MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2cnlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2cnlem2 23574
Description: Lemma for itgcn 23654. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2cn.1 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2cn.2 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
itg2cn.3 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
itg2cn.4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
itg2cn.5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
itg2cn.6 (𝜑 → ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑀, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
Assertion
Ref Expression
itg2cnlem2 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑑,𝑥,𝐶   𝐹,𝑑,𝑢,𝑥   𝜑,𝑢,𝑥   𝑀,𝑑,𝑢,𝑥
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑑)

Proof of Theorem itg2cnlem2
StepHypRef Expression
1 itg2cn.4 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
21rphalfcld 11922 . . 3 (𝜑 → (𝐶 / 2) ∈ ℝ+)
3 itg2cn.5 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
43nnrpd 11908 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℝ+)
52, 4rpdivcld 11927 . 2 (𝜑 → ((𝐶 / 2) / 𝑀) ∈ ℝ+)
6 simprl 809 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝑢 ∈ dom vol)
7 itg2cn.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
87adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝐹 ∈ MblFn)
9 itg2cn.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
10 rge0ssre 12318 . . . . . . . . . . 11 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
11 fss 6094 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
129, 10, 11sylancl 695 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
1312adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
14 mbfima 23444 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) → (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∈ dom vol)
158, 13, 14syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∈ dom vol)
16 inmbl 23356 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ dom vol ∧ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∈ dom vol) → (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∈ dom vol)
176, 15, 16syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∈ dom vol)
18 difmbl 23357 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ dom vol ∧ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∈ dom vol) → (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∈ dom vol)
196, 15, 18syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∈ dom vol)
20 inass 3856 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∩ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) = (𝑢 ∩ ((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∩ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))))
21 disjdif 4073 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∩ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) = ∅
2221ineq2i 3844 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∩ ((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∩ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))) = (𝑢 ∩ ∅)
23 in0 4001 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∩ ∅) = ∅
2420, 22, 233eqtri 2677 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∩ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) = ∅
2524fveq2i 6232 . . . . . . . . 9 (vol*‘((𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∩ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))) = (vol*‘∅)
26 ovol0 23307 . . . . . . . . 9 (vol*‘∅) = 0
2725, 26eqtri 2673 . . . . . . . 8 (vol*‘((𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∩ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))) = 0
2827a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (vol*‘((𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∩ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))) = 0)
29 inundif 4079 . . . . . . . . 9 ((𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∪ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) = 𝑢
3029eqcomi 2660 . . . . . . . 8 𝑢 = ((𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∪ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))
3130a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝑢 = ((𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∪ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))))
32 mblss 23345 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ dom vol → 𝑢 ⊆ ℝ)
336, 32syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝑢 ⊆ ℝ)
3433sselda 3636 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥𝑢) → 𝑥 ∈ ℝ)
359adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
3635ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))
37 elrege0 12316 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
3836, 37sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
3938simpld 474 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
4039rexrd 10127 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
4138simprd 478 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
42 elxrge0 12319 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
4340, 41, 42sylanbrc 699 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞))
4434, 43syldan 486 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥𝑢) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞))
45 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))
46 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))
47 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))
48 0e0iccpnf 12321 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0[,]+∞)
49 ifcl 4163 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
5043, 48, 49sylancl 695 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
5150, 45fmptd 6425 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
52 itg2cn.3 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
5352adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
54 icossicc 12298 . . . . . . . . . 10 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
55 fss 6094 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
5635, 54, 55sylancl 695 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
5739leidd 10632 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
58 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑥) = if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑥) ↔ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
59 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . 13 (0 = if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
6058, 59ifboth 4157 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑥) ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥))
6157, 41, 60syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥))
6261ralrimiva 2995 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥))
63 reex 10065 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ∈ V
6463a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ℝ ∈ V)
65 eqidd 2652 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)))
