MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2leub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2leub 23402
Description: Any upper bound on the integrals of all simple functions 𝐺 dominated by 𝐹 is greater than (∫2𝐹), the least upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2leub ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((∫2𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑔,𝐹

Proof of Theorem itg2leub
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2626 . . . . 5 {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔))} = {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}
21itg2val 23396 . . . 4 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2𝐹) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ))
32adantr 481 . . 3 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (∫2𝐹) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ))
43breq1d 4628 . 2 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((∫2𝐹) ≤ 𝐴 ↔ sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴))
51itg2lcl 23395 . . . . 5 {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔))} ⊆ ℝ*
6 supxrleub 12096 . . . . 5 (({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔))} ⊆ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}𝑧𝐴))
75, 6mpan 705 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}𝑧𝐴))
87adantl 482 . . 3 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}𝑧𝐴))
9 eqeq1 2630 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = (∫1𝑔) ↔ 𝑧 = (∫1𝑔)))
109anbi2d 739 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔)) ↔ (𝑔𝑟𝐹𝑧 = (∫1𝑔))))
1110rexbidv 3050 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔)) ↔ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑧 = (∫1𝑔))))
1211ralab 3354 . . . 4 (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}𝑧𝐴 ↔ ∀𝑧(∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴))
13 r19.23v 3021 . . . . . . 7 (∀𝑔 ∈ dom ∫1((𝑔𝑟𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴) ↔ (∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴))
14 ancomst 468 . . . . . . . . 9 (((𝑔𝑟𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴) ↔ ((𝑧 = (∫1𝑔) ∧ 𝑔𝑟𝐹) → 𝑧𝐴))
15 impexp 462 . . . . . . . . 9 (((𝑧 = (∫1𝑔) ∧ 𝑔𝑟𝐹) → 𝑧𝐴) ↔ (𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔𝑟𝐹𝑧𝐴)))
1614, 15bitri 264 . . . . . . . 8 (((𝑔𝑟𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴) ↔ (𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔𝑟𝐹𝑧𝐴)))
1716ralbii 2979 . . . . . . 7 (∀𝑔 ∈ dom ∫1((𝑔𝑟𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔𝑟𝐹𝑧𝐴)))
1813, 17bitr3i 266 . . . . . 6 ((∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔𝑟𝐹𝑧𝐴)))
1918albii 1744 . . . . 5 (∀𝑧(∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴) ↔ ∀𝑧𝑔 ∈ dom ∫1(𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔𝑟𝐹𝑧𝐴)))
20 ralcom4 3215 . . . . . 6 (∀𝑔 ∈ dom ∫1𝑧(𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔𝑟𝐹𝑧𝐴)) ↔ ∀𝑧𝑔 ∈ dom ∫1(𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔𝑟𝐹𝑧𝐴)))
21 fvex 6160 . . . . . . . 8 (∫1𝑔) ∈ V
22 breq1 4621 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑧𝐴 ↔ (∫1𝑔) ≤ 𝐴))
2322imbi2d 330 . . . . . . . 8 (𝑧 = (∫1𝑔) → ((𝑔𝑟𝐹𝑧𝐴) ↔ (𝑔𝑟𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴)))
2421, 23ceqsalv 3224 . . . . . . 7 (∀𝑧(𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔𝑟𝐹𝑧𝐴)) ↔ (𝑔𝑟𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴))
2524ralbii 2979 . . . . . 6 (∀𝑔 ∈ dom ∫1𝑧(𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔𝑟𝐹𝑧𝐴)) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴))
2620, 25bitr3i 266 . . . . 5 (∀𝑧𝑔 ∈ dom ∫1(𝑧 = (∫1𝑔) → (𝑔𝑟𝐹𝑧𝐴)) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴))
2719, 26bitri 264 . . . 4 (∀𝑧(∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑧 = (∫1𝑔)) → 𝑧𝐴) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴))
2812, 27bitri 264 . . 3 (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}𝑧𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴))
298, 28syl6bb 276 . 2 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴)))
304, 29bitrd 268 1 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((∫2𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹 → (∫1𝑔) ≤ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  wal 1478   = wceq 1480  wcel 1992  {cab 2612  wral 2912  wrex 2913  wss 3560   class class class wbr 4618  dom cdm 5079  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  𝑟 cofr 6850  supcsup 8291  cr 9880  0cc0 9881  +∞cpnf 10016  *cxr 10018   < clt 10019  cle 10020  [,]cicc 12117  1citg1 23285  2citg2 23286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xadd 11891  df-ioo 12118  df-ico 12120  df-icc 12121  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-fl 12530  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-clim 14148  df-sum 14346  df-xmet 19653  df-met 19654  df-ovol 23135  df-vol 23136  df-mbf 23289  df-itg1 23290  df-itg2 23291
This theorem is referenced by:  itg2itg1  23404  itg2le  23407  itg2seq  23410  itg2lea  23412  itg2mulclem  23414  itg2splitlem  23416  itg2split  23417  itg2mono  23421  ftc1anclem5  33088
  Copyright terms: Public domain W3C validator