MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgcn 23654
Description: Transfer itg2cn 23575 to the full Lebesgue integral. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcn.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
itgcn.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
itgcn.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
itgcn (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑑,𝑥,𝐴   𝐵,𝑑,𝑢   𝐶,𝑑,𝑢   𝜑,𝑑,𝑢,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑢,𝑑)

Proof of Theorem itgcn
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgcn.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
2 iblmbf 23579 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
31, 2syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
4 itgcn.1 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
53, 4mbfmptcl 23449 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
65abscld 14219 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
75absge0d 14227 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
8 elrege0 12316 . . . . . . 7 ((abs‘𝐵) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)))
96, 7, 8sylanbrc 699 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ (0[,)+∞))
10 0e0icopnf 12320 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,)+∞)
1110a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
129, 11ifclda 4153 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
1312adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
14 eqid 2651 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))
1513, 14fmptd 6425 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
163, 4mbfdm2 23450 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
17 mblss 23345 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
1816, 17syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
19 rembl 23354 . . . . 5 ℝ ∈ dom vol
2019a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
2112adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
22 eldifn 3766 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑥𝐴)
2322adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥𝐴)
2423iffalsed 4130 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) = 0)
25 iftrue 4125 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) = (abs‘𝐵))
2625mpteq2ia 4773 . . . . 5 (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) = (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵))
274, 1iblabs 23640 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
286, 7iblpos 23604 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)))
2927, 28mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ))
3029simpld 474 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn)
3126, 30syl5eqel 2734 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) ∈ MblFn)
3218, 20, 21, 24, 31mbfss 23458 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) ∈ MblFn)
3329simprd 478 . . 3 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)
34 itgcn.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
3515, 32, 33, 34itg2cn 23575 . 2 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶))
36 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → 𝑢𝐴)
3736sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) ∧ 𝑥𝑢) → 𝑥𝐴)
385adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3937, 38syldan 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) ∧ 𝑥𝑢) → 𝐵 ∈ ℂ)
4039abscld 14219 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) ∧ 𝑥𝑢) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
41 simprl 809 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → 𝑢 ∈ dom vol)
4238abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
4327adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
4436, 41, 42, 43iblss 23616 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → (𝑥𝑢 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
4539absge0d 14227 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) ∧ 𝑥𝑢) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
4640, 44, 45itgposval 23607 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (abs‘𝐵), 0))))
4736sseld 3635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → (𝑥𝑢𝑥𝐴))
4847pm4.71d 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → (𝑥𝑢 ↔ (𝑥𝑢𝑥𝐴)))
4948ifbid 4141 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → if(𝑥𝑢, (abs‘𝐵), 0) = if((𝑥𝑢𝑥𝐴), (abs‘𝐵), 0))
50 ifan 4167 . . . . . . . . . . . . . . 15 if((𝑥𝑢𝑥𝐴), (abs‘𝐵), 0) = if(𝑥𝑢, if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0)
5149, 50syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → if(𝑥𝑢, (abs‘𝐵), 0) = if(𝑥𝑢, if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))
5251mpteq2dv 4778 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (abs‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0)))
5352fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (abs‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))))
5446, 53eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))))
55 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 𝑦𝑢
56 nffvmpt1 6237 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦)
57 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥0
5855, 56, 57nfif 4148 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0)
59 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦if(𝑥𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0)
60 elequ1 2037 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝑢𝑥𝑢))
61 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥))
6260, 61ifbieq1d 4142 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0) = if(𝑥𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0))
6358, 59, 62cbvmpt 4782 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0))
64 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (abs‘𝐵) ∈ V
65 c0ex 10072 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ V
6664, 65ifex 4189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ V
6714fvmpt2 6330 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ V) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥) = if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))
6866, 67mpan2 707 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥) = if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))
6968ifeq1d 4137 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → if(𝑥𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0) = if(𝑥𝑢, if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))
7069mpteq2ia 4773 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))
7163, 70eqtri 2673 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))
7271fveq2i 6232 . . . . . . . . . . 11 (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0)))
7354, 72syl6eqr 2703 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 = (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))))
7473breq1d 4695 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → (∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶 ↔ (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶))
7574biimprd 238 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → ((∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶 → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))
7675imim2d 57 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ((vol‘𝑢) < 𝑑 → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶)))
7776expr 642 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ dom vol) → (𝑢𝐴 → (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ((vol‘𝑢) < 𝑑 → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))))
7877com23 86 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ dom vol) → (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → (𝑢𝐴 → ((vol‘𝑢) < 𝑑 → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))))
7978imp4a 613 . . . 4 ((𝜑𝑢 ∈ dom vol) → (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ((𝑢𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶)))
8079ralimdva 2991 . . 3 (𝜑 → (∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶)))
8180reximdv 3045 . 2 (𝜑 → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶)))
8235, 81mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  cdif 3604  wss 3607  ifcif 4119   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  +∞cpnf 10109   < clt 10112  cle 10113  +crp 11870  [,)cico 12215  abscabs 14018  volcvol 23278  MblFncmbf 23428  2citg2 23430  𝐿1cibl 23431  citg 23432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434  df-itg2 23435  df-ibl 23436  df-itg 23437  df-0p 23482
This theorem is referenced by:  ftc1a  23845
  Copyright terms: Public domain W3C validator