fn ℝ → (𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) = 𝑡)))
181	27, 72, 180	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) = 𝑡)))
182	181	simplbda 655	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡})) → (ℎ‘𝑥) = 𝑡)
183	182	breq2d 4816	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡})) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ↔ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡))
184	183	rabbidva 3328	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
185		inrab2 4043	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}
186		imassrn 5635	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (◡ℎ “ {𝑡}) ⊆ ran ◡ℎ
187		dfdm4 5471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ dom ℎ = ran ◡ℎ
188	187, 174	syl5eqr 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ran ◡ℎ = ℝ)
189	186, 188	syl5sseq 3794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ {𝑡}) ⊆ ℝ)
190		sseqin2 3960	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((◡ℎ “ {𝑡}) ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = (◡ℎ “ {𝑡}))
191	189, 190	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = (◡ℎ “ {𝑡}))
192		rabeq 3332	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = (◡ℎ “ {𝑡}) → {𝑥 ∈ (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
193	191, 192	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
194	185, 193	syl5eq 2806	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
195	184, 194	eqtr4d 2797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})))
196	195	ad3antlr 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})))
197	25	adantlr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
198	62	ad2antlr 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ran ℎ ⊆ ℝ)
199	198	sselda 3744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → 𝑡 ∈ ℝ)
200	199	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
201	49	ad3antlr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
202	197, 200, 201	lemuldivd 12134	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡 ↔ ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (𝑡 / (𝑣 / 3))))
203	23	adantlr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ)
204		1red 10267	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
205	13	ad3antlr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
206	19	ad3antlr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ≠ 0)
207	200, 205, 206	redivcld 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
208	203, 204, 207	lesubaddd 10836	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)))
209	6	adantlr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
210		peano2re 10421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
211	207, 210	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
212		reflcl 12811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ → (⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ)
213	211, 212	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ)
214		peano2re 10421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ → ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
215	213, 214	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
216	209, 215, 201	ltdivmuld 12136	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1) ↔ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))
217	21	adantlr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
218		flflp1 12822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))
219	217, 211, 218	syl2anc 696	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))
220	205, 215	remulcld 10282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ∈ ℝ)
221	220	rexrd 10301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ∈ ℝ*)
222		elioomnf 12481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
223	221, 222	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
224	209	biantrurd 530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
225	223, 224	bitr4d 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) ↔ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))
226	216, 219, 225	3bitr4d 300	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
227	202, 208, 226	3bitrd 294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡 ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
228	227	rabbidva 3328	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))})
229	1	feqmptd 6412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)))
230	229	cnveqd 5453	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹 = ◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)))
231	230	imaeq1d 5623	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
232		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥))
233	232	mptpreima 5789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))}
234	231, 233	syl6eq 2810	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))})
235	234	ad3antrrr 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))})
236	228, 235	eqtr4d 2797	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
237		itg2addnc.f1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
238		mbfima 23618	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) ∈ dom vol)
239	237, 4, 238	syl2anc 696	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) ∈ dom vol)
240	239	ad3antrrr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) ∈ dom vol)
241	236, 240	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol)
242	62	sseld 3743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ran ℎ → 𝑡 ∈ ℝ))
243	242	ad2antlr 765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑡 ∈ ran ℎ → 𝑡 ∈ ℝ))
244	243	imdistani 728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ))
245		i1fmbf 23661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ℎ ∈ MblFn)
246	245, 27	jca 555	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (ℎ ∈ MblFn ∧ ℎ:ℝ⟶ℝ))
247	246	ad2antlr 765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (ℎ ∈ MblFn ∧ ℎ:ℝ⟶ℝ))
248		mbfimasn 23620	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((ℎ ∈ MblFn ∧ ℎ:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (◡ℎ “ {𝑡}) ∈ dom vol)
249	248	3expa 1112	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℎ ∈ MblFn ∧ ℎ:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (◡ℎ “ {𝑡}) ∈ dom vol)
250	247, 249	sylan 489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (◡ℎ “ {𝑡}) ∈ dom vol)
251	244, 250	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → (◡ℎ “ {𝑡}) ∈ dom vol)
252		inmbl 23530	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol ∧ (◡ℎ “ {𝑡}) ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∈ dom vol)
253	241, 251, 252	syl2anc 696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∈ dom vol)
254	196, 253	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol)
255	254	ralrimiva 3104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ∀𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol)
256		finiunmbl 23532	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ran ℎ ∈ Fin ∧ ∀𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol)
257	42, 255, 256	syl2anc 696	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol)