6635feqmptd 6288 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)))
6764, 50, 39, 65, 66ofrfval2 6957 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘𝑟𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
6862, 67mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘𝑟𝐹)
69 itg2le 23551 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘𝑟𝐹) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹))
7051, 56, 68, 69syl3anc 1366 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹))
71 itg2lecl 23550 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2𝐹) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ∈ ℝ)
7251, 53, 70, 71syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ∈ ℝ)
73 ifcl 4163 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
7443, 48, 73sylancl 695 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
7574, 46fmptd 6425 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
76 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑥) = if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑥) ↔ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
77 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . 13 (0 = if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
7876, 77ifboth 4157 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑥) ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥))
7957, 41, 78syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥))
8079ralrimiva 2995 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥))
81 eqidd 2652 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)))
8264, 74, 39, 81, 66ofrfval2 6957 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘𝑟𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
8380, 82mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘𝑟𝐹)
84 itg2le 23551 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘𝑟𝐹) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹))
8575, 56, 83, 84syl3anc 1366 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹))
86 itg2lecl 23550 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2𝐹) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ∈ ℝ)
8775, 53, 85, 86syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ∈ ℝ)
8817, 19, 28, 31, 44, 45, 46, 47, 72, 87itg2split 23561 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)))))
891adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝐶 ∈ ℝ+)
9089rphalfcld 11922 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝐶 / 2) ∈ ℝ+)
9190rpred 11910 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝐶 / 2) ∈ ℝ)
92 ifcl 4163 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
9343, 48, 92sylancl 695 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
94 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))
9593, 94fmptd 6425 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
96 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑥) = if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0) → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑥) ↔ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
97 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 = if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
9896, 97ifboth 4157 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑥) ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥))
9957, 41, 98syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥))
10099ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥))
101 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)))
10264, 93, 43, 101, 66ofrfval2 6957 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)) ∘𝑟𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
103100, 102mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)) ∘𝑟𝐹)
104 itg2le 23551 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)) ∘𝑟𝐹) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹))
10595, 56, 103, 104syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹))
106 itg2lecl 23550 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2𝐹) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))) ∈ ℝ)
10795, 53, 105, 106syl3anc 1366 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))) ∈ ℝ)
108 0red 10079 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
109 elinel2 3833 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))
111 ifle 12066 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))
11239, 108, 41, 110, 111syl31anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))
113112ralrimiva 2995 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))
11464, 50, 93, 65, 101ofrfval2 6957 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)))
115113, 114mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)))
116 itg2le 23551 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))))
11751, 95, 115, 116syl3anc 1366 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))))
11866fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2𝐹) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥))))
119 cmmbl 23348 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∈ dom vol → (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∈ dom vol)
12015, 119syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∈ dom vol)
121 disjdif 4073 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∩ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) = ∅
122121fveq2i 6232 . . . . . . . . . . . . . 14 (vol*‘((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∩ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))) = (vol*‘∅)
123122, 26eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . 13 (vol*‘((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∩ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))) = 0
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (vol*‘((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∩ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))) = 0)
125 undif2 4077 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∪ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) = ((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∪ ℝ)
126 mblss 23345 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∈ dom vol → (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ⊆ ℝ)
12715, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ⊆ ℝ)
128 ssequn1 3816 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ⊆ ℝ ↔ ((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∪ ℝ) = ℝ)
129127, 128sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∪ ℝ) = ℝ)
130125, 129syl5req 2698 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ℝ = ((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∪ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))))
131 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))
132 iftrue 4125 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → if(𝑥 ∈ ℝ, (𝐹𝑥), 0) = (𝐹𝑥))
133132mpteq2ia 4773 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ ℝ, (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥))
134133eqcomi 2660 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ ℝ, (𝐹𝑥), 0))
