MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgadd 23311
Description: Add two integrals over the same domain. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgadd.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
itgadd.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
itgadd.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
itgadd.4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
itgadd (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgadd
StepHypRef Expression
1 itgadd.2 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
2 iblmbf 23254 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
4 itgadd.1 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
53, 4mbfmptcl 23124 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6 itgadd.4 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
7 iblmbf 23254 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
9 itgadd.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
108, 9mbfmptcl 23124 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
115, 10readdd 13745 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) = ((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶)))
1211itgeq2dv 23268 . . . . 5 (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 = ∫𝐴((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶)) d𝑥)
135recld 13725 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
145iblcn 23285 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)))
151, 14mpbid 220 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1))
1615simpld 473 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
1710recld 13725 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
1810iblcn 23285 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ 𝐿1)))
196, 18mpbid 220 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ 𝐿1))
2019simpld 473 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ 𝐿1)
2113, 16, 17, 20, 13, 17itgaddlem2 23310 . . . . 5 (𝜑 → ∫𝐴((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶)) d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥))
2212, 21eqtrd 2640 . . . 4 (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥))
235, 10imaddd 13746 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) = ((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶)))
2423itgeq2dv 23268 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 = ∫𝐴((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶)) d𝑥)
255imcld 13726 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
2615simprd 477 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
2710imcld 13726 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
2819simprd 477 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ 𝐿1)
2925, 26, 27, 28, 25, 27itgaddlem2 23310 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫𝐴((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶)) d𝑥 = (∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))
3024, 29eqtrd 2640 . . . . . 6 (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 = (∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))
3130oveq2d 6540 . . . . 5 (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥) = (i · (∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥)))
32 ax-icn 9848 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → i ∈ ℂ)
3425, 26itgcl 23270 . . . . . 6 (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ)
3527, 28itgcl 23270 . . . . . 6 (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥 ∈ ℂ)
3633, 34, 35adddid 9917 . . . . 5 (𝜑 → (i · (∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥)) = ((i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥)))
3731, 36eqtrd 2640 . . . 4 (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥) = ((i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥)))
3822, 37oveq12d 6542 . . 3 (𝜑 → (∫𝐴(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥)) = ((∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥) + ((i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))))
3913, 16itgcl 23270 . . . 4 (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ)
4017, 20itgcl 23270 . . . 4 (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥 ∈ ℂ)
41 mulcl 9873 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ) → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) ∈ ℂ)
4232, 34, 41sylancr 693 . . . 4 (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) ∈ ℂ)
43 mulcl 9873 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥 ∈ ℂ) → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥) ∈ ℂ)
4432, 35, 43sylancr 693 . . . 4 (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥) ∈ ℂ)
4539, 40, 42, 44add4d 10112 . . 3 (𝜑 → ((∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥) + ((i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))) = ((∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) + (∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))))
4638, 45eqtrd 2640 . 2 (𝜑 → (∫𝐴(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥)) = ((∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) + (∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))))
47 ovex 6552 . . . 4 (𝐵 + 𝐶) ∈ V
4847a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ V)
494, 1, 9, 6ibladd 23307 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ 𝐿1)
5048, 49itgcnval 23286 . 2 (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥)))
514, 1itgcnval 23286 . . 3 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)))
529, 6itgcnval 23286 . . 3 (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥)))
5351, 52oveq12d 6542 . 2 (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥) = ((∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) + (∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))))
5446, 50, 533eqtr4d 2650 1 (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3169  cmpt 4634  cfv 5787  (class class class)co 6524  cc 9787  cr 9788  ici 9791   + caddc 9792   · cmul 9794  cre 13628  cim 13629  MblFncmbf 23103  𝐿1cibl 23106  citg 23107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-inf2 8395  ax-cc 9114  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867  ax-addf 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-disj 4545  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-se 4985  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-isom 5796  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-of 6769  df-ofr 6770  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-2o 7422  df-oadd 7425  df-omul 7426  df-er 7603  df-map 7720  df-pm 7721  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-fi 8174  df-sup 8205  df-inf 8206  df-oi 8272  df-card 8622  df-acn 8625  df-cda 8847  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-4 10925  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-q 11618  df-rp 11662  df-xneg 11775  df-xadd 11776  df-xmul 11777  df-ioo 12003  df-ioc 12004  df-ico 12005  df-icc 12006  df-fz 12150  df-fzo 12287  df-fl 12407  df-mod 12483  df-seq 12616  df-exp 12675  df-hash 12932  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632  df-sqrt 13766  df-abs 13767  df-clim 14010  df-rlim 14011  df-sum 14208  df-rest 15849  df-topgen 15870  df-psmet 19502  df-xmet 19503  df-met 19504  df-bl 19505  df-mopn 19506  df-top 20460  df-bases 20461  df-topon 20462  df-cmp 20939  df-ovol 22954  df-vol 22955  df-mbf 23108  df-itg1 23109  df-itg2 23110  df-ibl 23111  df-itg 23112  df-0p 23157
This theorem is referenced by:  itgsub  23312  itgfsum  23313  itgmulc2  23320  ftc1lem4  23520  itgparts  23528  areaquad  36621  fourierdlem83  38883  fourierdlem95  38895
  Copyright terms: Public domain W3C validator