MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2i1fseq2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2i1fseq2 23273
Description: In an extension to the results of itg2i1fseq 23272, if there is an upper bound on the integrals of the simple functions approaching 𝐹, then 2𝐹 is real and the standard limit relation applies. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2i1fseq.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
itg2i1fseq.2 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2i1fseq.3 (𝜑𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
itg2i1fseq.4 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝𝑟 ≤ (𝑃𝑛) ∧ (𝑃𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
itg2i1fseq.5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
itg2i1fseq.6 𝑆 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃𝑚)))
itg2i1fseq2.7 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
itg2i1fseq2.8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃𝑘)) ≤ 𝑀)
Assertion
Ref Expression
itg2i1fseq2 (𝜑𝑆 ⇝ (∫2𝐹))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝑛,𝑥,𝐹   𝑘,𝑀,𝑛   𝑃,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥   𝜑,𝑘,𝑚   𝑆,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑚)

Proof of Theorem itg2i1fseq2
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11557 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11243 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 itg2i1fseq.3 . . . . . 6 (𝜑𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
43ffvelrnda 6251 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃𝑚) ∈ dom ∫1)
5 itg1cl 23202 . . . . 5 ((𝑃𝑚) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑃𝑚)) ∈ ℝ)
64, 5syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃𝑚)) ∈ ℝ)
7 itg2i1fseq.6 . . . 4 𝑆 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃𝑚)))
86, 7fmptd 6276 . . 3 (𝜑𝑆:ℕ⟶ℝ)
93ffvelrnda 6251 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘) ∈ dom ∫1)
10 peano2nn 10881 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
11 ffvelrn 6249 . . . . . 6 ((𝑃:ℕ⟶dom ∫1 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ dom ∫1)
123, 10, 11syl2an 492 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ dom ∫1)
13 itg2i1fseq.4 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝𝑟 ≤ (𝑃𝑛) ∧ (𝑃𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
14 simpr 475 . . . . . . . 8 ((0𝑝𝑟 ≤ (𝑃𝑛) ∧ (𝑃𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))) → (𝑃𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)))
1514ralimi 2935 . . . . . . 7 (∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝𝑟 ≤ (𝑃𝑛) ∧ (𝑃𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑃𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)))
1613, 15syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑃𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)))
17 fveq2 6087 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (𝑃𝑛) = (𝑃𝑘))
18 oveq1 6533 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + 1) = (𝑘 + 1))
1918fveq2d 6091 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (𝑃‘(𝑛 + 1)) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
2017, 19breq12d 4590 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑃𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝑃𝑘) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
2120rspccva 3280 . . . . . 6 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝑃𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
2216, 21sylan 486 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
23 itg1le 23230 . . . . 5 (((𝑃𝑘) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑃𝑘) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1))) → (∫1‘(𝑃𝑘)) ≤ (∫1‘(𝑃‘(𝑘 + 1))))
249, 12, 22, 23syl3anc 1317 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃𝑘)) ≤ (∫1‘(𝑃‘(𝑘 + 1))))
25 fveq2 6087 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑘 → (𝑃𝑚) = (𝑃𝑘))
2625fveq2d 6091 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (∫1‘(𝑃𝑚)) = (∫1‘(𝑃𝑘)))
27 fvex 6097 . . . . . 6 (∫1‘(𝑃𝑘)) ∈ V
2826, 7, 27fvmpt 6175 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑆𝑘) = (∫1‘(𝑃𝑘)))
2928adantl 480 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆𝑘) = (∫1‘(𝑃𝑘)))
30 fveq2 6087 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑃𝑚) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
3130fveq2d 6091 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (∫1‘(𝑃𝑚)) = (∫1‘(𝑃‘(𝑘 + 1))))
32 fvex 6097 . . . . . . 7 (∫1‘(𝑃‘(𝑘 + 1))) ∈ V
3331, 7, 32fvmpt 6175 . . . . . 6 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (𝑆‘(𝑘 + 1)) = (∫1‘(𝑃‘(𝑘 + 1))))
3410, 33syl 17 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑆‘(𝑘 + 1)) = (∫1‘(𝑃‘(𝑘 + 1))))
3534adantl 480 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆‘(𝑘 + 1)) = (∫1‘(𝑃‘(𝑘 + 1))))
3624, 29, 353brtr4d 4609 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆𝑘) ≤ (𝑆‘(𝑘 + 1)))
37 itg2i1fseq2.7 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
38 itg2i1fseq2.8 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃𝑘)) ≤ 𝑀)
3929, 38eqbrtrd 4599 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆𝑘) ≤ 𝑀)
4039ralrimiva 2948 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆𝑘) ≤ 𝑀)
41 breq2 4581 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑀 → ((𝑆𝑘) ≤ 𝑧 ↔ (𝑆𝑘) ≤ 𝑀))
4241ralbidv 2968 . . . . 5 (𝑧 = 𝑀 → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆𝑘) ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆𝑘) ≤ 𝑀))
4342rspcev 3281 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆𝑘) ≤ 𝑀) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆𝑘) ≤ 𝑧)
4437, 40, 43syl2anc 690 . . 3 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆𝑘) ≤ 𝑧)
451, 2, 8, 36, 44climsup 14196 . 2 (𝜑𝑆 ⇝ sup(ran 𝑆, ℝ, < ))
46 itg2i1fseq.1 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
47 itg2i1fseq.2 . . . 4 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
48 itg2i1fseq.5 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
4946, 47, 3, 13, 48, 7itg2i1fseq 23272 . . 3 (𝜑 → (∫2𝐹) = sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
50 frn 5951 . . . . 5 (𝑆:ℕ⟶ℝ → ran 𝑆 ⊆ ℝ)
518, 50syl 17 . . . 4 (𝜑 → ran 𝑆 ⊆ ℝ)
527, 6dmmptd 5922 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝑆 = ℕ)
53 1nn 10880 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
54 ne0i 3879 . . . . . . 7 (1 ∈ ℕ → ℕ ≠ ∅)
5553, 54mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → ℕ ≠ ∅)
5652, 55eqnetrd 2848 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑆 ≠ ∅)
57 dm0rn0 5249 . . . . . 6 (dom 𝑆 = ∅ ↔ ran 𝑆 = ∅)
5857necon3bii 2833 . . . . 5 (dom 𝑆 ≠ ∅ ↔ ran 𝑆 ≠ ∅)
5956, 58sylib 206 . . . 4 (𝜑 → ran 𝑆 ≠ ∅)
60 ffn 5943 . . . . . . 7 (𝑆:ℕ⟶ℝ → 𝑆 Fn ℕ)
61 breq1 4580 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑆𝑘) → (𝑦𝑧 ↔ (𝑆𝑘) ≤ 𝑧))
6261ralrn 6254 . . . . . . 7 (𝑆 Fn ℕ → (∀𝑦 ∈ ran 𝑆 𝑦𝑧 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆𝑘) ≤ 𝑧))
638, 60, 623syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran 𝑆 𝑦𝑧 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆𝑘) ≤ 𝑧))
6463rexbidv 3033 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑆 𝑦𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆𝑘) ≤ 𝑧))
6544, 64mpbird 245 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑆 𝑦𝑧)
66 supxrre 11987 . . . 4 ((ran 𝑆 ⊆ ℝ ∧ ran 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑆 𝑦𝑧) → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) = sup(ran 𝑆, ℝ, < ))
6751, 59, 65, 66syl3anc 1317 . . 3 (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) = sup(ran 𝑆, ℝ, < ))
6849, 67eqtrd 2643 . 2 (𝜑 → (∫2𝐹) = sup(ran 𝑆, ℝ, < ))
6945, 68breqtrrd 4605 1 (𝜑𝑆 ⇝ (∫2𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  wrex 2896  wss 3539  c0 3873   class class class wbr 4577  cmpt 4637  dom cdm 5027  ran crn 5028   Fn wfn 5784  wf 5785  cfv 5789  (class class class)co 6526  𝑟 cofr 6771  supcsup 8206  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795  +∞cpnf 9927  *cxr 9929   < clt 9930  cle 9931  cn 10869  [,)cico 12006  cli 14011  MblFncmbf 23133  1citg1 23134  2citg2 23135  0𝑝c0p 23186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cc 9117  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-disj 4548  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-se 4987  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-isom 5798  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-of 6772  df-ofr 6773  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-omul 7429  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-acn 8628  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10536  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-q 11623  df-rp 11667  df-xneg 11780  df-xadd 11781  df-xmul 11782  df-ioo 12008  df-ioc 12009  df-ico 12010  df-icc 12011  df-fz 12155  df-fzo 12292  df-fl 12412  df-seq 12621  df-exp 12680  df-hash 12937  df-cj 13635  df-re 13636  df-im 13637  df-sqrt 13771  df-abs 13772  df-clim 14015  df-rlim 14016  df-sum 14213  df-rest 15854  df-topgen 15875  df-psmet 19507  df-xmet 19508  df-met 19509  df-bl 19510  df-mopn 19511  df-top 20468  df-bases 20469  df-topon 20470  df-cmp 20947  df-ovol 22984  df-vol 22985  df-mbf 23138  df-itg1 23139  df-itg2 23140  df-0p 23187
This theorem is referenced by:  itg2i1fseq3  23274  itg2addlem  23275
  Copyright terms: Public domain W3C validator