Theorem itg2mulc 24342

Description: The integral of a nonnegative constant times a function is the constant times the integral of the original function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2mulc.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2mulc.3	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
itg2mulc.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
itg2mulc	⊢ (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2‘𝐹)))

Proof of Theorem itg2mulc

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2mulc.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
2	1	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
3		itg2mulc.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
4	3	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
5		itg2mulc.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
6		elrege0 12836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
7	5, 6	sylib 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
8	7	simpld 497	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	anim1i 616	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
10		elrp 12385	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
11	9, 10	sylibr 236	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
12	2, 4, 11	itg2mulclem 24341	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)))
13		ge0mulcl 12843	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
14	13	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
15		fconst6g 6563	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶(0[,)+∞))
16	5, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶(0[,)+∞))
17		reex 10622	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
19		inidm 4195	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
20	14, 16, 1, 18, 18, 19	off 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞))
21	20	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞))
22		icossicc 12818	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
23		fss 6522	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞))
24	20, 22, 23	sylancl 588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞))
25	24	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞))
26	8, 3	remulcld 10665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∈ ℝ)
27	26	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∈ ℝ)
28		itg2lecl 24333	. . . . . . 7 ⊢ ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∈ ℝ ∧ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹))) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ∈ ℝ)
29	25, 27, 12, 28	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ∈ ℝ)
30	11	rpreccld 12435	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
31	21, 29, 30	itg2mulclem 24341	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))) ≤ ((1 / 𝐴) · (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))))
32	2	feqmptd 6728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑦)))
33		rge0ssre 12838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
34		ax-resscn 10588	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
35	33, 34	sstri 3976	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
36		fss 6522	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
37	1, 35, 36	sylancl 588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
38	37	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
39	38	ffvelrnda 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ)
40	39	mulid2d 10653	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 · (𝐹‘𝑦)) = (𝐹‘𝑦))
41	40	mpteq2dva 5154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 · (𝐹‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑦)))
42	32, 41	eqtr4d 2859	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 · (𝐹‘𝑦))))
43	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ℝ ∈ V)
44		1red 10636	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
45	43, 30, 11	ofc12 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · (ℝ × {𝐴})) = (ℝ × {((1 / 𝐴) · 𝐴)}))
46		fconstmpt 5609	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ × {((1 / 𝐴) · 𝐴)}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 𝐴) · 𝐴))
47	45, 46	syl6eq 2872	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · (ℝ × {𝐴})) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 𝐴) · 𝐴)))
48	8	recnd 10663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
49	48	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
50	11	rpne0d 12430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
51	49, 50	recid2d 11406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
52	51	mpteq2dv 5155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 𝐴) · 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
53	47, 52	eqtrd 2856	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · (ℝ × {𝐴})) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
54	43, 44, 39, 53, 32	offval2 7420	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · (ℝ × {𝐴})) ∘f · 𝐹) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 · (𝐹‘𝑦))))
55	30	rpcnd 12427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
56		fconst6g 6563	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 𝐴) ∈ ℂ → (ℝ × {(1 / 𝐴)}):ℝ⟶ℂ)
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (ℝ × {(1 / 𝐴)}):ℝ⟶ℂ)
58		fconst6g 6563	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶ℂ)
59	49, 58	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶ℂ)
60		mulass 10619	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
61	60	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
62	43, 57, 59, 38, 61	caofass 7437	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · (ℝ × {𝐴})) ∘f · 𝐹) = ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))
63	42, 54, 62	3eqtr2d 2862	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐹 = ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))
64	63	fveq2d 6669	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘𝐹) = (∫2‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘f · ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))))
65	29	recnd 10663	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ∈ ℂ)
66	65, 49, 50	divrec2d 11414	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) / 𝐴) = ((1 / 𝐴) · (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))))
67	31, 64, 66	3brtr4d 5091	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) / 𝐴))
68	4, 29, 11	lemuldiv2d 12475	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 · (∫2‘𝐹)) ≤ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ↔ (∫2‘𝐹) ≤ ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) / 𝐴)))
69	67, 68	mpbird 259	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ≤ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))
70		itg2cl 24327	. . . . . 6 ⊢ (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ∈ ℝ*)
71	24, 70	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ∈ ℝ*)
72	26	rexrd 10685	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∈ ℝ*)
73		xrletri3 12541	. . . . 5 ⊢ (((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∈ ℝ*) → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ↔ ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∧ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ≤ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))))
74	71, 72, 73	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ↔ ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∧ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ≤ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))))
75	74	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ↔ ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ∧ (𝐴 · (∫2‘𝐹)) ≤ (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))))
76	12, 69, 75	mpbir2and 711	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2‘𝐹)))
77	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → ℝ ∈ V)
78	37	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
79	8	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
80		0re 10637	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
81	80	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
82		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 = 𝐴)
83	82	oveq1d 7165	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑥))
84		mul02 10812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 · 𝑥) = 0)
85	84	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝑥) = 0)
86	83, 85	eqtr3d 2858	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑥) = 0)
87	77, 78, 79, 81, 86	caofid2 7434	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) = (ℝ × {0}))
88	87	fveq2d 6669	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (∫2‘(ℝ × {0})))
89		itg20 24332	. . . 4 ⊢ (∫2‘(ℝ × {0})) = 0
90	88, 89	syl6eq 2872	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = 0)
91	3	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
92	91	recnd 10663	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (∫2‘𝐹) ∈ ℂ)
93	92	mul02d 10832	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (0 · (∫2‘𝐹)) = 0)
94		simpr 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 0 = 𝐴)
95	94	oveq1d 7165	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (0 · (∫2‘𝐹)) = (𝐴 · (∫2‘𝐹)))
96	90, 93, 95	3eqtr2d 2862	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2‘𝐹)))
97	7	simprd 498	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
98		leloe 10721	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
99	80, 8, 98	sylancr 589	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
100	97, 99	mpbid 234	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
101	76, 96, 100	mpjaodan 955	1 ⊢ (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫2‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3495   ⊆ wss 3936  {csn 4561   class class class wbr 5059   ↦ cmpt 5139   × cxp 5548  ⟶wf 6346  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150   ∘_f cof 7401  ℂcc 10529  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   · cmul 10536  +∞cpnf 10666  ℝ^*cxr 10668   < clt 10669   ≤ cle 10670   / cdiv 11291  ℝ⁺crp 12383  [,)cico 12734  [,]cicc 12735  ∫₂citg2 24211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-disj 5025  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-ofr 7404  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xadd 12502  df-ioo 12736  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-sum 15037  df-xmet 20532  df-met 20533  df-ovol 24059  df-vol 24060  df-mbf 24214  df-itg1 24215  df-itg2 24216  df-0p 24265

This theorem is referenced by:  iblmulc2  24425  itgmulc2lem1  24426  bddmulibl  24433  iblmulc2nc  34951  itgmulc2nclem1  34952