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Theorem itg2addnclem3 33593
Description: Lemma incomprehensible in isolation split off to shorten proof of itg2addnc 33594. (Contributed by Brendan Leahy, 11-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2addnc.f1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
itg2addnc.f2 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2addnc.f3 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
itg2addnc.g2 (𝜑𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2addnc.g3 (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
itg2addnclem3 (𝜑 → (∃ ∈ dom ∫1(∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘𝑟 ≤ (𝐹𝑓 + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1)) → ∃𝑡𝑢(∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢))))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑢,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,,𝑐,𝑑,𝐹   𝐺,𝑠,𝑡,𝑢,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,,𝑐,𝑑   𝜑,𝑠,𝑡,𝑢,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,,𝑐,𝑑

Proof of Theorem itg2addnclem3
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2addnc.f1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
2 itg2addnc.f2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
31, 2itg2addnclem2 33592 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) ∈ dom ∫1)
43adantrr 753 . . . . . . 7 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘𝑟 ≤ (𝐹𝑓 + 𝐺))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) ∈ dom ∫1)
5 simplr 807 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∈ dom ∫1)
6 i1fsub 23520 . . . . . . . . 9 (( ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) ∈ dom ∫1) → (𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) ∈ dom ∫1)
75, 3, 6syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) ∈ dom ∫1)
87adantrr 753 . . . . . . 7 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘𝑟 ≤ (𝐹𝑓 + 𝐺))) → (𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) ∈ dom ∫1)
9 3nn 11224 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℕ
10 nnrp 11880 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+)
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℝ+
12 rpdivcl 11894 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
1311, 12mpan2 707 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
1413adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
15 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
1615oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3)) = ((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)))
1716fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑧 → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) = (⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))))
1817oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑧 → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) = ((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1))
1918oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑧 → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) = (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)))
20 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥) = (𝑧))
2119, 20breq12d 4698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑧 → ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ↔ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧)))
2220neeq1d 2882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑧) ≠ 0))
2321, 22anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑧 → (((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ↔ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0)))
2423, 19, 20ifbieq12d 4146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧 → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)))
25 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))
26 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ∈ V
27 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧) ∈ V
2826, 27ifex 4189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) ∈ V
2924, 25, 28fvmpt 6321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)))
3029eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℝ → (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0 ↔ if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = 0))
3129oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℝ → (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)) = (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3)))
3230, 31ifbieq2d 4144 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℝ → if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) = if(if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = 0, 0, (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3))))
3332adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) = if(if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = 0, 0, (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3))))
34 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 = if(if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = 0, 0, (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3))) → (0 ≤ (𝐹𝑧) ↔ if(if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = 0, 0, (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐹𝑧)))
35 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . 14 ((if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3)) = if(if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = 0, 0, (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3))) → ((if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧) ↔ if(if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = 0, 0, (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐹𝑧)))
362ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
3736ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹𝑧) ∈ (0[,)+∞))
38 elrege0 12316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹𝑧) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑧)))
3937, 38sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑧)))
4039simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹𝑧))
4140adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = 0) → 0 ≤ (𝐹𝑧))
42 df-ne 2824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) ≠ 0 ↔ ¬ if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = 0)
43 neeq1 2885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≠ 0 ↔ if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) ≠ 0))
44 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) = (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3)))
4544breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) → (((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧) ↔ (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧)))
4643, 45imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) → (((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≠ 0 → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧)) ↔ (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) ≠ 0 → (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧))))
47 neeq1 2885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) → ((𝑧) ≠ 0 ↔ if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) ≠ 0))
48 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) → ((𝑧) + (𝑦 / 3)) = (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3)))
4948breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) → (((𝑧) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧) ↔ (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧)))
