MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2mulclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2mulclem 23426
Description: Lemma for itg2mulc 23427. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2mulc.2 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2mulc.3 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
itg2mulclem.4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
itg2mulclem (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹)))

Proof of Theorem itg2mulclem
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2mulc.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
2 icossicc 12205 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
3 fss 6015 . . . . . . 7 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
41, 2, 3sylancl 693 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
54adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
6 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓 ∈ dom ∫1)
7 itg2mulclem.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
87rpreccld 11829 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
98adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
109rpred 11819 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
116, 10i1fmulc 23383 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓) ∈ dom ∫1)
12 itg2ub 23413 . . . . . 6 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓) ∈ dom ∫1 ∧ ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓) ∘𝑟𝐹) → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓)) ≤ (∫2𝐹))
13123expia 1264 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓) ∈ dom ∫1) → (((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓) ∘𝑟𝐹 → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓)) ≤ (∫2𝐹)))
145, 11, 13syl2anc 692 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓) ∘𝑟𝐹 → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓)) ≤ (∫2𝐹)))
15 i1ff 23356 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓:ℝ⟶ℝ)
1615adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
1716ffvelrnda 6317 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓𝑦) ∈ ℝ)
18 rge0ssre 12225 . . . . . . . . . . 11 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
19 fss 6015 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
201, 18, 19sylancl 693 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
2120adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2221ffvelrnda 6317 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
237rpred 11819 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2423ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
257rpgt0d 11822 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 𝐴)
2625ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 0 < 𝐴)
27 ledivmul 10846 . . . . . . . 8 (((𝑓𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (((𝑓𝑦) / 𝐴) ≤ (𝐹𝑦) ↔ (𝑓𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹𝑦))))
2817, 22, 24, 26, 27syl112anc 1327 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑓𝑦) / 𝐴) ≤ (𝐹𝑦) ↔ (𝑓𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹𝑦))))
2917recnd 10015 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑓𝑦) ∈ ℂ)
3024recnd 10015 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
317adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐴 ∈ ℝ+)
3231rpne0d 11824 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐴 ≠ 0)
3332adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
3429, 30, 33divrec2d 10752 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑓𝑦) / 𝐴) = ((1 / 𝐴) · (𝑓𝑦)))
3534breq1d 4625 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑓𝑦) / 𝐴) ≤ (𝐹𝑦) ↔ ((1 / 𝐴) · (𝑓𝑦)) ≤ (𝐹𝑦)))
3628, 35bitr3d 270 . . . . . 6 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑓𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹𝑦)) ↔ ((1 / 𝐴) · (𝑓𝑦)) ≤ (𝐹𝑦)))
3736ralbidva 2979 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑓𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((1 / 𝐴) · (𝑓𝑦)) ≤ (𝐹𝑦)))
38 reex 9974 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
3938a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ℝ ∈ V)
40 ovex 6635 . . . . . . 7 (𝐴 · (𝐹𝑦)) ∈ V
4140a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 · (𝐹𝑦)) ∈ V)
4216feqmptd 6208 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑓 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑦)))
437ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
44 fconstmpt 5125 . . . . . . . 8 (ℝ × {𝐴}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝐴)
4544a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (ℝ × {𝐴}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝐴))
461feqmptd 6208 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑦)))
4746adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑦)))
4839, 43, 22, 45, 47offval2 6870 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐹𝑦))))
4939, 17, 41, 42, 48ofrfval2 6871 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓𝑟 ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑓𝑦) ≤ (𝐴 · (𝐹𝑦))))
50 ovex 6635 . . . . . . 7 ((1 / 𝐴) · (𝑓𝑦)) ∈ V
5150a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 / 𝐴) · (𝑓𝑦)) ∈ V)
528ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
53 fconstmpt 5125 . . . . . . . 8 (ℝ × {(1 / 𝐴)}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 / 𝐴))
5453a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (ℝ × {(1 / 𝐴)}) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 / 𝐴)))
5539, 52, 17, 54, 42offval2 6870 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((1 / 𝐴) · (𝑓𝑦))))
