MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2cn 23250
Description: A sort of absolute continuity of the Lebesgue integral (this is the core of ftc1a 23518 which is about actual absolute continuity). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2cn.1 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2cn.2 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
itg2cn.3 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
itg2cn.4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
itg2cn (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑑,𝑥,𝐶   𝐹,𝑑,𝑢,𝑥   𝜑,𝑢,𝑥
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑑)

Proof of Theorem itg2cn
Dummy variables 𝑚 𝑦 𝑧 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2cn.3 . . . . . 6 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
2 itg2cn.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
32rphalfcld 11713 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 / 2) ∈ ℝ+)
41, 3ltsubrpd 11733 . . . . 5 (𝜑 → ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) < (∫2𝐹))
53rpred 11701 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 / 2) ∈ ℝ)
61, 5resubcld 10306 . . . . . 6 (𝜑 → ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ∈ ℝ)
76, 1ltnled 10032 . . . . 5 (𝜑 → (((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) < (∫2𝐹) ↔ ¬ (∫2𝐹) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
84, 7mpbid 220 . . . 4 (𝜑 → ¬ (∫2𝐹) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
9 itg2cn.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
109ffvelrnda 6249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))
11 elrege0 12102 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
1210, 11sylib 206 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
1312simpld 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1413rexrd 9942 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
1512simprd 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
16 elxrge0 12105 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
1714, 15, 16sylanbrc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞))
18 0e0iccpnf 12107 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ (0[,]+∞)
19 ifcl 4076 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
2017, 18, 19sylancl 692 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
2120adantlr 746 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
22 eqid 2606 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))
2321, 22fmptd 6274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
24 itg2cl 23219 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))) ∈ ℝ*)
2523, 24syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))) ∈ ℝ*)
26 eqid 2606 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))
2725, 26fmptd 6274 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))):ℕ⟶ℝ*)
28 frn 5949 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))):ℕ⟶ℝ* → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))) ⊆ ℝ*)
2927, 28syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))) ⊆ ℝ*)
306rexrd 9942 . . . . . 6 (𝜑 → ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ∈ ℝ*)
31 supxrleub 11981 . . . . . 6 ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))) ⊆ ℝ* ∧ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ∈ ℝ*) → (sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))), ℝ*, < ) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
3229, 30, 31syl2anc 690 . . . . 5 (𝜑 → (sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))), ℝ*, < ) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
33 itg2cn.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
349, 33, 1itg2cnlem1 23248 . . . . . 6 (𝜑 → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))), ℝ*, < ) = (∫2𝐹))
3534breq1d 4584 . . . . 5 (𝜑 → (sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))), ℝ*, < ) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ (∫2𝐹) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
36 ffn 5941 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))):ℕ⟶ℝ* → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))) Fn ℕ)
3727, 36syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))) Fn ℕ)
38 breq1 4577 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))‘𝑚) → (𝑧 ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))‘𝑚) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
3938ralrn 6252 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))) Fn ℕ → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))‘𝑚) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
40 breq2 4578 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹𝑥) ≤ 𝑛 ↔ (𝐹𝑥) ≤ 𝑚))
4140ifbid 4054 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0) = if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))
4241mpteq2dv 4664 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0)))
4342fveq2d 6089 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))))
44 fvex 6095 . . . . . . . . . 10 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ∈ V
4543, 26, 44fvmpt 6173 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))‘𝑚) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))))
4645breq1d 4584 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))‘𝑚) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
4746ralbiia 2958 . . . . . . 7 (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))‘𝑚) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
4839, 47syl6bb 274 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0)))) Fn ℕ → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
4937, 48syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑛, (𝐹𝑥), 0))))𝑧 ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
5032, 35, 493bitr3d 296 . . . 4 (𝜑 → ((∫2𝐹) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
518, 50mtbid 312 . . 3 (𝜑 → ¬ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
52 rexnal 2974 . . 3 (∃𝑚 ∈ ℕ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ ¬ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
5351, 52sylibr 222 . 2 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
549adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
5533adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))) → 𝐹 ∈ MblFn)
561adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
572adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))) → 𝐶 ∈ ℝ+)
58 simprl 789 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
59 simprr 791 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))) → ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
60 fveq2 6085 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
6160breq1d 4584 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ≤ 𝑚 ↔ (𝐹𝑦) ≤ 𝑚))
6261, 60ifbieq1d 4055 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0) = if((𝐹𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹𝑦), 0))
6362cbvmptv 4669 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹𝑦), 0))
6463fveq2i 6088 . . . . . 6 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) = (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹𝑦), 0)))
6564breq1i 4581 . . . . 5 ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹𝑦), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
6659, 65sylnib 316 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))) → ¬ (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑦) ≤ 𝑚, (𝐹𝑦), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
6754, 55, 56, 57, 58, 66itg2cnlem2 23249 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, (𝐹𝑦), 0))) < 𝐶))
68 elequ1 1983 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑢𝑦𝑢))
6968, 60ifbieq1d 4055 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0) = if(𝑦𝑢, (𝐹𝑦), 0))
7069cbvmptv 4669 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, (𝐹𝑦), 0))
7170fveq2i 6088 . . . . . . 7 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) = (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, (𝐹𝑦), 0)))
7271breq1i 4581 . . . . . 6 ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶 ↔ (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, (𝐹𝑦), 0))) < 𝐶)
7372imbi2i 324 . . . . 5 (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶) ↔ ((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, (𝐹𝑦), 0))) < 𝐶))
7473ralbii 2959 . . . 4 (∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶) ↔ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, (𝐹𝑦), 0))) < 𝐶))
7574rexbii 3019 . . 3 (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, (𝐹𝑦), 0))) < 𝐶))
7667, 75sylibr 222 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑚, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶))
7753, 76rexlimddv 3013 1 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  wcel 1976  wral 2892  wrex 2893  wss 3536  ifcif 4032   class class class wbr 4574  cmpt 4634  dom cdm 5025  ran crn 5026   Fn wfn 5782  wf 5783  cfv 5787  (class class class)co 6524  supcsup 8203  cr 9788  0cc0 9789  +∞cpnf 9924  *cxr 9926   < clt 9927  cle 9928  cmin 10114   / cdiv 10530  cn 10864  2c2 10914  +crp 11661  [,)cico 12001  [,]cicc 12002  volcvol 22953  MblFncmbf 23103  2citg2 23105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-inf2 8395  ax-cc 9114  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867  ax-addf 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-disj 4545  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-se 4985  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-isom 5796  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-of 6769  df-ofr 6770  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-2o 7422  df-oadd 7425  df-omul 7426  df-er 7603  df-map 7720  df-pm 7721  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-fi 8174  df-sup 8205  df-inf 8206  df-oi 8272  df-card 8622  df-acn 8625  df-cda 8847  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-q 11618  df-rp 11662  df-xneg 11775  df-xadd 11776  df-xmul 11777  df-ioo 12003  df-ioc 12004  df-ico 12005  df-icc 12006  df-fz 12150  df-fzo 12287  df-fl 12407  df-seq 12616  df-exp 12675  df-hash 12932  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632  df-sqrt 13766  df-abs 13767  df-clim 14010  df-rlim 14011  df-sum 14208  df-rest 15849  df-topgen 15870  df-psmet 19502  df-xmet 19503  df-met 19504  df-bl 19505  df-mopn 19506  df-top 20460  df-bases 20461  df-topon 20462  df-cmp 20939  df-ovol 22954  df-vol 22955  df-mbf 23108  df-itg1 23109  df-itg2 23110  df-0p 23157
This theorem is referenced by:  itgcn  23329
  Copyright terms: Public domain W3C validator