Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgeq12dv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgeq12dv 29522
 Description: Equality theorem for an integral. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itgeq12dv.2 (𝜑𝐴 = 𝐵)
itgeq12dv.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
itgeq12dv (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵𝐷 d𝑥)
Distinct variable group:   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem itgeq12dv
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgeq12dv.1 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 = 𝐷)
21oveq1d 6441 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐶 / (i↑𝑘)) = (𝐷 / (i↑𝑘)))
32fveq2d 5991 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐷 / (i↑𝑘))))
43breq2d 4493 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) ↔ 0 ≤ (ℜ‘(𝐷 / (i↑𝑘)))))
54pm5.32da 670 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))) ↔ (𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐷 / (i↑𝑘))))))
6 itgeq12dv.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 = 𝐵)
76eleq2d 2577 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑥𝐵))
87anbi1d 736 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐷 / (i↑𝑘)))) ↔ (𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐷 / (i↑𝑘))))))
95, 8bitrd 266 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))) ↔ (𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐷 / (i↑𝑘))))))
103adantrr 748 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))))) → (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐷 / (i↑𝑘))))
11 eqidd 2515 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))))) → 0 = 0)
129, 10, 11ifbieq12d2 3972 . . . . . 6 (𝜑 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐷 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐷 / (i↑𝑘))), 0))
1312mpteq2dv 4571 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐷 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐷 / (i↑𝑘))), 0)))
1413fveq2d 5991 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐷 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐷 / (i↑𝑘))), 0))))
1514oveq2d 6442 . . 3 (𝜑 → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) = ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐷 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐷 / (i↑𝑘))), 0)))))
1615sumeq2sdv 14151 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐷 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐷 / (i↑𝑘))), 0)))))
17 eqid 2514 . . 3 (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))
1817dfitg 23217 . 2 𝐴𝐶 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
19 eqid 2514 . . 3 (ℜ‘(𝐷 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐷 / (i↑𝑘)))
2019dfitg 23217 . 2 𝐵𝐷 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐷 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐷 / (i↑𝑘))), 0))))
2116, 18, 203eqtr4g 2573 1 (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵𝐷 d𝑥)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1474   ∈ wcel 1938  ifcif 3939   class class class wbr 4481   ↦ cmpt 4541  ‘cfv 5689  (class class class)co 6426  ℝcr 9690  0cc0 9691  ici 9693   · cmul 9696   ≤ cle 9830   / cdiv 10433  3c3 10826  ...cfz 12065  ↑cexp 12590  ℜcre 13544  Σcsu 14133  ∫2citg2 23066  ∫citg 23068 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768 This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-om 6834  df-1st 6934  df-2nd 6935  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-er 7505  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-nn 10776  df-n0 11048  df-z 11119  df-uz 11428  df-fz 12066  df-seq 12532  df-sum 14134  df-itg 23073 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator