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Theorem itg2const2 23414
Description: When the base set of a constant function has infinite volume, the integral is also infinite and vice-versa. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2const2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem itg2const2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 789 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ dom vol)
2 simpr 477 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
3 rpre 11783 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ)
43ad2antlr 762 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
5 rpge0 11789 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐵)
65ad2antlr 762 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝐵)
7 elrege0 12220 . . . . 5 (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
84, 6, 7sylanbrc 697 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
9 itg2const 23413 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) = (𝐵 · (vol‘𝐴)))
101, 2, 8, 9syl3anc 1323 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) = (𝐵 · (vol‘𝐴)))
114, 2remulcld 10014 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 · (vol‘𝐴)) ∈ ℝ)
1210, 11eqeltrd 2698 . 2 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)
13 mblvol 23205 . . . 4 (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
1413ad2antrr 761 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
15 mblss 23206 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
1615ad3antrrr 765 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (vol*‘𝐴) ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
17 peano2re 10153 . . . . . . . 8 ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ∈ ℝ)
1817adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ∈ ℝ)
19 simplr 791 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
2018, 19rerpdivcld 11847 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ)
2120adantr 481 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (vol*‘𝐴) ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ)
22 simpr 477 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (vol*‘𝐴) ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)) → (vol*‘𝐴) ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵))
23 ovollecl 23158 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
2416, 21, 22, 23syl3anc 1323 . . . 4 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (vol*‘𝐴) ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
25 simplll 797 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → 𝐴 ∈ dom vol)
2620adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ)
2726rexrd 10033 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ*)
28 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)
293ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
3029rexrd 10033 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
315ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝐵)
32 elxrge0 12223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵))
3330, 31, 32sylanbrc 697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
34 0e0iccpnf 12225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ (0[,]+∞)
35 ifcl 4102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,]+∞))
3633, 34, 35sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,]+∞))
37 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
3836, 37fmptd 6340 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
3938adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
40 itg2ge0 23408 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) → 0 ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → 0 ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
4228, 41ge0p1rpd 11846 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ∈ ℝ+)
4342, 19rpdivcld 11833 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ+)
4443rpge0d 11820 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → 0 ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵))
4544adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → 0 ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵))
4614breq2d 4625 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → ((((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol‘𝐴) ↔ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)))
4746biimpar 502 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol‘𝐴))
48 0xr 10030 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
49 iccssxr 12198 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
50 volf 23204 . . . . . . . . . . . . 13 vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
5150ffvelrni 6314 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
5249, 51sseldi 3581 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) ∈ ℝ*)
5325, 52syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ*)
54 elicc1 12161 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ*) → ((((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ (0[,](vol‘𝐴)) ↔ ((((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol‘𝐴))))
5548, 53, 54sylancr 694 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → ((((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ (0[,](vol‘𝐴)) ↔ ((((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol‘𝐴))))
5627, 45, 47, 55mpbir3and 1243 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ (0[,](vol‘𝐴)))
57 volivth 23281 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ (0[,](vol‘𝐴))) → ∃𝑧 ∈ dom vol(𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))
5825, 56, 57syl2anc 692 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → ∃𝑧 ∈ dom vol(𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))
5958ex 450 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → ((((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴) → ∃𝑧 ∈ dom vol(𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵))))
60 simprl 793 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → 𝑧 ∈ dom vol)
61 simprrr 804 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵))
6220adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ)
6361, 62eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (vol‘𝑧) ∈ ℝ)
643ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
6564adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
6619adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
6766rpge0d 11820 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → 0 ≤ 𝐵)
6865, 67, 7sylanbrc 697 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
69 itg2const 23413 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0))) = (𝐵 · (vol‘𝑧)))
7060, 63, 68, 69syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0))) = (𝐵 · (vol‘𝑧)))
7161oveq2d 6620 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (𝐵 · (vol‘𝑧)) = (𝐵 · (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))
7218recnd 10012 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ∈ ℂ)
7364recnd 10012 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
74 rpne0 11792 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≠ 0)