5047, 49imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) → (((𝑧) ≠ 0 → ((𝑧) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧)) ↔ (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) ≠ 0 → (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧))))
51 rge0ssre 12318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
5251, 37sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
5313ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
5452, 53rerpdivcld 11941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
55 reflcl 12637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) ∈ ℝ)
56 peano2rem 10386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) ∈ ℝ → ((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
5754, 55, 563syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
5813rpred 11910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 / 3) ∈ ℝ)
5958ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ)
6057, 59remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
61 peano2rem 10386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℝ → (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) ∈ ℝ)
6254, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) ∈ ℝ)
6362, 59remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
6454, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) ∈ ℝ)
65 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
66 flle 12640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) ≤ ((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)))
6754, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) ≤ ((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)))
6864, 54, 65, 67lesub1dd 10681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) ≤ (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1))
6957, 62, 53lemul1d 11953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) ≤ (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) ↔ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3))))
7068, 69mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3)))
7160, 63, 59, 70leadd1dd 10679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ≤ (((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)))
7254recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℂ)
73 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ ℂ
74 subcl 10318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) ∈ ℂ)
7572, 73, 74sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) ∈ ℂ)
7673a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
7753rpcnd 11912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 / 3) ∈ ℂ)
7875, 76, 77adddird 10103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) + 1) · (𝑦 / 3)) = (((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3)) + (1 · (𝑦 / 3))))
79 npcan 10328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) + 1) = ((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)))
8072, 73, 79sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) + 1) = ((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)))
8180oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) + 1) · (𝑦 / 3)) = (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) · (𝑦 / 3)))
8277mulid2d 10096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (1 · (𝑦 / 3)) = (𝑦 / 3))
8382oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3)) + (1 · (𝑦 / 3))) = (((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)))
8478, 81, 833eqtr3rd 2694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) = (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) · (𝑦 / 3)))
8552recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
8653rpne0d 11915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 / 3) ≠ 0)
8785, 77, 86divcan1d 10840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) · (𝑦 / 3)) = (𝐹𝑧))
8884, 87eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) = (𝐹𝑧))
8971, 88breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧))
9089adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0)) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧))
9190a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0)) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≠ 0 → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧)))
92 ianor 508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (¬ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0) ↔ (¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∨ ¬ (𝑧) ≠ 0))
9392anbi1i 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((¬ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑧) ≠ 0) ↔ ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∨ ¬ (𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑧) ≠ 0))
94 oranabs 919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∨ ¬ (𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑧) ≠ 0) ↔ (¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0))
9593, 94bitri 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((¬ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑧) ≠ 0) ↔ (¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0))
96 i1ff 23488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ( ∈ dom ∫1:ℝ⟶ℝ)
9796ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → :ℝ⟶ℝ)
9897ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧) ∈ ℝ)
9998, 59readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧) + (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
10099adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧)) → ((𝑧) + (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
10152adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧)) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
10260, 59readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
103102adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧)) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
10498adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧)) → (𝑧) ∈ ℝ)
10560adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧)) → (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
10658ad3antlr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧)) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ)
10798, 60ltnled 10222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧) < (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ↔ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧)))
108107biimpar 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧)) → (𝑧) < (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)))
109104, 105, 106, 108ltadd1dd 10676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧)) → ((𝑧) + (𝑦 / 3)) < ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)))
11089adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧)) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧))
111100, 103, 101, 109, 110ltletrd 10235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧)) → ((𝑧) + (𝑦 / 3)) < (𝐹𝑧))
112100, 101, 111ltled 10223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧)) → ((𝑧) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧))
113112adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (¬ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0)) → ((𝑧) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧))
11495, 113sylan2b 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (¬ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0) ∧ (𝑧) ≠ 0)) → ((𝑧) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧))
