Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2lea Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2lea 23451
 Description: Approximate version of itg2le 23446. If 𝐹 ≤ 𝐺 for almost all 𝑥, then ∫2𝐹 ≤ ∫2𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2lea.1 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
itg2lea.2 (𝜑𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
itg2lea.3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
itg2lea.4 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
itg2lea.5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
Assertion
Ref Expression
itg2lea (𝜑 → (∫2𝐹) ≤ (∫2𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg2lea
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2lea.2 . . . . . 6 (𝜑𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
21adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
3 simprl 793 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → 𝑓 ∈ dom ∫1)
4 itg2lea.3 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
54adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
6 itg2lea.4 . . . . . 6 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
76adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → (vol*‘𝐴) = 0)
8 i1ff 23383 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓:ℝ⟶ℝ)
98ad2antrl 763 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
10 eldifi 3716 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
11 ffvelrn 6323 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
129, 10, 11syl2an 494 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
1312rexrd 10049 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ*)
14 iccssxr 12214 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
15 itg2lea.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
1615adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
17 ffvelrn 6323 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞))
1816, 10, 17syl2an 494 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞))
1914, 18sseldi 3586 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
20 ffvelrn 6323 . . . . . . . 8 ((𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺𝑥) ∈ (0[,]+∞))
212, 10, 20syl2an 494 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺𝑥) ∈ (0[,]+∞))
2214, 21sseldi 3586 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ*)
23 simprr 795 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → 𝑓𝑟𝐹)
24 ffn 6012 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:ℝ⟶ℝ → 𝑓 Fn ℝ)
259, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → 𝑓 Fn ℝ)
26 ffn 6012 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → 𝐹 Fn ℝ)
2716, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → 𝐹 Fn ℝ)
28 reex 9987 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ V
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → ℝ ∈ V)
30 inidm 3806 . . . . . . . . . 10 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
31 eqidd 2622 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓𝑥) = (𝑓𝑥))
32 eqidd 2622 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
3325, 27, 29, 29, 30, 31, 32ofrfval 6870 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → (𝑓𝑟𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ≤ (𝐹𝑥)))
3423, 33mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
3534r19.21bi 2928 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
3610, 35sylan2 491 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝑓𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
37 itg2lea.5 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
3837adantlr 750 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
3913, 19, 22, 36, 38xrletrd 11953 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝑓𝑥) ≤ (𝐺𝑥))
402, 3, 5, 7, 39itg2uba 23450 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → (∫1𝑓) ≤ (∫2𝐺))
4140expr 642 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓𝑟𝐹 → (∫1𝑓) ≤ (∫2𝐺)))
4241ralrimiva 2962 . 2 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 → (∫1𝑓) ≤ (∫2𝐺)))
43 itg2cl 23439 . . . 4 (𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2𝐺) ∈ ℝ*)
441, 43syl 17 . . 3 (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ*)
45 itg2leub 23441 . . 3 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2𝐺) ∈ ℝ*) → ((∫2𝐹) ≤ (∫2𝐺) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 → (∫1𝑓) ≤ (∫2𝐺))))
4615, 44, 45syl2anc 692 . 2 (𝜑 → ((∫2𝐹) ≤ (∫2𝐺) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 → (∫1𝑓) ≤ (∫2𝐺))))
4742, 46mpbird 247 1 (𝜑 → (∫2𝐹) ≤ (∫2𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2908  Vcvv 3190   ∖ cdif 3557   ⊆ wss 3560   class class class wbr 4623  dom cdm 5084   Fn wfn 5852  ⟶wf 5853  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615   ∘𝑟 cofr 6861  ℝcr 9895  0cc0 9896  +∞cpnf 10031  ℝ*cxr 10033   ≤ cle 10035  [,]cicc 12136  vol*covol 23171  ∫1citg1 23324  ∫2citg2 23325 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-disj 4594  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-ofr 6863  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-ioo 12137  df-ico 12139  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-clim 14169  df-sum 14367  df-rest 16023  df-topgen 16044  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-top 20639  df-topon 20656  df-bases 20690  df-cmp 21130  df-ovol 23173  df-vol 23174  df-mbf 23328  df-itg1 23329  df-itg2 23330 This theorem is referenced by:  itg2eqa  23452
 Copyright terms: Public domain W3C validator