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Theorem itg2split 23715
Description: The 2 integral splits under an almost disjoint union. (The proof avoids the use of itg2add 23725 which requires CC.) (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2split.a (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
itg2split.b (𝜑𝐵 ∈ dom vol)
itg2split.i (𝜑 → (vol*‘(𝐴𝐵)) = 0)
itg2split.u (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
itg2split.c ((𝜑𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
itg2split.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
itg2split.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
itg2split.h 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
itg2split.sf (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
itg2split.sg (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
itg2split (𝜑 → (∫2𝐻) = ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑈
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem itg2split
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2split.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
2 itg2split.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ dom vol)
3 itg2split.i . . 3 (𝜑 → (vol*‘(𝐴𝐵)) = 0)
4 itg2split.u . . 3 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
5 itg2split.c . . 3 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
6 itg2split.f . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
7 itg2split.g . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
8 itg2split.h . . 3 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
9 itg2split.sf . . 3 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
10 itg2split.sg . . 3 (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10itg2splitlem 23714 . 2 (𝜑 → (∫2𝐻) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
1210adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
135adantlr 753 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
14 0e0iccpnf 12476 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ (0[,]+∞)
1514a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝑈) → 0 ∈ (0[,]+∞))
1613, 15ifclda 4264 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
1716, 8fmptd 6548 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞))
189, 10readdcld 10261 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∈ ℝ)
19 itg2lecl 23704 . . . . . . . . 9 ((𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∈ ℝ ∧ (∫2𝐻) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺))) → (∫2𝐻) ∈ ℝ)
2017, 18, 11, 19syl3anc 1477 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∫2𝐻) ∈ ℝ)
2120adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → (∫2𝐻) ∈ ℝ)
22 itg1cl 23651 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (∫1𝑓) ∈ ℝ)
2322ad2antrl 766 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → (∫1𝑓) ∈ ℝ)
24 simprll 821 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → 𝑓 ∈ dom ∫1)
25 simprrl 823 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → 𝑔 ∈ dom ∫1)
2624, 25itg1add 23667 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → (∫1‘(𝑓𝑓 + 𝑔)) = ((∫1𝑓) + (∫1𝑔)))
2717adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → 𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞))
2824, 25i1fadd 23661 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → (𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ dom ∫1)
29 inss1 3976 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
30 mblss 23499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
311, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
3229, 31syl5ss 3755 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
3332adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → (𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
343adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → (vol*‘(𝐴𝐵)) = 0)
35 nfv 1992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥𝜑
36 nfv 1992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 𝑓 ∈ dom ∫1
37 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥𝑓
38 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥𝑟
39 nfmpt1 4899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
406, 39nfcxfr 2900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥𝐹
4137, 38, 40nfbr 4851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 𝑓𝑟𝐹
4236, 41nfan 1977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥(𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)
43 nfv 1992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 𝑔 ∈ dom ∫1
44 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥𝑔
45 nfmpt1 4899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
467, 45nfcxfr 2900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥𝐺
4744, 38, 46nfbr 4851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 𝑔𝑟𝐺
4843, 47nfan 1977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥(𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺)
4942, 48nfan 1977 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))
5035, 49nfan 1977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥(𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺)))
51 eldifi 3875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
52 i1ff 23642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓:ℝ⟶ℝ)
5324, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
54 ffn 6206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓:ℝ⟶ℝ → 𝑓 Fn ℝ)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → 𝑓 Fn ℝ)
56 i1ff 23642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔:ℝ⟶ℝ)
5725, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → 𝑔:ℝ⟶ℝ)
58 ffn 6206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑔:ℝ⟶ℝ → 𝑔 Fn ℝ)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → 𝑔 Fn ℝ)
60 reex 10219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ℝ ∈ V
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → ℝ ∈ V)
62 inidm 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