115114expr 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0)) → ((𝑧) ≠ 0 → ((𝑧) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧)))
11646, 50, 91, 115ifbothda 4156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) ≠ 0 → (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧)))
11742, 116syl5bir 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (¬ if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = 0 → (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧)))
118117imp 444 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = 0) → (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐹𝑧))
11934, 35, 41, 118ifbothda 4156 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = 0, 0, (if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐹𝑧))
12033, 119eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐹𝑧))
121120ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ ℝ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐹𝑧))
122 reex 10065 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ V
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ℝ ∈ V)
124 c0ex 10072 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
125 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)) ∈ V
126124, 125ifex 4189 . . . . . . . . . . . . 13 if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ∈ V
127126a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ∈ V)
128 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))))
1292feqmptd 6288 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑧)))
130129ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑧)))
131123, 127, 37, 128, 130ofrfval2 6957 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘𝑟𝐹 ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐹𝑧)))
132121, 131mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘𝑟𝐹)
133 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = (𝑦 / 3) → (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐) = (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))
134133ifeq2d 4138 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = (𝑦 / 3) → if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐)) = if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3))))
135134mpteq2dv 4778 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = (𝑦 / 3) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))))
136135breq1d 4695 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = (𝑦 / 3) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘𝑟𝐹))
137136rspcev 3340 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 / 3) ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘𝑟𝐹) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹)
13814, 132, 137syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹)
139138adantrr 753 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘𝑟 ≤ (𝐹𝑓 + 𝐺))) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹)
14013ad2antrl 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘𝑟 ≤ (𝐹𝑓 + 𝐺))) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
141 ffn 6083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (:ℝ⟶ℝ → Fn ℝ)
14296, 141syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ( ∈ dom ∫1 Fn ℝ)
143142ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → Fn ℝ)
144 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ∈ V
145 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥) ∈ V
146144, 145ifex 4189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)) ∈ V
147146, 25fnmpti 6060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) Fn ℝ
148147a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) Fn ℝ)
149 inidm 3855 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
150 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧) = (𝑧))
15129adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)))
152143, 148, 123, 123, 149, 150, 151ofval 6948 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))))
153152eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0 ↔ ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0))
154152oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)) = (((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3)))
155153, 154ifbieq2d 4144 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) = if(((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0, 0, (((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3))))
156155adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) → if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) = if(((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0, 0, (((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3))))
157 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 = if(((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0, 0, (((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3))) → (0 ≤ (𝐺𝑧) ↔ if(((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0, 0, (((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺𝑧)))
158 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3)) = if(((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0, 0, (((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3))) → ((((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧) ↔ if(((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0, 0, (((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺𝑧)))
159 itg2addnc.g2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
160159ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
161160ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐺𝑧) ∈ (0[,)+∞))
162 elrege0 12316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺𝑧) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐺𝑧)))
163161, 162sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐺𝑧)))
164163simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐺𝑧))
165164ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) ∧ ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0) → 0 ≤ (𝐺𝑧))
166 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) → ((𝑧) − (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) = ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))))
167166oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) → (((𝑧) − (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) = (((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3)))
168167breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) → ((((𝑧) − (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧) ↔ (((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧)))
169 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) → ((𝑧) − (𝑧)) = ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))))
170169oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) → (((𝑧) − (𝑧)) + (𝑦 / 3)) = (((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3)))
171170breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧) = if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) → ((((𝑧) − (𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧) ↔ (((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧)))
172 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧) = 0 → (𝑧) = 0)
173 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0) → (𝑧) ≠ 0)
174173necon2bi 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑧) = 0 → ¬ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0))