135 ifcl 4163 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
13643, 48, 135sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
137136, 131fmptd 6425 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
138 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑥) = if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑥) ↔ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
139 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 = if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
140138, 139ifboth 4157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑥) ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)) → if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥))
14157, 41, 140syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥))
142141ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥))
143 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)))
14464, 136, 43, 143, 66ofrfval2 6957 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘𝑟𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
145142, 144mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘𝑟𝐹)
146 itg2le 23551 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘𝑟𝐹) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹))
147137, 56, 145, 146syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹))
148 itg2lecl 23550 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2𝐹) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ∈ ℝ)
149137, 53, 147, 148syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ∈ ℝ)
15015, 120, 124, 130, 43, 94, 131, 134, 107, 149itg2split 23561 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)))))
151118, 150eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2𝐹) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)))))
152 itg2cn.6 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑀, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
153152adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑀, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
154 eldif 3617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))
155154baib 964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))
156155adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))
1579ffnd 6084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐹 Fn ℝ)
158157ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹 Fn ℝ)
159 elpreima 6377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐹 Fn ℝ → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑀(,)+∞))))
160158, 159syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑀(,)+∞))))
16139biantrurd 528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑀 < (𝐹𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑀 < (𝐹𝑥))))
1623nnred 11073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
163162ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
164163rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ*)
165 elioopnf 12305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ ℝ* → ((𝐹𝑥) ∈ (𝑀(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑀 < (𝐹𝑥))))
166164, 165syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (𝑀(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑀 < (𝐹𝑥))))
167 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
168167biantrurd 528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (𝑀(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑀(,)+∞))))
169161, 166, 1683bitr2d 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑀 < (𝐹𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑀(,)+∞))))
170163, 39ltnled 10222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑀 < (𝐹𝑥) ↔ ¬ (𝐹𝑥) ≤ 𝑀))
171160, 169, 1703bitr2rd 297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ (𝐹𝑥) ≤ 𝑀𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))
172171con1bid 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ↔ (𝐹𝑥) ≤ 𝑀))
173156, 172bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ↔ (𝐹𝑥) ≤ 𝑀))
174173ifbid 4141 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) = if((𝐹𝑥) ≤ 𝑀, (𝐹𝑥), 0))
175174mpteq2dva 4777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑀, (𝐹𝑥), 0)))
176175fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑀, (𝐹𝑥), 0))))
177176breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑀, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
178153, 177mtbird 314 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
17953, 91resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ∈ ℝ)
180179, 149ltnled 10222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) < (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ↔ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
181178, 180mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) < (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))))
18253, 91, 149ltsubadd2d 10663 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) < (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ↔ (∫2𝐹) < ((𝐶 / 2) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))))))
183181, 182mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2𝐹) < ((𝐶 / 2) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)))))
184151, 183eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)))) < ((𝐶 / 2) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)))))
185107, 91, 149ltadd1d 10658 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))) < (𝐶 / 2) ↔ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)))) < ((𝐶 / 2) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))))))
186184, 185mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))) < (𝐶 / 2))
18772, 107, 91, 117, 186lelttrd 10233 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) < (𝐶 / 2))
188162adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℝ)
189 mblvol 23344 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ dom vol → (vol‘𝑢) = (vol*‘𝑢))
1906, 189syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (vol‘𝑢) = (vol*‘𝑢))
1915rpred 11910 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶 / 2) / 𝑀) ∈ ℝ)
192191adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((𝐶 / 2) / 𝑀) ∈ ℝ)
193 simprr 811 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))
194190, 193eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (vol*‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))
195 ovolcl 23292 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 ⊆ ℝ → (vol*‘𝑢) ∈ ℝ*)
19633, 195syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (vol*‘𝑢) ∈ ℝ*)
197192rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((𝐶 / 2) / 𝑀) ∈ ℝ*)
198 xrltle 12020 . . . . . . . . . . . . 13 (((vol*‘𝑢) ∈ ℝ* ∧ ((𝐶 / 2) / 𝑀) ∈ ℝ*) → ((vol*‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀) → (vol*‘𝑢) ≤ ((𝐶 / 2) / 𝑀)))
199196, 197, 198syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((vol*‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀) → (vol*‘𝑢) ≤ ((𝐶 / 2) / 𝑀)))
200194, 199mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (vol*‘𝑢) ≤ ((𝐶 / 2) / 𝑀))
