MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2i1fseq2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2i1fseq2 24284
Description: In an extension to the results of itg2i1fseq 24283, if there is an upper bound on the integrals of the simple functions approaching 𝐹, then 2𝐹 is real and the standard limit relation applies. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2i1fseq.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
itg2i1fseq.2 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2i1fseq.3 (𝜑𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
itg2i1fseq.4 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑃𝑛) ∧ (𝑃𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
itg2i1fseq.5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
itg2i1fseq.6 𝑆 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃𝑚)))
itg2i1fseq2.7 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
itg2i1fseq2.8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃𝑘)) ≤ 𝑀)
Assertion
Ref Expression
itg2i1fseq2 (𝜑𝑆 ⇝ (∫2𝐹))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝑛,𝑥,𝐹   𝑘,𝑀,𝑛   𝑃,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥   𝜑,𝑘,𝑚   𝑆,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑚)

Proof of Theorem itg2i1fseq2
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12269 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12001 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 itg2i1fseq.3 . . . . . 6 (𝜑𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
43ffvelrnda 6843 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃𝑚) ∈ dom ∫1)
5 itg1cl 24213 . . . . 5 ((𝑃𝑚) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑃𝑚)) ∈ ℝ)
64, 5syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃𝑚)) ∈ ℝ)
7 itg2i1fseq.6 . . . 4 𝑆 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃𝑚)))
86, 7fmptd 6870 . . 3 (𝜑𝑆:ℕ⟶ℝ)
93ffvelrnda 6843 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘) ∈ dom ∫1)
10 peano2nn 11638 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
11 ffvelrn 6841 . . . . . 6 ((𝑃:ℕ⟶dom ∫1 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ dom ∫1)
123, 10, 11syl2an 595 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ dom ∫1)
13 itg2i1fseq.4 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑃𝑛) ∧ (𝑃𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
14 simpr 485 . . . . . . . 8 ((0𝑝r ≤ (𝑃𝑛) ∧ (𝑃𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))) → (𝑃𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)))
1514ralimi 3157 . . . . . . 7 (∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑃𝑛) ∧ (𝑃𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑃𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)))
1613, 15syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑃𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)))
17 fveq2 6663 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (𝑃𝑛) = (𝑃𝑘))
18 fvoveq1 7168 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (𝑃‘(𝑛 + 1)) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
1917, 18breq12d 5070 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑃𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝑃𝑘) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
2019rspccva 3619 . . . . . 6 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝑃𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
2116, 20sylan 580 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
22 itg1le 24241 . . . . 5 (((𝑃𝑘) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑃𝑘) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1))) → (∫1‘(𝑃𝑘)) ≤ (∫1‘(𝑃‘(𝑘 + 1))))
239, 12, 21, 22syl3anc 1363 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃𝑘)) ≤ (∫1‘(𝑃‘(𝑘 + 1))))
24 2fveq3 6668 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (∫1‘(𝑃𝑚)) = (∫1‘(𝑃𝑘)))
25 fvex 6676 . . . . . 6 (∫1‘(𝑃𝑘)) ∈ V
2624, 7, 25fvmpt 6761 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑆𝑘) = (∫1‘(𝑃𝑘)))