175 iffalse 4128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (¬ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0) → if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = (𝑧))
176174, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = (𝑧))
177176, 172eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧)) = 0)
178172, 177oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧) = 0 → ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = (0 − 0))
179 0m0e0 11168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0 − 0) = 0
180178, 179syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧) = 0 → ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0)
181180con3i 150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (¬ ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0 → ¬ (𝑧) = 0)
182 iffalse 4128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (¬ (𝑧) = 0 → if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) = ((𝑧) + 𝑦))
183182breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (¬ (𝑧) = 0 → (if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) ↔ ((𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))))
184181, 183syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (¬ ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0 → (if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) ↔ ((𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))))
185184adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0) → (if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) ↔ ((𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))))
18698recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧) ∈ ℂ)
18760recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ∈ ℂ)
188186, 187, 77subsubd 10458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧) − ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) = (((𝑧) − (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)))
189188adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) → ((𝑧) − ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) = (((𝑧) − (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)))
19060, 59resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
191 rpre 11877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
192191ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
193190, 192readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦) ∈ ℝ)
19451, 161sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐺𝑧) ∈ ℝ)
195 1re 10077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1 ∈ ℝ
196195, 195readdcli 10091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (1 + 1) ∈ ℝ
197 resubcl 10383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℝ ∧ (1 + 1) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) ∈ ℝ)
19854, 196, 197sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) ∈ ℝ)
199198, 59remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
200 peano2re 10247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) ∈ ℝ → ((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) ∈ ℝ)
20164, 200syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) ∈ ℝ)
202 resubcl 10383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) ∈ ℝ ∧ (1 + 1) ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) ∈ ℝ)
203201, 196, 202sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) ∈ ℝ)
204203, 59remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
20558, 191resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((𝑦 / 3) − 𝑦) ∈ ℝ)
206205ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 / 3) − 𝑦) ∈ ℝ)
207196a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (1 + 1) ∈ ℝ)
208 fllep1 12642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℝ → ((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) ≤ ((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1))
20954, 208syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) ≤ ((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1))
21054, 201, 207, 209lesub1dd 10681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) ≤ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)))
211198, 203, 53lemul1d 11953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) ≤ (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) ↔ ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) ≤ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3))))
212210, 211mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) ≤ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)))
213199, 204, 206, 212lesub1dd 10681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) − ((𝑦 / 3) − 𝑦)) ≤ (((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) − ((𝑦 / 3) − 𝑦)))
21473, 73addcli 10082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (1 + 1) ∈ ℂ
215214negcli 10387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 -(1 + 1) ∈ ℂ
216215a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -(1 + 1) ∈ ℂ)
21772, 216, 77adddird 10103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) + -(1 + 1)) · (𝑦 / 3)) = ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) · (𝑦 / 3)) + (-(1 + 1) · (𝑦 / 3))))
218 negsub 10367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) ∈ ℂ ∧ (1 + 1) ∈ ℂ) → (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) + -(1 + 1)) = (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)))
21972, 214, 218sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) + -(1 + 1)) = (((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)))
220219oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) + -(1 + 1)) · (𝑦 / 3)) = ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)))
221 df-2 11117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2 = (1 + 1)
222221negeqi 10312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 -2 = -(1 + 1)
223222oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (-2 · (𝑦 / 3)) = (-(1 + 1) · (𝑦 / 3))
224 2cn 11129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2 ∈ ℂ
22513rpcnd 11912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 / 3) ∈ ℂ)
226 mulneg1 10504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑦 / 3) ∈ ℂ) → (-2 · (𝑦 / 3)) = -(2 · (𝑦 / 3)))
227224, 225, 226sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑦 ∈ ℝ+ → (-2 · (𝑦 / 3)) = -(2 · (𝑦 / 3)))
228223, 227syl5eqr 2699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑦 ∈ ℝ+ → (-(1 + 1) · (𝑦 / 3)) = -(2 · (𝑦 / 3)))
229228ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-(1 + 1) · (𝑦 / 3)) = -(2 · (𝑦 / 3)))
23087, 229oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) · (𝑦 / 3)) + (-(1 + 1) · (𝑦 / 3))) = ((𝐹𝑧) + -(2 · (𝑦 / 3))))
231217, 220, 2303eqtr3d 2693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) = ((𝐹𝑧) + -(2 · (𝑦 / 3))))
232 rpcn 11879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℂ)
233232, 225negsubdi2d 10446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑦 ∈ ℝ+ → -(𝑦 − (𝑦 / 3)) = ((𝑦 / 3) − 𝑦))
234 3cn 11133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3 ∈ ℂ
235 3ne0 11153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3 ≠ 0
236 divcan2 10731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (3 · (𝑦 / 3)) = 𝑦)
237234, 235, 236mp3an23 1456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑦 ∈ ℂ → (3 · (𝑦 / 3)) = 𝑦)
238232, 237syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑦 ∈ ℝ+ → (3 · (𝑦 / 3)) = 𝑦)
239225mulid2d 10096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 · (𝑦 / 3)) = (𝑦 / 3))
