Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2uba Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2uba 23729
 Description: Approximate version of itg2ub 23719. If 𝐹 approximately dominates 𝐺, then ∫1𝐺 ≤ ∫2𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2uba.1 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
itg2uba.2 (𝜑𝐺 ∈ dom ∫1)
itg2uba.3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
itg2uba.4 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
itg2uba.5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
Assertion
Ref Expression
itg2uba (𝜑 → (∫1𝐺) ≤ (∫2𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg2uba
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2uba.2 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ dom ∫1)
2 itg1cl 23671 . . . 4 (𝐺 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐺) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → (∫1𝐺) ∈ ℝ)
43rexrd 10301 . 2 (𝜑 → (∫1𝐺) ∈ ℝ*)
5 itg2uba.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
6 itg2uba.4 . . . . . . 7 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
7 nulmbl 23523 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ dom vol)
85, 6, 7syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
9 cmmbl 23522 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol)
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol)
11 ifnot 4277 . . . . . . . 8 if(¬ 𝑥𝐴, (𝐺𝑥), 0) = if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))
12 eldif 3725 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥𝐴))
1312baibr 983 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (¬ 𝑥𝐴𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)))
1413ifbid 4252 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → if(¬ 𝑥𝐴, (𝐺𝑥), 0) = if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴), (𝐺𝑥), 0))
1511, 14syl5eqr 2808 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) = if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴), (𝐺𝑥), 0))
1615mpteq2ia 4892 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴), (𝐺𝑥), 0))
1716i1fres 23691 . . . . 5 ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ (ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))) ∈ dom ∫1)
181, 10, 17syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))) ∈ dom ∫1)
19 itg1cl 23671 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))) ∈ ℝ)
2018, 19syl 17 . . 3 (𝜑 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))) ∈ ℝ)
2120rexrd 10301 . 2 (𝜑 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))) ∈ ℝ*)
22 itg2uba.1 . . 3 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
23 itg2cl 23718 . . 3 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
2422, 23syl 17 . 2 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
25 i1ff 23662 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ)
261, 25syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺:ℝ⟶ℝ)
27 eldifi 3875 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
28 ffvelrn 6521 . . . . . 6 ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐺𝑦) ∈ ℝ)
2926, 27, 28syl2an 495 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺𝑦) ∈ ℝ)
3029leidd 10806 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺𝑦) ≤ (𝐺𝑦))
31 eldif 3725 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦𝐴))
32 eleq1w 2822 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
33 fveq2 6353 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑦))
3432, 33ifbieq2d 4255 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) = if(𝑦𝐴, 0, (𝐺𝑦)))
35 eqid 2760 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))
36 c0ex 10246 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
37 fvex 6363 . . . . . . . . 9 (𝐺𝑦) ∈ V
3836, 37ifex 4300 . . . . . . . 8 if(𝑦𝐴, 0, (𝐺𝑦)) ∈ V
3934, 35, 38fvmpt 6445 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))‘𝑦) = if(𝑦𝐴, 0, (𝐺𝑦)))
40 iffalse 4239 . . . . . . 7 𝑦𝐴 → if(𝑦𝐴, 0, (𝐺𝑦)) = (𝐺𝑦))
4139, 40sylan9eq 2814 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑦𝐴) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))‘𝑦) = (𝐺𝑦))
4231, 41sylbi 207 . . . . 5 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))‘𝑦) = (𝐺𝑦))
4342adantl 473 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))‘𝑦) = (𝐺𝑦))
4430, 43breqtrrd 4832 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))‘𝑦))
451, 5, 6, 18, 44itg1lea 23698 . 2 (𝜑 → (∫1𝐺) ≤ (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))))
46 iftrue 4236 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) = 0)
4746adantl 473 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) = 0)
4822ffvelrnda 6523 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞))
49 elxrge0 12494 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
5048, 49sylib 208 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
5150simprd 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
5251adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
5347, 52eqbrtrd 4826 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥))
54 iffalse 4239 . . . . . . . 8 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) = (𝐺𝑥))
5554adantl 473 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) = (𝐺𝑥))
56 itg2uba.5 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
5712, 56sylan2br 494 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥𝐴)) → (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
5857anassrs 683 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
5955, 58eqbrtrd 4826 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥))
6053, 59pm2.61dan 867 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥))
6160ralrimiva 3104 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥))
62 reex 10239 . . . . . 6 ℝ ∈ V
6362a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ∈ V)
64 fvex 6363 . . . . . . 7 (𝐺𝑥) ∈ V
6536, 64ifex 4300 . . . . . 6 if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) ∈ V
6665a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) ∈ V)
67 fvexd 6365 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ V)
68 eqidd 2761 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))))
6922feqmptd 6412 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)))
7063, 66, 67, 68, 69ofrfval2 7081 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))) ∘𝑟𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥)))
7161, 70mpbird 247 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))) ∘𝑟𝐹)
72 itg2ub 23719 . . 3 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥))) ∘𝑟𝐹) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))) ≤ (∫2𝐹))
7322, 18, 71, 72syl3anc 1477 . 2 (𝜑 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 0, (𝐺𝑥)))) ≤ (∫2𝐹))
744, 21, 24, 45, 73xrletrd 12206 1 (𝜑 → (∫1𝐺) ≤ (∫2𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  Vcvv 3340   ∖ cdif 3712   ⊆ wss 3715  ifcif 4230   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  dom cdm 5266  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814   ∘𝑟 cofr 7062  ℝcr 10147  0cc0 10148  +∞cpnf 10283  ℝ*cxr 10285   ≤ cle 10287  [,]cicc 12391  vol*covol 23451  volcvol 23452  ∫1citg1 23603  ∫2citg2 23604 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-ofr 7064  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-sum 14636  df-rest 16305  df-topgen 16326  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-top 20921  df-topon 20938  df-bases 20972  df-cmp 21412  df-ovol 23453  df-vol 23454  df-mbf 23607  df-itg1 23608  df-itg2 23609 This theorem is referenced by:  itg2lea  23730  itg2split  23735
 Copyright terms: Public domain W3C validator