258	179, 257	eqeltrrd 2840	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol)
259		unrab 4041	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞))}
260	27	feqmptd 6412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ℎ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)))
261	260	cnveqd 5453	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ◡ℎ = ◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)))
262	261	imaeq1d 5623	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ (-∞(,)0)) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ (-∞(,)0)))
263		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥))
264	263	mptpreima 5789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ (-∞(,)0)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0)}
265	262, 264	syl6eq 2810	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ (-∞(,)0)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0)})
266	261	imaeq1d 5623	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ (0(,)+∞)) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ (0(,)+∞)))
267	263	mptpreima 5789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ (0(,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)}
268	266, 267	syl6eq 2810	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ (0(,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)})
269	265, 268	uneq12d 3911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ((◡ℎ “ (-∞(,)0)) ∪ (◡ℎ “ (0(,)+∞))) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)}))
270	27	ffvelrnda 6523	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (ℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
271		0re 10252	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ
272		lttri2 10332	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((ℎ‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥))))
273	271, 272	mpan2 709	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ → ((ℎ‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥))))
274		ibar 526	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ → (((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥)) ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥)))))
275		andi 947	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥))) ↔ (((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) < 0) ∨ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℎ‘𝑥))))
276		0xr 10298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℝ*
277		elioomnf 12481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ∈ ℝ* → ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) < 0)))
278		elioopnf 12480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ∈ ℝ* → ((ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞) ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℎ‘𝑥))))
279	277, 278	orbi12d 748	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 ∈ ℝ* → (((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)) ↔ (((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) < 0) ∨ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℎ‘𝑥)))))
280	276, 279	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)) ↔ (((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) < 0) ∨ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℎ‘𝑥))))
281	275, 280	bitr4i 267	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥))) ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)))
282	274, 281	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ → (((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥)) ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞))))
283	273, 282	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ → ((ℎ‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞))))
284	270, 283	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℎ‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞))))
285	284	rabbidva 3328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞))})
286	259, 269, 285	3eqtr4a 2820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ((◡ℎ “ (-∞(,)0)) ∪ (◡ℎ “ (0(,)+∞))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0})
287		i1fima 23664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ (-∞(,)0)) ∈ dom vol)
288		i1fima 23664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ (0(,)+∞)) ∈ dom vol)
289		unmbl 23525	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((◡ℎ “ (-∞(,)0)) ∈ dom vol ∧ (◡ℎ “ (0(,)+∞)) ∈ dom vol) → ((◡ℎ “ (-∞(,)0)) ∪ (◡ℎ “ (0(,)+∞))) ∈ dom vol)
290	287, 288, 289	syl2anc 696	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ((◡ℎ “ (-∞(,)0)) ∪ (◡ℎ “ (0(,)+∞))) ∈ dom vol)
291	286, 290	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0} ∈ dom vol)
292	291	ad2antlr 765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0} ∈ dom vol)
293		inmbl 23530	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0} ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol)
294	258, 292, 293	syl2anc 696	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol)
295	294	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol)
296	23	recnd 10280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℂ)
297	296	adantlr 753	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℂ)
298		1cnd 10268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
299		simplr 809	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
300	13	ad3antlr 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
301	19	ad3antlr 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ≠ 0)
302	299, 300, 301	redivcld 11065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
303	302	recnd 10280	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℂ)
304	297, 298, 303	subadd2d 10623	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) = (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))))
305		eqcom 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) = (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ (𝑡 / (𝑣 / 3)) = ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1))
306		recn 10238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℂ)
307	306	ad2antlr 765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
308	25	recnd 10280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈ ℂ)
309	308	adantlr 753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈ ℂ)
310	13	recnd 10280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ+ → (𝑣 / 3) ∈ ℂ)
311	310	ad3antlr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℂ)
312	307, 309, 311, 301	divmul3d 11047	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) = ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ↔ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))))
313	305, 312	syl5bb 272	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) = (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))))
314	304, 313	bitr3d 270	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))))
315	314	rabbidva 3328	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))})
316		imaundi 5703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡𝐹 “ ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = ((◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