240238, 239oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((3 · (𝑦 / 3)) − (1 · (𝑦 / 3))) = (𝑦 − (𝑦 / 3)))
241 3m1e2 11175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (3 − 1) = 2
242241oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((3 − 1) · (𝑦 / 3)) = (2 · (𝑦 / 3))
243 subdir 10502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝑦 / 3) ∈ ℂ) → ((3 − 1) · (𝑦 / 3)) = ((3 · (𝑦 / 3)) − (1 · (𝑦 / 3))))
244234, 73, 243mp3an12 1454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑦 / 3) ∈ ℂ → ((3 − 1) · (𝑦 / 3)) = ((3 · (𝑦 / 3)) − (1 · (𝑦 / 3))))
245225, 244syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((3 − 1) · (𝑦 / 3)) = ((3 · (𝑦 / 3)) − (1 · (𝑦 / 3))))
246242, 245syl5reqr 2700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((3 · (𝑦 / 3)) − (1 · (𝑦 / 3))) = (2 · (𝑦 / 3)))
247240, 246eqtr3d 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 − (𝑦 / 3)) = (2 · (𝑦 / 3)))
248247negeqd 10313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑦 ∈ ℝ+ → -(𝑦 − (𝑦 / 3)) = -(2 · (𝑦 / 3)))
249233, 248eqtr3d 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((𝑦 / 3) − 𝑦) = -(2 · (𝑦 / 3)))
250249ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑦 / 3) − 𝑦) = -(2 · (𝑦 / 3)))
251231, 250oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) − ((𝑦 / 3) − 𝑦)) = (((𝐹𝑧) + -(2 · (𝑦 / 3))) − -(2 · (𝑦 / 3))))
252 rpcn 11879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑦 / 3) ∈ ℝ+ → (𝑦 / 3) ∈ ℂ)
253 mulcl 10058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑦 / 3) ∈ ℂ) → (2 · (𝑦 / 3)) ∈ ℂ)
254224, 252, 253sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑦 / 3) ∈ ℝ+ → (2 · (𝑦 / 3)) ∈ ℂ)
25513, 254syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑦 ∈ ℝ+ → (2 · (𝑦 / 3)) ∈ ℂ)
256255negcld 10417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑦 ∈ ℝ+ → -(2 · (𝑦 / 3)) ∈ ℂ)
257256ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -(2 · (𝑦 / 3)) ∈ ℂ)
25885, 257pncand 10431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑧) + -(2 · (𝑦 / 3))) − -(2 · (𝑦 / 3))) = (𝐹𝑧))
259251, 258eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3)) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) − ((𝑦 / 3) − 𝑦)) = (𝐹𝑧))
26064recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) ∈ ℂ)
261 peano2cn 10246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) ∈ ℂ → ((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) ∈ ℂ)
262 subsub4 10352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − 1) − 1) = (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)))
26373, 73, 262mp3an23 1456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) ∈ ℂ → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − 1) − 1) = (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)))
264260, 261, 2633syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − 1) − 1) = (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)))
265 pncan 10325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − 1) = (⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))))
266260, 73, 265sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − 1) = (⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))))
267266oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − 1) − 1) = ((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1))
268264, 267eqtr3d 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) = ((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1))
269268oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) = (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)))
270269oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) − ((𝑦 / 3) − 𝑦)) = ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − ((𝑦 / 3) − 𝑦)))
271192recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
272187, 77, 271subsubd 10458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − ((𝑦 / 3) − 𝑦)) = (((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦))
273270, 272eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) + 1) − (1 + 1)) · (𝑦 / 3)) − ((𝑦 / 3) − 𝑦)) = (((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦))
274213, 259, 2733brtr3d 4716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹𝑧) ≤ (((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦))
27552, 193, 194, 274leadd1dd 10679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) ≤ ((((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦) + (𝐺𝑧)))
276194recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
277190recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) ∈ ℂ)
278232ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
279276, 277, 278addassd 10100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦) = ((𝐺𝑧) + (((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦)))
280277, 278addcld 10097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦) ∈ ℂ)
281276, 280addcomd 10276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑧) + (((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦)) = ((((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦) + (𝐺𝑧)))
282279, 281eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦) = ((((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)) + 𝑦) + (𝐺𝑧)))
283275, 282breqtrrd 4713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) ≤ (((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦))
28498, 192readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧) + 𝑦) ∈ ℝ)
28552, 194readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) ∈ ℝ)
286194, 190readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) ∈ ℝ)
287286, 192readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦) ∈ ℝ)
288 letr 10169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑧) + 𝑦) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) ∈ ℝ ∧ (((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦) ∈ ℝ) → ((((𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) ∧ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) ≤ (((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦)) → ((𝑧) + 𝑦) ≤ (((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦)))
289284, 285, 287, 288syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) ∧ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) ≤ (((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦)) → ((𝑧) + 𝑦) ≤ (((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦)))
290283, 289mpan2d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) → ((𝑧) + 𝑦) ≤ (((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦)))
291290imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) → ((𝑧) + 𝑦) ≤ (((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦))
29298, 190, 194lesubaddd 10662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝑧) − ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺𝑧) ↔ (𝑧) ≤ ((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3)))))
29398, 286, 192leadd1d 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧) ≤ ((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) ↔ ((𝑧) + 𝑦) ≤ (((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦)))
294292, 293bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝑧) − ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺𝑧) ↔ ((𝑧) + 𝑦) ≤ (((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦)))
295294adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) → (((𝑧) − ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺𝑧) ↔ ((𝑧) + 𝑦) ≤ (((𝐺𝑧) + ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) + 𝑦)))