7574ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ 0)
7672, 73, 75divcan2d 10747 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (𝐵 · (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1))
7776adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (𝐵 · (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1))
7870, 71, 773eqtrd 2659 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1))
793adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
8079rexrd 10033 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
815adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐵)
8280, 81, 32sylanbrc 697 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
83 ifcl 4102 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑥𝑧, 𝐵, 0) ∈ (0[,]+∞))
8482, 34, 83sylancl 693 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → if(𝑥𝑧, 𝐵, 0) ∈ (0[,]+∞))
8584adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝑧, 𝐵, 0) ∈ (0[,]+∞))
86 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0))
8785, 86fmptd 6340 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
8887ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
8939adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
90 simpl 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+))
91 simprl 793 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵))) → 𝑧𝐴)
9279ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑧) → 𝐵 ∈ ℝ)
9392leidd 10538 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑧) → 𝐵𝐵)
94 iftrue 4064 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝑧 → if(𝑥𝑧, 𝐵, 0) = 𝐵)
9594adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑧) → if(𝑥𝑧, 𝐵, 0) = 𝐵)
96 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑧𝐴)
9796sselda 3583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑧) → 𝑥𝐴)
9897iftrued 4066 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑧) → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
9993, 95, 983brtr4d 4645 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑧) → if(𝑥𝑧, 𝐵, 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
100 iffalse 4067 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥𝑧 → if(𝑥𝑧, 𝐵, 0) = 0)
101100adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝑧) → if(𝑥𝑧, 𝐵, 0) = 0)
102 0le0 11054 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ≤ 0
103 breq2 4617 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 = if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
104 breq2 4617 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 = if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
105103, 104ifboth 4096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ≤ 𝐵 ∧ 0 ≤ 0) → 0 ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
10681, 102, 105sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
107106ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝑧) → 0 ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
108101, 107eqbrtrd 4635 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝑧) → if(𝑥𝑧, 𝐵, 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
10999, 108pm2.61dan 831 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝑧, 𝐵, 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
110109ralrimiva 2960 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
111 reex 9971 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ∈ V
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ℝ ∈ V)
113 eqidd 2622 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0)))
114 eqidd 2622 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
115112, 85, 36, 113, 114ofrfval2 6868 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
116115biimpar 502 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
117110, 116syldan 487 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
11890, 91, 117syl2an 494 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
119 itg2le 23412 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
12088, 89, 118, 119syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
12178, 120eqbrtrrd 4637 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
122 ltp1 10805 . . . . . . . . . 10 ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) < ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1))
123122ad2antlr 762 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) < ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1))
124 simplr 791 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)
12517ad2antlr 762 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ∈ ℝ)
126124, 125ltnled 10128 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) < ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ↔ ¬ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))))
127123, 126mpbid 222 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → ¬ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
128121, 127pm2.21dd 186 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
129128rexlimdvaa 3025 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (∃𝑧 ∈ dom vol(𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ))
13059, 129syld 47 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → ((((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ))
131130imp 445 . . . 4 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
13252ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ*)
13314, 132eqeltrrd 2699 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ*)
13420rexrd 10033 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ*)
135 xrletri 11928 . . . . 5 (((vol*‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ*) → ((vol*‘𝐴) ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∨ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)))
136133, 134, 135syl2anc 692 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → ((vol*‘𝐴) ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∨ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)))
13724, 131, 136mpjaodan 826 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
13814, 137eqeltrd 2698 . 2 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
13912, 138impbida 876 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3186  wss 3555  ifcif 4058   class class class wbr 4613  cmpt 4673  dom cdm 5074  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  𝑟 cofr 6849  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  +∞cpnf 10015  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019   / cdiv 10628  +crp 11776  [,)cico 12119  [,]cicc 12120  vol*covol 23138  volcvol 23139  2citg2 23291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cc 9201  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-disj 4584  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-ofr 6851  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-rest 16004  df-topgen 16025  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-cmp 21100  df-cncf 22589  df-ovol 23140  df-vol 23141  df-mbf 23294  df-itg1 23295  df-itg2 23296  df-0p 23343
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