MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2i1fseqle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2i1fseqle 23718
Description: Subject to the conditions coming from mbfi1fseq 23685, the sequence of simple functions are all less than the target function 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2i1fseq.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
itg2i1fseq.2 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2i1fseq.3 (𝜑𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
itg2i1fseq.4 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝𝑟 ≤ (𝑃𝑛) ∧ (𝑃𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
itg2i1fseq.5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
Assertion
Ref Expression
itg2i1fseqle ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → (𝑃𝑀) ∘𝑟𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐹   𝑛,𝑀   𝑃,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem itg2i1fseqle
Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6350 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑀 → (𝑃𝑛) = (𝑃𝑀))
21fveq1d 6352 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑀 → ((𝑃𝑛)‘𝑦) = ((𝑃𝑀)‘𝑦))
3 eqid 2758 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))
4 fvex 6360 . . . . . 6 ((𝑃𝑀)‘𝑦) ∈ V
52, 3, 4fvmpt 6442 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑀) = ((𝑃𝑀)‘𝑦))
65ad2antlr 765 . . . 4 (((𝜑𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑀) = ((𝑃𝑀)‘𝑦))
7 nnuz 11914 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
8 simplr 809 . . . . 5 (((𝜑𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℕ)
9 itg2i1fseq.5 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
10 fveq2 6350 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑃𝑛)‘𝑥) = ((𝑃𝑛)‘𝑦))
1110mpteq2dv 4895 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦)))
12 fveq2 6350 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
1311, 12breq12d 4815 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)))
1413rspccva 3446 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦))
159, 14sylan 489 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦))
1615adantlr 753 . . . . 5 (((𝜑𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦))
17 fveq2 6350 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (𝑃𝑛) = (𝑃𝑘))
1817fveq1d 6352 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑃𝑛)‘𝑦) = ((𝑃𝑘)‘𝑦))
19 fvex 6360 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑘)‘𝑦) ∈ V
2018, 3, 19fvmpt 6442 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑘) = ((𝑃𝑘)‘𝑦))
2120adantl 473 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑘) = ((𝑃𝑘)‘𝑦))
22 itg2i1fseq.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
2322ffvelrnda 6520 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘) ∈ dom ∫1)
24 i1ff 23640 . . . . . . . . . 10 ((𝑃𝑘) ∈ dom ∫1 → (𝑃𝑘):ℝ⟶ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘):ℝ⟶ℝ)
2625ffvelrnda 6520 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃𝑘)‘𝑦) ∈ ℝ)
2726an32s 881 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑘)‘𝑦) ∈ ℝ)
2821, 27eqeltrd 2837 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑘) ∈ ℝ)
2928adantllr 757 . . . . 5 ((((𝜑𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑘) ∈ ℝ)
30 itg2i1fseq.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝𝑟 ≤ (𝑃𝑛) ∧ (𝑃𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
31 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((0𝑝𝑟 ≤ (𝑃𝑛) ∧ (𝑃𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))) → (𝑃𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)))
3231ralimi 3088 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝𝑟 ≤ (𝑃𝑛) ∧ (𝑃𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑃𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)))
3330, 32syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑃𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)))
34 oveq1 6818 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + 1) = (𝑘 + 1))
3534fveq2d 6354 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (𝑃‘(𝑛 + 1)) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
3617, 35breq12d 4815 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑃𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝑃𝑘) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
3736rspccva 3446 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝑃𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
3833, 37sylan 489 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
39 ffn 6204 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃𝑘):ℝ⟶ℝ → (𝑃𝑘) Fn ℝ)
4023, 24, 393syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘) Fn ℝ)
41 peano2nn 11222 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
42 ffvelrn 6518 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃:ℕ⟶dom ∫1 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ dom ∫1)