296291, 295mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) → ((𝑧) − ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) − (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺𝑧))
297189, 296eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) → (((𝑧) − (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧))
298297ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) → (((𝑧) − (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧)))
299298adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0) → (((𝑧) + 𝑦) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) → (((𝑧) − (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧)))
300185, 299sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0) → (if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) → (((𝑧) − (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧)))
301300imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0) ∧ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) → (((𝑧) − (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧))
302301an32s 863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) ∧ ¬ ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0) → (((𝑧) − (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧))
303302adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) ∧ ¬ ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0)) → (((𝑧) − (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧))
304175oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0) → ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = ((𝑧) − (𝑧)))
305186subidd 10418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧) − (𝑧)) = 0)
306305adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) → ((𝑧) − (𝑧)) = 0)
307304, 306sylan9eqr 2707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) ∧ ¬ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0)) → ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0)
308307pm2.24d 147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) ∧ ¬ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0)) → (¬ ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0 → (((𝑧) − (𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧)))
309308imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) ∧ ¬ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0)) ∧ ¬ ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0) → (((𝑧) − (𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧))
310309an32s 863 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) ∧ ¬ ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0) ∧ ¬ ((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0)) → (((𝑧) − (𝑧)) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧))
311168, 171, 303, 310ifbothda 4156 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) ∧ ¬ ((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0) → (((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3)) ≤ (𝐺𝑧))
312157, 158, 165, 311ifbothda 4156 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) → if(((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) = 0, 0, (((𝑧) − if(((((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑧) ∧ (𝑧) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑧) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑧))) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺𝑧))
313156, 312eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))) → if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺𝑧))
314313ex 449 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) → if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺𝑧)))
315314ralimdva 2991 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ ℝ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) → ∀𝑧 ∈ ℝ if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺𝑧)))
316122a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ∈ V)
317 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧) + 𝑦) ∈ V
318124, 317ifex 4189 . . . . . . . . . . . . . 14 if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ∈ V
319318a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ∈ V)
3202ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹𝑧) ∈ (0[,)+∞))
32151, 320sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
322159ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (𝐺𝑧) ∈ (0[,)+∞))
32351, 322sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (𝐺𝑧) ∈ ℝ)
324321, 323readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧)) ∈ ℝ)
325 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))))
326159feqmptd 6288 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝐺𝑧)))
327316, 320, 322, 129, 326offval2 6956 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹𝑓 + 𝐺) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))))
328316, 319, 324, 325, 327ofrfval2 6957 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘𝑟 ≤ (𝐹𝑓 + 𝐺) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))))
329328ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘𝑟 ≤ (𝐹𝑓 + 𝐺) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑧) + (𝐺𝑧))))
330 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)) ∈ V
331124, 330ifex 4189 . . . . . . . . . . . . . 14 if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ∈ V
332331a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ∈ V)
333 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))))
334316, 332, 322, 333, 326ofrfval2 6957 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘𝑟𝐺 ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺𝑧)))
335334ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘𝑟𝐺 ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))) ≤ (𝐺𝑧)))
336315, 329, 3353imtr4d 283 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘𝑟 ≤ (𝐹𝑓 + 𝐺) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘𝑟𝐺))
337336impr 648 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘𝑟 ≤ (𝐹𝑓 + 𝐺))) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘𝑟𝐺)
338 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = (𝑦 / 3) → (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑) = (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))
339338ifeq2d 4138 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = (𝑦 / 3) → if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑)) = if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3))))
340339mpteq2dv 4778 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = (𝑦 / 3) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))))
341340breq1d 4695 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = (𝑦 / 3) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘𝑟𝐺))
342341rspcev 3340 . . . . . . . . 9 (((𝑦 / 3) ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + (𝑦 / 3)))) ∘𝑟𝐺) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺)
343140, 337, 342syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘𝑟 ≤ (𝐹𝑓 + 𝐺))) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺)
34436ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))
34551, 344sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
34613ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
347345, 346rerpdivcld 11941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
348 reflcl 12637 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3)) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) ∈ ℝ)
349 peano2rem 10386 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) ∈ ℝ → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
