Theorem itg2monolem2 24355

Description: Lemma for itg2mono 24357. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2mono.1	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
itg2mono.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ MblFn)
itg2mono.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2mono.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∘r ≤ (𝐹‘(𝑛 + 1)))
itg2mono.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦)
itg2mono.6	⊢ 𝑆 = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < )
itg2monolem2.7	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ dom ∫1)
itg2monolem2.8	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∘r ≤ 𝐺)
itg2monolem2.9	⊢ (𝜑 → ¬ (∫1‘𝑃) ≤ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
itg2monolem2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐺   𝑃,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝐹,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑥,𝑦   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦

Proof of Theorem itg2monolem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2mono.6	. . 3 ⊢ 𝑆 = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < )
2		itg2mono.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞))
3		icossicc 12827	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
4		fss 6530	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞))
5	2, 3, 4	sylancl 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞))
6		itg2cl 24336	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ*)
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫2‘(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ*)
8	7	fmpttd 6882	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))):ℕ⟶ℝ*)
9	8	frnd 6524	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) ⊆ ℝ*)
10		supxrcl 12711	. . . 4 ⊢ (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) ⊆ ℝ* → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
12	1, 11	eqeltrid 2920	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ*)
13		itg2monolem2.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ dom ∫1)
14		itg1cl 24289	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝑃) ∈ ℝ)
15	13, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝑃) ∈ ℝ)
16		mnfxr 10701	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
18		fveq2 6673	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘1))
19	18	feq1d 6502	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞) ↔ (𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞)))
20	5	ralrimiva 3185	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛):ℝ⟶(0[,]+∞))
21		1nn 11652	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
23	19, 20, 22	rspcdva 3628	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞))
24		itg2cl 24336	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ*)
25	23, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ*)
26		itg2ge0 24339	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘1):ℝ⟶(0[,]+∞) → 0 ≤ (∫2‘(𝐹‘1)))
27	23, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (∫2‘(𝐹‘1)))
28		mnflt0 12523	. . . . 5 ⊢ -∞ < 0
29		0xr 10691	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
30		xrltletr 12553	. . . . . 6 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ℝ*) → ((-∞ < 0 ∧ 0 ≤ (∫2‘(𝐹‘1))) → -∞ < (∫2‘(𝐹‘1))))
31	16, 29, 25, 30	mp3an12i 1461	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-∞ < 0 ∧ 0 ≤ (∫2‘(𝐹‘1))) → -∞ < (∫2‘(𝐹‘1))))
32	28, 31	mpani 694	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (∫2‘(𝐹‘1)) → -∞ < (∫2‘(𝐹‘1))))
33	27, 32	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → -∞ < (∫2‘(𝐹‘1)))
34		2fveq3 6678	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (∫2‘(𝐹‘𝑛)) = (∫2‘(𝐹‘1)))
35		eqid 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))
36		fvex 6686	. . . . . . . 8 ⊢ (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ V
37	34, 35, 36	fvmpt 6771	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))‘1) = (∫2‘(𝐹‘1)))
38	21, 37	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))‘1) = (∫2‘(𝐹‘1))
39	8	ffnd 6518	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) Fn ℕ)
40		fnfvelrn 6851	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) Fn ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))‘1) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))))
41	39, 21, 40	sylancl 588	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))‘1) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))))
42	38, 41	eqeltrrid 2921	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))))
43		supxrub 12720	. . . . 5 ⊢ ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))) ⊆ ℝ* ∧ (∫2‘(𝐹‘1)) ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛)))) → (∫2‘(𝐹‘1)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < ))
44	9, 42, 43	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫2‘(𝐹‘𝑛))), ℝ*, < ))
45	44, 1	breqtrrdi 5111	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹‘1)) ≤ 𝑆)
46	17, 25, 12, 33, 45	xrltletrd 12557	. 2 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝑆)
47	15	rexrd 10694	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝑃) ∈ ℝ*)
48		itg2monolem2.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (∫1‘𝑃) ≤ 𝑆)
49		xrltnle 10711	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ (∫1‘𝑃) ∈ ℝ*) → (𝑆 < (∫1‘𝑃) ↔ ¬ (∫1‘𝑃) ≤ 𝑆))
50	12, 47, 49	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 < (∫1‘𝑃) ↔ ¬ (∫1‘𝑃) ≤ 𝑆))
51	48, 50	mpbird 259	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 < (∫1‘𝑃))
52	12, 47, 51	xrltled 12546	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≤ (∫1‘𝑃))
53		xrre 12565	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ* ∧ (∫1‘𝑃) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝑆 ∧ 𝑆 ≤ (∫1‘𝑃))) → 𝑆 ∈ ℝ)
54	12, 15, 46, 52, 53	syl22anc 836	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∀wral 3141  ∃wrex 3142   ⊆ wss 3939   class class class wbr 5069   ↦ cmpt 5149  dom cdm 5558  ran crn 5559   Fn wfn 6353  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159   ∘_r cofr 7411  supcsup 8907  ℝcr 10539  0cc0 10540  1c1 10541   + caddc 10543  +∞cpnf 10675  -∞cmnf 10676  ℝ^*cxr 10677   < clt 10678   ≤ cle 10679  ℕcn 11641  [,)cico 12743  [,]cicc 12744  MblFncmbf 24218  ∫₁citg1 24219  ∫₂citg2 24220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-inf2 9107  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-of 7412  df-ofr 7413  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-2o 8106  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-pm 8412  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-sup 8909  df-inf 8910  df-oi 8977  df-dju 9333  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xadd 12511  df-ioo 12745  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-clim 14848  df-sum 15046  df-xmet 20541  df-met 20542  df-ovol 24068  df-vol 24069  df-mbf 24223  df-itg1 24224  df-itg2 24225

This theorem is referenced by:  itg2monolem3  24356