4322, 41, 42syl2an 495 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ dom ∫1)
44 i1ff 23640 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ dom ∫1 → (𝑃‘(𝑘 + 1)):ℝ⟶ℝ)
45 ffn 6204 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃‘(𝑘 + 1)):ℝ⟶ℝ → (𝑃‘(𝑘 + 1)) Fn ℝ)
4643, 44, 453syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) Fn ℝ)
47 reex 10217 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ∈ V
4847a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ℝ ∈ V)
49 inidm 3963 . . . . . . . . . . 11 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
50 eqidd 2759 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃𝑘)‘𝑦) = ((𝑃𝑘)‘𝑦))
51 eqidd 2759 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦) = ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
5240, 46, 48, 48, 49, 50, 51ofrfval 7068 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑘) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃𝑘)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦)))
5338, 52mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃𝑘)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
5453r19.21bi 3068 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃𝑘)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
5554an32s 881 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑘)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
56 fveq2 6350 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑃𝑛) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
5756fveq1d 6352 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝑃𝑛)‘𝑦) = ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
58 fvex 6360 . . . . . . . . . 10 ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦) ∈ V
5957, 3, 58fvmpt 6442 . . . . . . . . 9 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
6041, 59syl 17 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
6160adantl 473 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃‘(𝑘 + 1))‘𝑦))
6255, 21, 613brtr4d 4834 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘(𝑘 + 1)))
6362adantllr 757 . . . . 5 ((((𝜑𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘(𝑘 + 1)))
647, 8, 16, 29, 63climub 14589 . . . 4 (((𝜑𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑀) ≤ (𝐹𝑦))
656, 64eqbrtrrd 4826 . . 3 (((𝜑𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃𝑀)‘𝑦) ≤ (𝐹𝑦))
6665ralrimiva 3102 . 2 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃𝑀)‘𝑦) ≤ (𝐹𝑦))
6722ffvelrnda 6520 . . . 4 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → (𝑃𝑀) ∈ dom ∫1)
68 i1ff 23640 . . . 4 ((𝑃𝑀) ∈ dom ∫1 → (𝑃𝑀):ℝ⟶ℝ)
69 ffn 6204 . . . 4 ((𝑃𝑀):ℝ⟶ℝ → (𝑃𝑀) Fn ℝ)
7067, 68, 693syl 18 . . 3 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → (𝑃𝑀) Fn ℝ)
71 itg2i1fseq.2 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
72 icossicc 12451 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
73 fss 6215 . . . . . 6 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
7471, 72, 73sylancl 697 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
75 ffn 6204 . . . . 5 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → 𝐹 Fn ℝ)
7674, 75syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹 Fn ℝ)
7776adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → 𝐹 Fn ℝ)
7847a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → ℝ ∈ V)
79 eqidd 2759 . . 3 (((𝜑𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃𝑀)‘𝑦) = ((𝑃𝑀)‘𝑦))
80 eqidd 2759 . . 3 (((𝜑𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑦))
8170, 77, 78, 78, 49, 79, 80ofrfval 7068 . 2 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑀) ∘𝑟𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃𝑀)‘𝑦) ≤ (𝐹𝑦)))
8266, 81mpbird 247 1 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → (𝑃𝑀) ∘𝑟𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1630  wcel 2137  wral 3048  Vcvv 3338  wss 3713   class class class wbr 4802  cmpt 4879  dom cdm 5264   Fn wfn 6042  wf 6043  cfv 6047  (class class class)co 6811  𝑟 cofr 7059  cr 10125  0cc0 10126  1c1 10127   + caddc 10129  +∞cpnf 10261  cle 10265  cn 11210  [,)cico 12368  [,]cicc 12369  cli 14412  MblFncmbf 23580  1citg1 23581  0𝑝c0p 23633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-pre-sup 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-ofr 7061  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-er 7909  df-pm 8024  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-sup 8511  df-inf 8512  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-div 10875  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-n0 11483  df-z 11568  df-uz 11878  df-rp 12024  df-ico 12372  df-icc 12373  df-fz 12518  df-fl 12785  df-seq 12994  df-exp 13053  df-cj 14036  df-re 14037  df-im 14038  df-sqrt 14172  df-abs 14173  df-clim 14416  df-rlim 14417  df-sum 14614  df-itg1 23586
This theorem is referenced by:  itg2i1fseq  23719  itg2i1fseq3  23721  itg2addlem  23722
  Copyright terms: Public domain W3C validator