317	230	ad4antr 771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ◡𝐹 = ◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)))
318		zre 11593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
319	318	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
320	13	ad3antlr 769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
321	319, 320	remulcld 10282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
322	321	rexrd 10301	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ*)
323		peano2z 11630	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℤ)
324	323	zred 11694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
325	324	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
326	320, 325	remulcld 10282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ)
327	326	rexrd 10301	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ*)
328		zcn 11594	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℂ)
329	328	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℂ)
330	310	ad3antlr 769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈ ℂ)
331	329, 330	mulcomd 10273	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑣 / 3) · ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)))
332	49	ad3antlr 769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
333	318	ltp1d 11166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))
334	333	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))
335	319, 325, 332, 334	ltmul2dd 12141	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑣 / 3) · ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))
336	331, 335	eqbrtrd 4826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))
337		snunioo 12511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ* ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) → ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
338	322, 327, 336, 337	syl3anc 1477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
339	317, 338	imaeq12d 5625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (◡𝐹 “ ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
340	316, 339	syl5eqr 2808	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
341	232	mptpreima 5789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))}
342	4	ad3antrrr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
343	342	ffvelrnda 6523	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
344	343	3biant1d 1590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
345	344	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
346	318	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
347	343	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
348	49	ad4antlr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
349	346, 347, 348	lemuldivd 12134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))
350	324	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
351	347, 350, 348	ltdivmuld 12136	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ↔ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
352	351	bicomd 213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ↔ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))
353	349, 352	anbi12d 749	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
354	345, 353	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
355		elico2 12450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
356	321, 327, 355	syl2anc 696	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
357	356	adantlr 753	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
358		eqcom 2767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) = ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1))
359	21	adantlr 753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
360		flbi 12831	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) = ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
361	359, 360	sylan 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) = ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
362	358, 361	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
363	354, 357, 362	3bitr4d 300	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))))
364	363	an32s 881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))))
365	364	rabbidva 3328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))})
366	341, 365	syl5eq 2806	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))})
367	340, 366	eqtrd 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))})
368	237	ad4antr 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → 𝐹 ∈ MblFn)
369	4	ad4antr 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
370		mbfimasn 23620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
371	368, 369, 321, 370	syl3anc 1477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
372		mbfima 23618	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) → (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom vol)
373	237, 4, 372	syl2anc 696	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom vol)
374	373	ad4antr 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom vol)
375		unmbl 23525	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol ∧ (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom vol) → ((◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) ∈ dom vol)
376	371, 374, 375	syl2anc 696	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) ∈ dom vol)
377	367, 376	eqeltrrd 2840	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))} ∈ dom vol)
378		simpr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))
379	359	flcld 12813	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ)
380	379	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ)
381	378, 380	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ)
382	381	stoic1a 1846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))
383	382	an32s 881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))
384	383	ralrimiva 3104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))
385		rabeq0 4100	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))
386	384, 385	sylibr 224	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))} = ∅)
387		0mbl 23527	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ dom vol
388	386, 387	syl6eqel 2847	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))} ∈ dom vol)
389	377, 388	pm2.61dan 867	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))} ∈ dom vol)
390	315, 389	eqeltrrd 2840	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))} ∈ dom vol)
391		inmbl 23530	. . . . . 6 ⊢ ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))} ∈ dom vol) → (({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
392	295, 390, 391	syl2anc 696	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
393		rabiun 33713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)}
394		rabeq 3332	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) = ℝ → {𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)})
395	175, 394	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)})
396	393, 395	syl5eqr 2808	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)})