350347, 348, 3493syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
35158ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ)
352350, 351remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ∈ ℝ)
35397ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥) ∈ ℝ)
354352, 353ifcld 4164 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)) ∈ ℝ)
355354recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)) ∈ ℂ)
356353recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥) ∈ ℂ)
357355, 356pncan3d 10433 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)) + ((𝑥) − if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) = (𝑥))
358357mpteq2dva 4777 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)) + ((𝑥) − if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)))
359353, 354resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥) − if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) ∈ ℝ)
360 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))
36196feqmptd 6288 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ∈ dom ∫1 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)))
362361ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)))
363123, 353, 354, 362, 360offval2 6956 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥) − if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))
364123, 354, 359, 360, 363offval2 6956 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) ∘𝑓 + (𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)) + ((𝑥) − if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))))
365358, 364, 3623eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) ∘𝑓 + (𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) = )
366365fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∫1‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) ∘𝑓 + (𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))) = (∫1))
3673, 7itg1add 23513 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∫1‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) ∘𝑓 + (𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) + (∫1‘(𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))))
368366, 367eqtr3d 2687 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∫1) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) + (∫1‘(𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))))
369368adantrr 753 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘𝑟 ≤ (𝐹𝑓 + 𝐺))) → (∫1) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) + (∫1‘(𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))))
370 fvex 6239 . . . . . . . . 9 (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) ∈ V
371 fvex 6239 . . . . . . . . 9 (∫1‘(𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∈ V
372 iba 523 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) → (∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹 ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))))
373 iba 523 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = (∫1‘(𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺 ↔ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1‘(𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))))))
374372, 373bi2anan9 935 . . . . . . . . . . 11 ((𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) ∧ 𝑢 = (∫1‘(𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))) → ((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹 ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺) ↔ ((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1‘(𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))))))
375374bicomd 213 . . . . . . . . . 10 ((𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) ∧ 𝑢 = (∫1‘(𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))) → (((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1‘(𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))))) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹 ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺)))
376 oveq12 6699 . . . . . . . . . . 11 ((𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) ∧ 𝑢 = (∫1‘(𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))) → (𝑡 + 𝑢) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) + (∫1‘(𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))))
377376eqeq2d 2661 . . . . . . . . . 10 ((𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) ∧ 𝑢 = (∫1‘(𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))) → ((∫1) = (𝑡 + 𝑢) ↔ (∫1) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) + (∫1‘(𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))))))
378375, 377anbi12d 747 . . . . . . . . 9 ((𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) ∧ 𝑢 = (∫1‘(𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))) → ((((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1‘(𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹 ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺) ∧ (∫1) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) + (∫1‘(𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))))))
379370, 371, 378spc2ev 3332 . . . . . . . 8 (((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹 ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺) ∧ (∫1) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) + (∫1‘(𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))))) → ∃𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1‘(𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢)))
380139, 343, 369, 379syl21anc 1365 . . . . . . 7 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘𝑟 ≤ (𝐹𝑓 + 𝐺))) → ∃𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1‘(𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢)))
381 fveq1 6228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) → (𝑓𝑧) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧))
382381eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) → ((𝑓𝑧) = 0 ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0))
383381oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) → ((𝑓𝑧) + 𝑐) = (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))
384382, 383ifbieq2d 4144 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) → if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐)) = if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐)))
385384mpteq2dv 4778 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))))
386385breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹))
387386rexbidv 3081 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) → (∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹))
388 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) → (∫1𝑓) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))
389388eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) → (𝑡 = (∫1𝑓) ↔ 𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))))
390387, 389anbi12d 747 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) → ((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))))
391390anbi1d 741 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) → (((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ↔ ((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔)))))
392391anbi1d 741 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) → ((((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢)) ↔ (((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢))))