63 eqidd 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓𝑥) = (𝑓𝑥))
64 eqidd 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑔𝑥) = (𝑔𝑥))
6555, 59, 61, 61, 62, 63, 64ofval 7071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑓𝑓 + 𝑔)‘𝑥) = ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)))
6651, 65sylan2 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ((𝑓𝑓 + 𝑔)‘𝑥) = ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)))
67 ffvelrn 6520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑓:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
6853, 51, 67syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
69 ffvelrn 6520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑔:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑔𝑥) ∈ ℝ)
7057, 51, 69syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑔𝑥) ∈ ℝ)
7168, 70readdcld 10261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ∈ ℝ)
7271rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ∈ ℝ*)
7372adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ∈ ℝ*)
7468adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
7574rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ*)
76 iccssxr 12449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
77 ffvelrn 6520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐻𝑥) ∈ (0[,]+∞))
7827, 51, 77syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝐻𝑥) ∈ (0[,]+∞))
7976, 78sseldi 3742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝐻𝑥) ∈ ℝ*)
8079adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) ∈ ℝ*)
8170adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ∈ ℝ)
82 0red 10233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ∈ ℝ)
83 simprrr 824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → 𝑔𝑟𝐺)
8460a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑔 Fn ℝ) → ℝ ∈ V)
85 fvexd 6364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑔 Fn ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑔𝑥) ∈ V)
86 ssun2 3920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
8786, 4syl5sseqr 3795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝜑𝐵𝑈)
8887sselda 3744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝑈)
8988adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝑈)
9089, 13syldan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
9114a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → 0 ∈ (0[,]+∞))
9290, 91ifclda 4264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐵, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
9392adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑔 Fn ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐵, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
94 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑔 Fn ℝ) → 𝑔 Fn ℝ)
95 dffn5 6403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑔 Fn ℝ ↔ 𝑔 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑔𝑥)))
9694, 95sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑔 Fn ℝ) → 𝑔 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑔𝑥)))
977a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑔 Fn ℝ) → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0)))
9884, 85, 93, 96, 97ofrfval2 7080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑔 Fn ℝ) → (𝑔𝑟𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑔𝑥) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0)))
9959, 98syldan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → (𝑔𝑟𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑔𝑥) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0)))
10083, 99mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑔𝑥) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
101100r19.21bi 3070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑔𝑥) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
10251, 101sylan2 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑔𝑥) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
103102adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
104 eldifn 3876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵))
105104adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵))
106 elin 3939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
107105, 106sylnib 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
108 imnan 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥𝐴 → ¬ 𝑥𝐵) ↔ ¬ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
109107, 108sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑥𝐴 → ¬ 𝑥𝐵))
110109imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → ¬ 𝑥𝐵)
111110iffalsed 4241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐵, 𝐶, 0) = 0)
112103, 111breqtrd 4830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ≤ 0)
11381, 82, 74, 112leadd2dd 10834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ≤ ((𝑓𝑥) + 0))
11474recnd 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ ℂ)
115114addid1d 10428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑓𝑥) + 0) = (𝑓𝑥))
116113, 115breqtrd 4830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ≤ (𝑓𝑥))
117 simprlr 822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → 𝑓𝑟𝐹)
11860a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑓 Fn ℝ) → ℝ ∈ V)
119 fvexd 6364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑓 Fn ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓𝑥) ∈ V)
120 ssun1 3919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
121120, 4syl5sseqr 3795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜑𝐴𝑈)
122121sselda 3744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝑈)
123122adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝑈)
124123, 13syldan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
12514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,]+∞))
126124, 125ifclda 4264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