397	396	ad2antlr 765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)})
398	183	notbid 307	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡})) → (¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ↔ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡))
399	398	rabbidva 3328	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
400		inrab2 4043	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}
401		rabeq 3332	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = (◡ℎ “ {𝑡}) → {𝑥 ∈ (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
402	191, 401	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
403	400, 402	syl5eq 2806	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
404	399, 403	eqtr4d 2797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})))
405	404	ad3antlr 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})))
406		imaundi 5703	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (◡𝐹 “ ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) = ((◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)))
407	13, 19	jca 555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ+ → ((𝑣 / 3) ∈ ℝ ∧ (𝑣 / 3) ≠ 0))
408		redivcl 10956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝑣 / 3) ∈ ℝ ∧ (𝑣 / 3) ≠ 0) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
409	408	3expb 1114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑡 ∈ ℝ ∧ ((𝑣 / 3) ∈ ℝ ∧ (𝑣 / 3) ≠ 0)) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
410	407, 409	sylan2 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
411	410	ancoms 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑣 ∈ ℝ+ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
412	411	adantll 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
413	412, 210	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
414		peano2re 10421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
415		reflcl 12811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ → (⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ)
416	413, 414, 415	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ)
417	13	ad2antlr 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
418	416, 417	remulcld 10282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
419	418	rexrd 10301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ*)
420		pnfxr 10304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
421	420	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → +∞ ∈ ℝ*)
422		ltpnf 12167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) < +∞)
423	418, 422	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) < +∞)
424		snunioo 12511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) < +∞) → ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) = (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞))
425	419, 421, 423, 424	syl3anc 1477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) = (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞))
426	425	imaeq2d 5624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) = (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)))
427	406, 426	syl5eqr 2808	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) = (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)))
428	230	imaeq1d 5623	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)))
429	232	mptpreima 5789	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)}
430	428, 429	syl6eq 2810	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)})
431	430	ad3antrrr 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)})
432	413, 414	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
433	432	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
434		flflp1 12822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) < ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) + 1)))
435	433, 359, 434	syl2anc 696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) < ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) + 1)))
436	418	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
437		elicopnf 12482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥))))
438	436, 437	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥))))
439	343	biantrurd 530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥))))
440	416	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ)
441	49	ad3antlr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
442	440, 343, 441	lemuldivd 12134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ (⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))
443	438, 439, 442	3bitr2d 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ (⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))
444	413	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
445	359, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ)
446		1red 10267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
447	444, 445, 446	ltadd1d 10832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) < ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) + 1)))
448	435, 443, 447	3bitr4d 300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))))
449	302, 446, 445	ltaddsubd 10839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (𝑡 / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1)))
450	448, 449	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ (𝑡 / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1)))
451	445, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
452	299, 451, 441	ltdivmul2d 12137	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ↔ 𝑡 < (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))))
453	451, 300	remulcld 10282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
454	299, 453	ltnled 10396	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 < (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ↔ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡))
455	450, 452, 454	3bitrd 294	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡))
456	455	rabbidva 3328	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
457	427, 431, 456	3eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
458	237	ad3antrrr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ MblFn)
459		mbfimasn 23620	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
460	458, 342, 418, 459	syl3anc 1477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
461		mbfima 23618	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom vol)
462	237, 4, 461	syl2anc 696	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom vol)
463	462	ad3antrrr 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom vol)
464		unmbl 23525	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol ∧ (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom vol) → ((◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) ∈ dom vol)
465	460, 463, 464	syl2anc 696	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) ∈ dom vol)
466	457, 465	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol)
467	244, 466	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol)
468		inmbl 23530	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol ∧ (◡ℎ “ {𝑡}) ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∈ dom vol)
469	467, 251, 468	syl2anc 696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∈ dom vol)
470	405, 469	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol)
471	470	ralrimiva 3104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ∀𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol)
472		finiunmbl 23532	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ran ℎ ∈ Fin ∧ ∀𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol)
473	42, 471, 472	syl2anc 696	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol)
474	397, 473	eqeltrrd 2840	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol)
475	261	imaeq1d 5623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ {0}) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ {0}))
476	263	mptpreima 5789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}}
477	145	elsn 4336	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ {0} ↔ (ℎ‘𝑥) = 0)
478	477	rabbii 3325	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}
479	476, 478	eqtri 2782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}
480	475, 479	syl6eq 2810	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0})
481		i1fima 23664	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ {0}) ∈ dom vol)
482	480, 481	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0} ∈ dom vol)
483	482	ad2antlr 765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0} ∈ dom vol)
484		unmbl 23525	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0} ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∈ dom vol)
485	474, 483, 484	syl2anc 696	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∈ dom vol)
486	485	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∈ dom vol)
487	261	imaeq1d 5623	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ {𝑡}) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ {𝑡}))
488	263	mptpreima 5789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {𝑡}}
489	145	elsn 4336	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ {𝑡} ↔ (ℎ‘𝑥) = 𝑡)
490		eqcom 2767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℎ‘𝑥) = 𝑡 ↔ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))
491	489, 490	bitri 264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ {𝑡} ↔ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))
492	491	rabbii 3325	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {𝑡}} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}
493	488, 492	eqtri 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}
494	487, 493	syl6eq 2810	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})
495	494	ad3antlr 769	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (◡ℎ “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})
496	495, 250	eqeltrrd 2840	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol)
497		inmbl 23530	. . . . . 6 ⊢ ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) → (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) ∈ dom vol)
498	486, 496, 497	syl2anc 696	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) ∈ dom vol)
499		unmbl 23525	. . . . 5 ⊢ (((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol ∧ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) ∈ dom vol) → ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})) ∈ dom vol)
500	392, 498, 499	syl2anc 696	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})) ∈ dom vol)
501	165, 500	syl 17	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})) ∈ dom vol)
502	159, 501	syl5eqel 2843	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∈ dom vol)
503		mblvol 23518	. . . 4 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∈ dom vol → (vol‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})) = (vol*‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})))
504	502, 503	syl 17	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → (vol‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})) = (vol*‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})))
505		eldifsn 4462	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0}) ↔ (𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∧ 𝑡 ≠ 0))
506	163	anim1d 589	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ((𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)))
507	505, 506	syl5bi 232	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0}) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)))
508	507	imdistani 728	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)))
509	133	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}})
510	475, 476	syl6eq 2810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}})
511	509, 510	ineq12d 3958	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∩ (◡ℎ “ {0})) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}}))
512		inrab 4042	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})}
513	511, 512	syl6eq 2810	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∩ (◡ℎ “ {0})) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})})
514	513	ad3antlr 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → ((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∩ (◡ℎ “ {0})) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})})
515	149	biimpri 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((ℎ‘𝑥) = 0 → ¬ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)
516	515	intnand 1000	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℎ‘𝑥) = 0 → ¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0))
517	516	iffalsed 4241	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((ℎ‘𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = (ℎ‘𝑥))
518		eqtr 2779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) = 0) → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = 0)
519	517, 518	mpancom 706	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℎ‘𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = 0)
520	519	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (ℎ‘𝑥) = 0) → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = 0)
521		simpll 807	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (ℎ‘𝑥) = 0) → 𝑡 ≠ 0)
522	521	necomd 2987	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (ℎ‘𝑥) = 0) → 0 ≠ 𝑡)
523	520, 522	eqnetrd 2999	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (ℎ‘𝑥) = 0) → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ≠ 𝑡)
524	523	ex 449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℎ‘𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ≠ 𝑡))
525		orcom 401	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((¬ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∨ ¬ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}) ↔ (¬ (ℎ‘𝑥) ∈ {0} ∨ ¬ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}))
526		ianor 510	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}) ↔ (¬ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∨ ¬ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}))
527		imor 427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ℎ‘𝑥) ∈ {0} → ¬ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}) ↔ (¬ (ℎ‘𝑥) ∈ {0} ∨ ¬ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}))
