MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2ub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2ub 23440
Description: The integral of a nonnegative real function 𝐹 is an upper bound on the integrals of all simple functions 𝐺 dominated by 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2ub ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1𝐺𝑟𝐹) → (∫1𝐺) ≤ (∫2𝐹))

Proof of Theorem itg2ub
Dummy variables 𝑥 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . 4 {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔))} = {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}
21itg2lcl 23434 . . 3 {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔))} ⊆ ℝ*
31itg2lr 23437 . . . 4 ((𝐺 ∈ dom ∫1𝐺𝑟𝐹) → (∫1𝐺) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔))})
433adant1 1077 . . 3 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1𝐺𝑟𝐹) → (∫1𝐺) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔))})
5 supxrub 12113 . . 3 (({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔))} ⊆ ℝ* ∧ (∫1𝐺) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}) → (∫1𝐺) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ))
62, 4, 5sylancr 694 . 2 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1𝐺𝑟𝐹) → (∫1𝐺) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ))
71itg2val 23435 . . 3 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2𝐹) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ))
873ad2ant1 1080 . 2 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1𝐺𝑟𝐹) → (∫2𝐹) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(𝑔𝑟𝐹𝑥 = (∫1𝑔))}, ℝ*, < ))
96, 8breqtrrd 4651 1 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1𝐺𝑟𝐹) → (∫1𝐺) ≤ (∫2𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  {cab 2607  wrex 2909  wss 3560   class class class wbr 4623  dom cdm 5084  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  𝑟 cofr 6861  supcsup 8306  cr 9895  0cc0 9896  +∞cpnf 10031  *cxr 10033   < clt 10034  cle 10035  [,]cicc 12136  1citg1 23324  2citg2 23325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xadd 11907  df-ioo 12137  df-ico 12139  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-clim 14169  df-sum 14367  df-xmet 19679  df-met 19680  df-ovol 23173  df-vol 23174  df-mbf 23328  df-itg1 23329  df-itg2 23330
This theorem is referenced by:  itg2ge0  23442  itg2itg1  23443  itg2le  23446  itg2seq  23449  itg2uba  23450  itg2mulclem  23453  itg2splitlem  23455  itg2monolem1  23457  itg2i1fseq3  23464  itg2addlem  23465
  Copyright terms: Public domain W3C validator