3933922exbidv 1892 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) → (∃𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢))))
394 fveq1 6228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 = (𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) → (𝑔𝑧) = ((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧))
395394eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 = (𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) → ((𝑔𝑧) = 0 ↔ ((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0))
396394oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 = (𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) → ((𝑔𝑧) + 𝑑) = (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))
397395, 396ifbieq2d 4144 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 = (𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) → if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑)) = if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑)))
398397mpteq2dv 4778 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = (𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))))
399398breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺))
400399rexbidv 3081 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺))
401 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) → (∫1𝑔) = (∫1‘(𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))))
402401eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) → (𝑢 = (∫1𝑔) ↔ 𝑢 = (∫1‘(𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))))
403400, 402anbi12d 747 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) → ((∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔)) ↔ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1‘(𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))))))
404403anbi2d 740 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) → (((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ↔ ((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1‘(𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))))))))
405404anbi1d 741 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) → ((((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢)) ↔ (((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1‘(𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢))))
4064052exbidv 1892 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) → (∃𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1‘(𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢))))
407393, 406rspc2ev 3355 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))) ∈ dom ∫1 ∧ ∃𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥)))‘𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) = 0, 0, (((𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))‘𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1‘(𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑦 / 3))) − 1) · (𝑦 / 3)), (𝑥))))))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢))) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢)))
4084, 8, 380, 407syl3anc 1366 . . . . . 6 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘𝑟 ≤ (𝐹𝑓 + 𝐺))) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢)))
409 eqeq1 2655 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (∫1) → (𝑠 = (𝑡 + 𝑢) ↔ (∫1) = (𝑡 + 𝑢)))
410409anbi2d 740 . . . . . . . 8 (𝑠 = (∫1) → ((((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ (((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢))))
4114102exbidv 1892 . . . . . . 7 (𝑠 = (∫1) → (∃𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢))))
4124112rexbidv 3086 . . . . . 6 (𝑠 = (∫1) → (∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ (∫1) = (𝑡 + 𝑢))))
413408, 412syl5ibrcom 237 . . . . 5 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘𝑟 ≤ (𝐹𝑓 + 𝐺))) → (𝑠 = (∫1) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢))))
414413rexlimdvaa 3061 . . . 4 ((𝜑 ∈ dom ∫1) → (∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘𝑟 ≤ (𝐹𝑓 + 𝐺) → (𝑠 = (∫1) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))))
415414impd 446 . . 3 ((𝜑 ∈ dom ∫1) → ((∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘𝑟 ≤ (𝐹𝑓 + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1)) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢))))
416415rexlimdva 3060 . 2 (𝜑 → (∃ ∈ dom ∫1(∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘𝑟 ≤ (𝐹𝑓 + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1)) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢))))
417 rexcom4 3256 . . . . 5 (∃𝑔 ∈ dom ∫1𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑡𝑔 ∈ dom ∫1𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
418417rexbii 3070 . . . 4 (∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑡𝑔 ∈ dom ∫1𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
419 rexcom4 3256 . . . 4 (∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑡𝑔 ∈ dom ∫1𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑡𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
420418, 419bitri 264 . . 3 (∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑡𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
421 rexcom4 3256 . . . . . 6 (∃𝑔 ∈ dom ∫1𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑢𝑔 ∈ dom ∫1(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
422421rexbii 3070 . . . . 5 (∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑢𝑔 ∈ dom ∫1(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
423 rexcom4 3256 . . . . 5 (∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑢𝑔 ∈ dom ∫1(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑢𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
424422, 423bitri 264 . . . 4 (∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑢𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
425424exbii 1814 . . 3 (∃𝑡𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑡𝑢𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
426 r19.41vv 3120 . . . 4 (∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ (∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
4274262exbii 1815 . . 3 (∃𝑡𝑢𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑡𝑢(∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
428420, 425, 4273bitrri 287 . 2 (∃𝑡𝑢(∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)) ↔ ∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1𝑡𝑢(((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢)))
429416, 428syl6ibr 242 1 (𝜑 → (∃ ∈ dom ∫1(∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧) = 0, 0, ((𝑧) + 𝑦))) ∘𝑟 ≤ (𝐹𝑓 + 𝐺) ∧ 𝑠 = (∫1)) → ∃𝑡𝑢(∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1((∃𝑐 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑓𝑧) = 0, 0, ((𝑓𝑧) + 𝑐))) ∘𝑟𝐹𝑡 = (∫1𝑓)) ∧ (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑔𝑧) = 0, 0, ((𝑔𝑧) + 𝑑))) ∘𝑟𝐺𝑢 = (∫1𝑔))) ∧ 𝑠 = (𝑡 + 𝑢))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  ifcif 4119   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑓 cof 6937  𝑟 cofr 6938  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  +∞cpnf 10109   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  3c3 11109  +crp 11870  [,)cico 12215  cfl 12631  MblFncmbf 23428  1citg1 23429  2citg2 23430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-rest 16130  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-cmp 21238  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434
This theorem is referenced by:  itg2addnc  33594
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