201 ovollecl 23297 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ⊆ ℝ ∧ ((𝐶 / 2) / 𝑀) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝑢) ≤ ((𝐶 / 2) / 𝑀)) → (vol*‘𝑢) ∈ ℝ)
20233, 192, 200, 201syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (vol*‘𝑢) ∈ ℝ)
203190, 202eqeltrd 2730 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (vol‘𝑢) ∈ ℝ)
204188, 203remulcld 10108 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑀 · (vol‘𝑢)) ∈ ℝ)
205188rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℝ*)
2063adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℕ)
207206nnnn0d 11389 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
208207nn0ge0d 11392 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 0 ≤ 𝑀)
209 elxrge0 12319 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑀 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑀))
210205, 208, 209sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝑀 ∈ (0[,]+∞))
211 ifcl 4163 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑥𝑢, 𝑀, 0) ∈ (0[,]+∞))
212210, 48, 211sylancl 695 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → if(𝑥𝑢, 𝑀, 0) ∈ (0[,]+∞))
213212adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝑢, 𝑀, 0) ∈ (0[,]+∞))
214 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0))
215213, 214fmptd 6425 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
216 eldifn 3766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))
217216adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))
218 difssd 3771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
219218sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → 𝑥𝑢)
22034, 171syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥𝑢) → (¬ (𝐹𝑥) ≤ 𝑀𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))
221219, 220syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → (¬ (𝐹𝑥) ≤ 𝑀𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))
222221con1bid 344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → (¬ 𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ↔ (𝐹𝑥) ≤ 𝑀))
223217, 222mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → (𝐹𝑥) ≤ 𝑀)
224 iftrue 4125 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) = (𝐹𝑥))
225224adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) = (𝐹𝑥))
226219iftrued 4127 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → if(𝑥𝑢, 𝑀, 0) = 𝑀)
227223, 225, 2263brtr4d 4717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0))
228 iffalse 4128 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) = 0)
229228adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) = 0)
230 0le0 11148 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ≤ 0
231 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 = if(𝑥𝑢, 𝑀, 0) → (0 ≤ 𝑀 ↔ 0 ≤ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0)))
232 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 = if(𝑥𝑢, 𝑀, 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0)))
233231, 232ifboth 4157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ≤ 𝑀 ∧ 0 ≤ 0) → 0 ≤ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0))
234208, 230, 233sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 0 ≤ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0))
235234adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → 0 ≤ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0))
236229, 235eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0))
237227, 236pm2.61dan 849 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0))
238237ralrimivw 2996 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0))
239 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0)))
24064, 74, 213, 81, 239ofrfval2 6957 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0)))
241238, 240mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0)))
242 itg2le 23551 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0))))
24375, 215, 241, 242syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0))))
244 elrege0 12316 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀))
245188, 208, 244sylanbrc 699 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝑀 ∈ (0[,)+∞))
246 itg2const 23552 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0))) = (𝑀 · (vol‘𝑢)))
2476, 203, 245, 246syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0))) = (𝑀 · (vol‘𝑢)))
248243, 247breqtrd 4711 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (𝑀 · (vol‘𝑢)))
249206nngt0d 11102 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 0 < 𝑀)
250 ltmuldiv2 10935 . . . . . . . . . 10 (((vol‘𝑢) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝑀 · (vol‘𝑢)) < (𝐶 / 2) ↔ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀)))
251203, 91, 188, 249, 250syl112anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((𝑀 · (vol‘𝑢)) < (𝐶 / 2) ↔ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀)))
252193, 251mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑀 · (vol‘𝑢)) < (𝐶 / 2))
25387, 204, 91, 248, 252lelttrd 10233 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) < (𝐶 / 2))
25472, 87, 91, 91, 187, 253lt2addd 10688 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)))) < ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2)))
25588, 254eqbrtrd 4707 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2)))
25689rpcnd 11912 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝐶 ∈ ℂ)
2572562halvesd 11316 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2)) = 𝐶)
258255, 257breqtrd 4711 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶)
259258expr 642 . . 3 ((𝜑𝑢 ∈ dom vol) → ((vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶))
260259ralrimiva 2995 . 2 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶))
261 breq2 4689 . . . . 5 (𝑑 = ((𝐶 / 2) / 𝑀) → ((vol‘𝑢) < 𝑑 ↔ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀)))
262261imbi1d 330 . . . 4 (𝑑 = ((𝐶 / 2) / 𝑀) → (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶) ↔ ((vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶)))
263262ralbidv 3015 . . 3 (𝑑 = ((𝐶 / 2) / 𝑀) → (∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶) ↔ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶)))
264263rspcev 3340 . 2 ((((𝐶 / 2) / 𝑀) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶))
2655, 260, 264syl2anc 694 1 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  cdif 3604  cun 3605  cin 3606  wss 3607  c0 3948  ifcif 4119   class class class wbr 4685  cmpt 4762  ccnv 5142  dom cdm 5143  cima 5146   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑟 cofr 6938  cr 9973  0cc0 9974   + caddc 9977   · cmul 9979  +∞cpnf 10109  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  +crp 11870  (,)cioo 12213  [,)cico 12215  [,]cicc 12216  vol*covol 23277  volcvol 23278  MblFncmbf 23428  2citg2 23430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-rest 16130  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-cmp 21238  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434  df-itg2 23435  df-0p 23482
This theorem is referenced by:  itg2cn  23575
  Copyright terms: Public domain W3C validator