5639, 51, 22, 55, 47ofrfval2 6871 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓) ∘𝑟𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((1 / 𝐴) · (𝑓𝑦)) ≤ (𝐹𝑦)))
5737, 49, 563bitr4d 300 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓𝑟 ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ↔ ((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓) ∘𝑟𝐹))
586, 10itg1mulc 23384 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓)) = ((1 / 𝐴) · (∫1𝑓)))
59 itg1cl 23365 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (∫1𝑓) ∈ ℝ)
6059adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫1𝑓) ∈ ℝ)
6160recnd 10015 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫1𝑓) ∈ ℂ)
6223adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐴 ∈ ℝ)
6362recnd 10015 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝐴 ∈ ℂ)
6461, 63, 32divrec2d 10752 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ((∫1𝑓) / 𝐴) = ((1 / 𝐴) · (∫1𝑓)))
6558, 64eqtr4d 2658 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓)) = ((∫1𝑓) / 𝐴))
6665breq1d 4625 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ((∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓)) ≤ (∫2𝐹) ↔ ((∫1𝑓) / 𝐴) ≤ (∫2𝐹)))
67 itg2mulc.3 . . . . . . 7 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
6867adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
6925adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 0 < 𝐴)
70 ledivmul 10846 . . . . . 6 (((∫1𝑓) ∈ ℝ ∧ (∫2𝐹) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (((∫1𝑓) / 𝐴) ≤ (∫2𝐹) ↔ (∫1𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹))))
7160, 68, 62, 69, 70syl112anc 1327 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (((∫1𝑓) / 𝐴) ≤ (∫2𝐹) ↔ (∫1𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹))))
7266, 71bitr2d 269 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ((∫1𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹)) ↔ (∫1‘((ℝ × {(1 / 𝐴)}) ∘𝑓 · 𝑓)) ≤ (∫2𝐹)))
7314, 57, 723imtr4d 283 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓𝑟 ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) → (∫1𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹))))
7473ralrimiva 2960 . 2 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟 ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) → (∫1𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹))))
75 ge0mulcl 12230 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
7675adantl 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
77 fconstg 6051 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
787, 77syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
79 rpre 11786 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
80 rpge0 11792 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
81 elrege0 12223 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
8279, 80, 81sylanbrc 697 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ (0[,)+∞))
837, 82syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (0[,)+∞))
8483snssd 4311 . . . . . 6 (𝜑 → {𝐴} ⊆ (0[,)+∞))
8578, 84fssd 6016 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶(0[,)+∞))
8638a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ∈ V)
87 inidm 3802 . . . . 5 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
8876, 85, 1, 86, 86, 87off 6868 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞))
89 fss 6015 . . . 4 ((((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞))
9088, 2, 89sylancl 693 . . 3 (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞))
9123, 67remulcld 10017 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · (∫2𝐹)) ∈ ℝ)
9291rexrd 10036 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · (∫2𝐹)) ∈ ℝ*)
93 itg2leub 23414 . . 3 ((((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝐴 · (∫2𝐹)) ∈ ℝ*) → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟 ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) → (∫1𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹)))))
9490, 92, 93syl2anc 692 . 2 (𝜑 → ((∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟 ≤ ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) → (∫1𝑓) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹)))))
9574, 94mpbird 247 1 (𝜑 → (∫2‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) ≤ (𝐴 · (∫2𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  Vcvv 3186  wss 3556  {csn 4150   class class class wbr 4615  cmpt 4675   × cxp 5074  dom cdm 5076  wf 5845  cfv 5849  (class class class)co 6607  𝑓 cof 6851  𝑟 cofr 6852  cr 9882  0cc0 9883  1c1 9884   · cmul 9888  +∞cpnf 10018  *cxr 10020   < clt 10021  cle 10022   / cdiv 10631  +crp 11779  [,)cico 12122  [,]cicc 12123  1citg1 23297  2citg2 23298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-inf2 8485  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-se 5036  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-isom 5858  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-of 6853  df-ofr 6854  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-2o 7509  df-oadd 7512  df-er 7690  df-map 7807  df-pm 7808  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-sup 8295  df-inf 8296  df-oi 8362  df-card 8712  df-cda 8937  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-q 11736  df-rp 11780  df-xadd 11894  df-ioo 12124  df-ico 12126  df-icc 12127  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-fl 12536  df-seq 12745  df-exp 12804  df-hash 13061  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-clim 14156  df-sum 14354  df-xmet 19661  df-met 19662  df-ovol 23146  df-vol 23147  df-mbf 23301  df-itg1 23302  df-itg2 23303
This theorem is referenced by:  itg2mulc  23427
  Copyright terms: Public domain W3C validator