127126adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑓 Fn ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
128 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑓 Fn ℝ) → 𝑓 Fn ℝ)
129 dffn5 6403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑓 Fn ℝ ↔ 𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑥)))
130128, 129sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑓 Fn ℝ) → 𝑓 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑥)))
1316a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑓 Fn ℝ) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))
132118, 119, 127, 130, 131ofrfval2 7080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑓 Fn ℝ) → (𝑓𝑟𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))
13355, 132syldan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → (𝑓𝑟𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)))
134117, 133mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
135134r19.21bi 3070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
13651, 135sylan2 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
137136adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
138121ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → 𝐴𝑈)
139138sselda 3744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝑈)
140139iftrued 4238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) = 𝐶)
141 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
14216adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞))
1438fvmpt2 6453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) ∈ (0[,]+∞)) → (𝐻𝑥) = if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
144141, 142, 143syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐻𝑥) = if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
14551, 144sylan2 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → (𝐻𝑥) = if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
146145adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) = if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
147 iftrue 4236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
148147adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
149140, 146, 1483eqtr4d 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) = if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
150137, 149breqtrrd 4832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ≤ (𝐻𝑥))
15173, 75, 80, 116, 150xrletrd 12186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ≤ (𝐻𝑥))
15272adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ∈ ℝ*)
15370adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ∈ ℝ)
154153rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ∈ ℝ*)
15579adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) ∈ ℝ*)
15668adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
157 0red 10233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ ℝ)
158136adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0))
159 iffalse 4239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 0)
160159adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 0)
161158, 160breqtrd 4830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ≤ 0)
162156, 157, 153, 161leadd1dd 10833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ≤ (0 + (𝑔𝑥)))
163153recnd 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ∈ ℂ)
164163addid2d 10429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (0 + (𝑔𝑥)) = (𝑔𝑥))
165162, 164breqtrd 4830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ≤ (𝑔𝑥))
166102adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ≤ if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
167145adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) = if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
1684ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝑈 = (𝐴𝐵))
169168eleq2d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑥𝑈𝑥 ∈ (𝐴𝐵)))
170 biorf 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝑥𝐴 → (𝑥𝐵 ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
171 elun 3896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
172170, 171syl6rbbr 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑥𝐵))
173172adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑥𝐵))
174169, 173bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑥𝑈𝑥𝐵))
175174ifbid 4252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝑈, 𝐶, 0) = if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
176167, 175eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) = if(𝑥𝐵, 𝐶, 0))
177166, 176breqtrrd 4832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ≤ (𝐻𝑥))
178152, 154, 155, 165, 177xrletrd 12186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ≤ (𝐻𝑥))
179151, 178pm2.61dan 867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ((𝑓𝑥) + (𝑔𝑥)) ≤ (𝐻𝑥))
18066, 179eqbrtrd 4826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ((𝑓𝑓 + 𝑔)‘𝑥) ≤ (𝐻𝑥))
181180ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵)) → ((𝑓𝑓 + 𝑔)‘𝑥) ≤ (𝐻𝑥)))
18250, 181ralrimi 3095 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → ∀𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))((𝑓𝑓 + 𝑔)‘𝑥) ≤ (𝐻𝑥))
183 nfv 1992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦((𝑓𝑓 + 𝑔)‘𝑥) ≤ (𝐻𝑥)
184 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥((𝑓𝑓 + 𝑔)‘𝑦)
185 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥
186 nfmpt1 4899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑈, 𝐶, 0))
1878, 186nfcxfr 2900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥𝐻
188 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥𝑦
189187, 188nffv 6359 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥(𝐻𝑦)
190184, 185, 189nfbr 4851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥((𝑓𝑓 + 𝑔)‘𝑦) ≤ (𝐻𝑦)
191 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑓𝑓 + 𝑔)‘𝑥) = ((𝑓𝑓 + 𝑔)‘𝑦))
192 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑦))