2726adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆𝑘) = (∫1‘(𝑃𝑘)))
28 2fveq3 6668 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (∫1‘(𝑃𝑚)) = (∫1‘(𝑃‘(𝑘 + 1))))
29 fvex 6676 . . . . . . 7 (∫1‘(𝑃‘(𝑘 + 1))) ∈ V
3028, 7, 29fvmpt 6761 . . . . . 6 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (𝑆‘(𝑘 + 1)) = (∫1‘(𝑃‘(𝑘 + 1))))
3110, 30syl 17 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑆‘(𝑘 + 1)) = (∫1‘(𝑃‘(𝑘 + 1))))
3231adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆‘(𝑘 + 1)) = (∫1‘(𝑃‘(𝑘 + 1))))
3323, 27, 323brtr4d 5089 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆𝑘) ≤ (𝑆‘(𝑘 + 1)))
34 itg2i1fseq2.7 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
35 itg2i1fseq2.8 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃𝑘)) ≤ 𝑀)
3627, 35eqbrtrd 5079 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆𝑘) ≤ 𝑀)
3736ralrimiva 3179 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆𝑘) ≤ 𝑀)
38 brralrspcev 5117 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆𝑘) ≤ 𝑀) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆𝑘) ≤ 𝑧)
3934, 37, 38syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆𝑘) ≤ 𝑧)
401, 2, 8, 33, 39climsup 15014 . 2 (𝜑𝑆 ⇝ sup(ran 𝑆, ℝ, < ))
41 itg2i1fseq.1 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
42 itg2i1fseq.2 . . . 4 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
43 itg2i1fseq.5 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
4441, 42, 3, 13, 43, 7itg2i1fseq 24283 . . 3 (𝜑 → (∫2𝐹) = sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
458frnd 6514 . . . 4 (𝜑 → ran 𝑆 ⊆ ℝ)
467, 6dmmptd 6486 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝑆 = ℕ)
47 1nn 11637 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
48 ne0i 4297 . . . . . . 7 (1 ∈ ℕ → ℕ ≠ ∅)
4947, 48mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → ℕ ≠ ∅)
5046, 49eqnetrd 3080 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑆 ≠ ∅)
51 dm0rn0 5788 . . . . . 6 (dom 𝑆 = ∅ ↔ ran 𝑆 = ∅)
5251necon3bii 3065 . . . . 5 (dom 𝑆 ≠ ∅ ↔ ran 𝑆 ≠ ∅)
5350, 52sylib 219 . . . 4 (𝜑 → ran 𝑆 ≠ ∅)
54 ffn 6507 . . . . . . 7 (𝑆:ℕ⟶ℝ → 𝑆 Fn ℕ)
55 breq1 5060 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑆𝑘) → (𝑦𝑧 ↔ (𝑆𝑘) ≤ 𝑧))
5655ralrn 6846 . . . . . . 7 (𝑆 Fn ℕ → (∀𝑦 ∈ ran 𝑆 𝑦𝑧 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆𝑘) ≤ 𝑧))
578, 54, 563syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran 𝑆 𝑦𝑧 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆𝑘) ≤ 𝑧))
5857rexbidv 3294 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑆 𝑦𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆𝑘) ≤ 𝑧))
5939, 58mpbird 258 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑆 𝑦𝑧)
60 supxrre 12708 . . . 4 ((ran 𝑆 ⊆ ℝ ∧ ran 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑆 𝑦𝑧) → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) = sup(ran 𝑆, ℝ, < ))
6145, 53, 59, 60syl3anc 1363 . . 3 (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) = sup(ran 𝑆, ℝ, < ))
6244, 61eqtrd 2853 . 2 (𝜑 → (∫2𝐹) = sup(ran 𝑆, ℝ, < ))
6340, 62breqtrrd 5085 1 (𝜑𝑆 ⇝ (∫2𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  wss 3933  c0 4288   class class class wbr 5057  cmpt 5137  dom cdm 5548  ran crn 5549   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  r cofr 7397  supcsup 8892  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528  +∞cpnf 10660  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  cn 11626  [,)cico 12728  cli 14829  MblFncmbf 24142  1citg1 24143  2citg2 24144  0𝑝c0p 24197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cc 9845  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-ofr 7399  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-rest 16684  df-topgen 16705  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-top 21430  df-topon 21447  df-bases 21482  df-cmp 21923  df-ovol 23992  df-vol 23993  df-mbf 24147  df-itg1 24148  df-itg2 24149  df-0p 24198
This theorem is referenced by:  itg2i1fseq3  24285  itg2addlem  24286
  Copyright terms: Public domain W3C validator