528	525, 526, 527	3bitr4i 292	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}) ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ {0} → ¬ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}))
529	147	necon3bbii 2979	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ↔ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ≠ 𝑡)
530	477, 529	imbi12i 339	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℎ‘𝑥) ∈ {0} → ¬ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}) ↔ ((ℎ‘𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ≠ 𝑡))
531	528, 530	bitri 264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}) ↔ ((ℎ‘𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ≠ 𝑡))
532	524, 531	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ¬ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}))
533	532	ralrimiva 3104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ≠ 0 → ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}))
534		rabeq0 4100	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}))
535	533, 534	sylibr 224	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ≠ 0 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})} = ∅)
536	535	ad2antll 767	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})} = ∅)
537	514, 536	eqtrd 2794	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → ((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∩ (◡ℎ “ {0})) = ∅)
538		imassrn 5635	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ ran ◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)))
539		dfdm4 5471	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) = ran ◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)))
540	146, 31	dmmpti 6184	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) = ℝ
541	539, 540	eqtr3i 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ ran ◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) = ℝ
542	538, 541	sseqtri 3778	. . . . . . . 8 ⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ ℝ
543		reldisj 4163	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ ℝ → (((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∩ (◡ℎ “ {0})) = ∅ ↔ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0}))))
544	542, 543	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∩ (◡ℎ “ {0})) = ∅ ↔ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0})))
545	537, 544	sylib 208	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0})))
546		ffun 6209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ → Fun ℎ)
547		difpreima 6507	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Fun ℎ → (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) = ((◡ℎ “ ran ℎ) ∖ (◡ℎ “ {0})))
548	546, 547	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ → (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) = ((◡ℎ “ ran ℎ) ∖ (◡ℎ “ {0})))
549	167, 173	syl5eq 2806	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ → (◡ℎ “ ran ℎ) = ℝ)
550	549	difeq1d 3870	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ → ((◡ℎ “ ran ℎ) ∖ (◡ℎ “ {0})) = (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0})))
551	548, 550	eqtrd 2794	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ → (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) = (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0})))
552	27, 551	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) = (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0})))
553	552	ad3antlr 769	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) = (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0})))
554	545, 553	sseqtr4d 3783	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})))
555		imassrn 5635	. . . . . . 7 ⊢ (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ⊆ ran ◡ℎ
556	555, 188	syl5sseq 3794	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ⊆ ℝ)
557	556	ad3antlr 769	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ⊆ ℝ)
558		i1fima 23664	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ∈ dom vol)
559		mblvol 23518	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ∈ dom vol → (vol‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) = (vol*‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))))
560	558, 559	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (vol‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) = (vol*‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))))
561		neldifsn 4467	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 0 ∈ (ran ℎ ∖ {0})
562		i1fima2 23665	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ (ran ℎ ∖ {0})) → (vol‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) ∈ ℝ)
563	561, 562	mpan2 709	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (vol‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) ∈ ℝ)
564	560, 563	eqeltrrd 2840	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (vol*‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) ∈ ℝ)
565	564	ad3antlr 769	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (vol*‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) ∈ ℝ)
566		ovolsscl 23474	. . . . 5 ⊢ (((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ∧ (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) ∈ ℝ) → (vol*‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ)
567	554, 557, 565, 566	syl3anc 1477	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (vol*‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ)
568	508, 567	syl 17	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → (vol*‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ)
569	504, 568	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → (vol‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ)
570	32, 132, 502, 569	i1fd 23667	1 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∈ dom ∫1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632  ∃wex 1853   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050  ∃wrex 3051  {crab 3054  Vcvv 3340   ∖ cdif 3712   ∪ cun 3713   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058  ifcif 4230  {csn 4321  ∪ ciun 4672   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  ^◡ccnv 5265  dom cdm 5266  ran crn 5267   “ cima 5269  Fun wfun 6043   Fn wfn 6044  ⟶wf 6045  –onto→wfo 6047  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  Fincfn 8123  supcsup 8513  ℂcc 10146  ℝcr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153  +∞cpnf 10283  -∞cmnf 10284  ℝ^*cxr 10285   < clt 10286   ≤ cle 10287   − cmin 10478  -cneg 10479   / cdiv 10896  ℕcn 11232  3c3 11283  ℕ₀cn0 11504  ℤcz 11589  ℝ⁺crp 12045  (,)cioo 12388  [,)cico 12390  ...cfz 12539  ⌊cfl 12805  vol*covol 23451  volcvol 23452  MblFncmbf 23602  ∫₁citg1 23603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-sum 14636  df-rest 16305  df-topgen 16326  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-top 20921  df-topon 20938  df-bases 20972  df-cmp 21412  df-ovol 23453  df-vol 23454  df-mbf 23607  df-itg1 23608

This theorem is referenced by:  itg2addnclem3  33794