193191, 192breq12d 4817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑓𝑓 + 𝑔)‘𝑥) ≤ (𝐻𝑥) ↔ ((𝑓𝑓 + 𝑔)‘𝑦) ≤ (𝐻𝑦)))
194183, 190, 193cbvral 3306 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))((𝑓𝑓 + 𝑔)‘𝑥) ≤ (𝐻𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))((𝑓𝑓 + 𝑔)‘𝑦) ≤ (𝐻𝑦))
195182, 194sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → ∀𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))((𝑓𝑓 + 𝑔)‘𝑦) ≤ (𝐻𝑦))
196195r19.21bi 3070 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ (𝐴𝐵))) → ((𝑓𝑓 + 𝑔)‘𝑦) ≤ (𝐻𝑦))
19727, 28, 33, 34, 196itg2uba 23709 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → (∫1‘(𝑓𝑓 + 𝑔)) ≤ (∫2𝐻))
19826, 197eqbrtrrd 4828 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → ((∫1𝑓) + (∫1𝑔)) ≤ (∫2𝐻))
19923adantrr 755 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → (∫1𝑓) ∈ ℝ)
200 itg1cl 23651 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 ∈ dom ∫1 → (∫1𝑔) ∈ ℝ)
20125, 200syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → (∫1𝑔) ∈ ℝ)
20220adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → (∫2𝐻) ∈ ℝ)
203199, 201, 202leaddsub2d 10821 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → (((∫1𝑓) + (∫1𝑔)) ≤ (∫2𝐻) ↔ (∫1𝑔) ≤ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓))))
204198, 203mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺))) → (∫1𝑔) ≤ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓)))
205204anassrs 683 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔𝑟𝐺)) → (∫1𝑔) ≤ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓)))
206205expr 644 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑔𝑟𝐺 → (∫1𝑔) ≤ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓))))
207206ralrimiva 3104 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐺 → (∫1𝑔) ≤ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓))))
20892, 7fmptd 6548 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
209208adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
21021, 23resubcld 10650 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → ((∫2𝐻) − (∫1𝑓)) ∈ ℝ)
211210rexrd 10281 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → ((∫2𝐻) − (∫1𝑓)) ∈ ℝ*)
212 itg2leub 23700 . . . . . . . . 9 ((𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓)) ∈ ℝ*) → ((∫2𝐺) ≤ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓)) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐺 → (∫1𝑔) ≤ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓)))))
213209, 211, 212syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → ((∫2𝐺) ≤ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓)) ↔ ∀𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐺 → (∫1𝑔) ≤ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓)))))
214207, 213mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → (∫2𝐺) ≤ ((∫2𝐻) − (∫1𝑓)))
21512, 21, 23, 214lesubd 10823 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓𝑟𝐹)) → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺)))
216215expr 644 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑓𝑟𝐹 → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺))))
217216ralrimiva 3104 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺))))
218126, 6fmptd 6548 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
21920, 10resubcld 10650 . . . . . 6 (𝜑 → ((∫2𝐻) − (∫2𝐺)) ∈ ℝ)
220219rexrd 10281 . . . . 5 (𝜑 → ((∫2𝐻) − (∫2𝐺)) ∈ ℝ*)
221 itg2leub 23700 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺)) ∈ ℝ*) → ((∫2𝐹) ≤ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺)))))
222218, 220, 221syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → ((∫2𝐹) ≤ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺)) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 → (∫1𝑓) ≤ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺)))))
223217, 222mpbird 247 . . 3 (𝜑 → (∫2𝐹) ≤ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺)))
224 leaddsub 10696 . . . 4 (((∫2𝐹) ∈ ℝ ∧ (∫2𝐺) ∈ ℝ ∧ (∫2𝐻) ∈ ℝ) → (((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ≤ (∫2𝐻) ↔ (∫2𝐹) ≤ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺))))
2259, 10, 20, 224syl3anc 1477 . . 3 (𝜑 → (((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ≤ (∫2𝐻) ↔ (∫2𝐹) ≤ ((∫2𝐻) − (∫2𝐺))))
226223, 225mpbird 247 . 2 (𝜑 → ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ≤ (∫2𝐻))
227 itg2cl 23698 . . . 4 (𝐻:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2𝐻) ∈ ℝ*)
22817, 227syl 17 . . 3 (𝜑 → (∫2𝐻) ∈ ℝ*)
22918rexrd 10281 . . 3 (𝜑 → ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∈ ℝ*)
230 xrletri3 12178 . . 3 (((∫2𝐻) ∈ ℝ* ∧ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∈ ℝ*) → ((∫2𝐻) = ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ↔ ((∫2𝐻) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∧ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ≤ (∫2𝐻))))
231228, 229, 230syl2anc 696 . 2 (𝜑 → ((∫2𝐻) = ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ↔ ((∫2𝐻) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∧ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ≤ (∫2𝐻))))
23211, 226, 231mpbir2and 995 1 (𝜑 → (∫2𝐻) = ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  Vcvv 3340  cdif 3712  cun 3713  cin 3714  wss 3715  ifcif 4230   class class class wbr 4804  cmpt 4881  dom cdm 5266   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  𝑓 cof 7060  𝑟 cofr 7061  cr 10127  0cc0 10128   + caddc 10131  +∞cpnf 10263  *cxr 10265  cle 10267  cmin 10458  [,]cicc 12371  vol*covol 23431  volcvol 23432  1citg1 23583  2citg2 23584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-ofr 7063  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-rest 16285  df-topgen 16306  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-top 20901  df-topon 20918  df-bases 20952  df-cmp 21392  df-ovol 23433  df-vol 23434  df-mbf 23587  df-itg1 23588  df-itg2 23589
This theorem is referenced by:  itg2cnlem2  23728  itgsplit  23801  iblsplit  40685
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